Аффинные задачи и теоремы

Квант 1977, №8 с. 38, 40, 41 Тег F9MH

В. Рабинович

Можно ли задачу о параллелограмме решать для квадрата? Достаточно ли теорему о треугольниках доказать для равносторонних треугольников? Оказывается, иногда можно, иногда достаточно. О таких задачах и теоремах расссказывается в данной стате.

Параллельное проектирование

Пусть имеются две плоскости $\alpha$ и $\beta$ и прямая $a$ , пересекающая каждую из этих плоскостей (рис. 1). Определим отображение $\Pi_a$ плоскости $\alpha$ на плоскость $\beta$ следующим образом: произвольной точке $A \in \alpha$ поставим в соответствии точку $A' \in \beta$ , в котором прямая, проходящая через точку $A$ и параллельная прямой $a$ , пересекается с плоскостью $\beta$ . Применяя общие функцииnalные обозначения, будем писать $\Pi_a (A) = A'$ . Отображение $\Pi_a$ естественно называется параллельным проектированием. Очевидно, если $A \neq B$ ( $A \in \alpha$ и $B \in \alpha$ ), то $\Pi_a (A) \neq \Pi_a (B)$ . Таким образом, параллельное проектирование является обратным отображением («Алгебра 8», п. 20)*. Поэтому можно говорить об обратном отображении. Отображение $\Pi_a^{-1}$ , обратное к параллельному проектированию $\Pi_a$ , будет, очевидно, параллельным проектированием плоскости $\beta$ на плоскость $\alpha$ : $\Pi_a^{-1} (A') = A$ .

Параллельное проектирование $\Pi_a$ любую фигуру $\Gamma$ на плоскости $\alpha$ переводит в некоторую фигуру $\Pi_a (\Gamma)$ на плоскости $\beta$ (рис. 1) — образ функции $\Gamma$ при отображении $\Pi_a$ .

У разженне 1. Докажите, что образ прямой при параллельном проектировании есть прямая и при этом, если точка $A$ лежит между $B$ и $C$ , то $\Pi_a (A)$ лежит между $\Pi_a (B)$ и $\Pi_a (C)$ .

Отсюда, очевидно, вытекает, что образ отрезка есть отрезок, образ многоугольника есть многоугольник (с тем же числом сторон).

У разженне 2. Докажите, что параллельное проектирование сохраняет параллельность: если $l \parallel m$ , то $\Pi_a (l) \parallel \Pi_a (m)$ .

Значит, образ параллельства — параллельства. У разженне 3. Докажите, что отношение длины параллельных отрезков есть инвариант параллельного проектирования: если отрезки $AB$ , $CD$ лежат на одной прямой (или на параллельных прямых) в плоскости $\alpha$ , то $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|A'B'|}{|C'D'|}$ (здесь $A' = \Pi_a (A)$ и т. д.).

Следовательно, если $AK$ — медиана треугольника $ABC$ ( $\triangle ABC \subset \alpha$ ), то $A'K'$ — медиана треугольника $A'B'C'$ .

У разженне 4. Докажите, что отношение площей фигур есть инвариант параллельного проектирования: если $\Gamma \subset \alpha$ и $\Delta \subset \alpha$ , то $\frac{S(\Gamma)}{S(\Delta)} = \frac{S(\Pi_a (\Gamma))}{S(\Pi_a (\Delta))}$ . Ука-Zание. При доказательстве разрешается

*) Параллельное проектирование, рассматриваемое в данной стате, есть отображение плоскости (на плоскость). Параллельное проектирование из §12 «Геометрии 9» есть отображение пространства (на плоскость). Обратным оно не является.

Из упражнения 2, 10 вытекает, что эта теорема — аффициная. Согласно упражнению 7 среди аффициных образов данной трапеции $ABCD$ есть равноведренная трапеция. Проделав соответствующее параллельное проектирование П, перейдем от трапеции $ABCD$ к равноведренной трапеции $A'B'C'D'$ . Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ перейдет при этом в диагонали $A'C'$ и $B'D'$ трапеции $A'B'C'D'$ , точки $O, K, P, Q$ в точки соответствующего, $O' = [A'C'] \cap [B'D']$ , $K' = (A'B') \cap (C'D')$ , $P' = (K'O') \cap [B'C']$ и $Q' = (K'O') \cap [A'D']$ (рис. 3).

В равноведренной трапеции $A'B'C'D'$ , как известно, $|A'C'| = |B'D'|$ и $B' \hat{A}'D' = C' \hat{D}'A'$ (задача 2 к п. 50 «Геометрии 7»). Отсюда легко вывести, что $|A'K'| = |D'K'|$ и $A' \hat{K}'Q' = D' \hat{K}'Q'$ . Следовательно, в равноведренном треугольнике $A'K'D'$ отрезок $K'Q'$ является bicсектрисой, а значит — и медианой: $|A'Q'| = |Q'D'|$ . Аналогично доказывается, что $|B'P'| = |P'C'|$ .

Проделаем теперь обратное параллельное проектирование $\Pi^{-1}$ . При $\Pi^{-1}$ «все» перейдет «обратно»: $A'$ — в $A, B'$ — в $B$ и т. д. Из упражнения 10 вытекает, что $|BP| = |PC|$ и $|AQ| = |QD|$ .

На самом деле, если мы заранее проверили, что доказываемая нами теорема — аффициная, и мы доказываем ее таким способом (переходом к аффициному образу), то обратное проектирование делать не нужно: верность заключения доказываемой теоремы вытекает просто из его аффициности.

Так можно доказывать — в принципе — любую аффициную теорему.

У практике 14. Докажите таким образом теоремы из упражнения 12, 13.

Взгляд с высоты

На самом деле, более естественным определением аффициного образа было бы следующие определения: плоская фигура $\Delta$ называется аффициным образом плоской фигуры $\Gamma$ , если ее можно получить из $\Gamma$ при помощи композиции конечного числа параллельных проектирования. Аналогично, свойство плоской фигуры естественно называется аффициным, если оно сохраняется при композиции конечного числа параллельных проектирования.

Так определение понятие аффициного образа (в отличие от того, которое было определено в п. 2) является транситивным: если $\Delta$ — аффициный образ (плоской) фигуры $\Gamma$ , а $\Sigma$ — аффициный образ фигуры $\Delta$ , то $\Sigma$ — аффициный образ фигуры $\Gamma$ . Поскольку это понятие также симметрично (если $\Delta$ — аффициный образ фигуры $\Gamma$ , то и $\Gamma$ — аффициный образ фигуры $\Delta$ ) и рефлективно (любая плоская фигура $\Gamma$ является аффициной образом самой себя), можно (= разумно) дать следующие определение: две плоские фигуры $\Gamma$ , $\Delta$ называются аффицино эквивалентными, если одна из них является аффициным образом другой.

Вместо теorem из упражнения 5—7 можно теперь сформулировать более изучные теоремы: все треугольники аффицино эквивалентны, все параллельграммы аффицино эквивалентны, все трапеци аффицино эквивалентны.

В школьной геометрии фигуры фактически рассматривают с точностью до конгруэнтности, т. е. конгруэнтные фигуры как бы отождевляются, считаются эквивалентными. Поэтому эту геометрию можно рассматривать как науку о свойствах

фигур, не меняющихся при переменях.

Геометрия на плоскости, в основу которого положены композиции конечного числа параллельных проектирований *) (такие композиции называются аффинными преобразованиями плоскости), т. е. геометрия, в которой аффинно эквивалентные фигуры отложедвляются, называется аффинной геометрией. Аффинная геометрия — это наука о свойств фигуру, не меняющихся при аффинных х преобразованиях. В этой статье вы познакомились с некоторыми понятиями этой геометрии.

Задание

Через точку $P$ , лежащую внутри треугольника $ABC$ , проведены прямые $l, m, n$ , параллельные, соответствующие,[ $AB$ , $BC$ , $CA$ ]. Пусть $l \cap [BC] = A_1$ , $m \cap [AC] = B_1$ , $n \cap [AB] = C_1$ . Докажите, что $\frac{|PA_1|}{|AB|} + \frac{|PB_1|}{|BC|} + \frac{|PC_1|}{|CA|} = 1$ .
Докажите теорему Мене-лая: если прямая $l$ пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC$ в точке $R$ , сторону $BC$ – в точке $P$ и продолжение стороны $AC$ – в точке $Q$ , то $\frac{|PB| \cdot |QC| \cdot |RA|}{|PC| \cdot |QA| \cdot |RB|} = 1$ .
В треугольнике $ABC$ через точки $L \in [AC]$ и $K \in [AC]$ также, что $|AL| = |CK|$ , проведены соответствующие, прямые $l \parallel AB$ и $k \parallel BC$ . Пусть $k \cap l = O$ . Докажите, что прямая $BO$ проходит через середину отрезка $AC$ .
На сторонах $AB, BC, CD, DA$ параллель грамма $ABCD$ взяты, соответствующие, точки $P, Q, R$ и $S$ . Найти плоскь четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ , образованного при пересечении прямых $AR, BS, CP$ и $DQ$ , если плоскь исходного параллель грамма $ABCD$ равна $t$ , $|AS| = |CQ|$ , $|BP| = |DR|$ и $\frac{|AS|}{|AD|} = \frac{|DR|}{|CD|}$ .
В параллель грамме $ABCD$ точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ лежат, соответствующие, на $[AB], [BC], [CD]$ и $[DA]$ . На сторонах $A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1$ и $D_1A_1$ четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ взяты, соответствующие, точки

*) В этой статье параллельное проектирование рассматривается как отображение одной плоскости, вообще говоря, на другую. Но в результате композиции таких отображений мы можем добиться расположения образа в первоначальной плоскости.

$A_2, B_2, C_2$ и $D_2$ . Известно, что $\frac{|AA_1|}{|BA_1|} = \frac{|BB_1|}{|CB_1|} = \frac{|CC_1|}{|DC_1|} = \frac{|DD_1|}{|AD_1|} = \frac{|A_1D_2|}{|D_1D_2|} = \frac{|D_1C_2|}{|C_1C_2|} = \frac{|C_1B_2|}{|B_1B_2|} = \frac{|B_1A_2|}{|A_1A_2|}$ .

Докажите, что четырехугольник $A_2B_2C_2D_2$ – параллелограмм, стороны которого параллель стороны $BC$ – на $n$ равных частей. Через точки деления проведены прямые так, как показано на рисунке 4. Какую часть площины параллелограмма $ABCD$ составляет площад четырехугольника $NFGH$ ?

В трапеции $ABCD$ ([AD] || [BC]) через точку $B$ проведена прямая, параллельная $CD$ и пересекающая с $AC$ в точке $P$ , а через $C$ – прямая, параллельная $AB$ и пересекающая с $BD$ в точке $P$ . Докажите, что $[PQ] || [AD]$ .
В трапеции $ABCD$ ([AD] || [BC]) через точку $C$ проведена прямая, параллельная $AB$ и пересекающая с $BD$ в точке $P$ . Известно, что $|BO| = |PD|$ , где $O = [AC] \cap [BD]$ . Докажите, что $|AD|^2 = |BC|^2 + |AD| \cdot |BC|$ .