Задачи М456—М460; Ф468—Ф472

42

Задачи

M456—M460; Ф468—Ф472

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наболее трудные задачи отмещены звездочек. Решения задачи из этого номера можно письменно не позднее 1 ноября 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M456, М457» или «Ф468». Решения задачи по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просбапись письменно в отдельных конвертах. Задания из разных номеров журнала письайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, письайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обобщим указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. В этом и следующем номерах «Задачик «Кванта» составлен в основном из задачи, предлагавшихся на последней Всесоюзной олимпиде.

M456. В каждой вершине выпуклого многогранина сходится 3 ребра. Известно, что каждая его грань является многоугольником, вокруг которого можно описать окружность. Докажите, что вокруг многограника можно описать сферу.

В. Произвольов

M457. На плоскостидана несамопересекающая замкнутая ломана,никакие три вершины которого не лежат на одной прямой. Изовем пару несоседних звенев особенной, если продолжение одного из них пересекает другое (рис. 1). Докажите, что число особенных пар четно.

С. Фомин

M458. Написан многочлен $x^{10} + x^9 + x^8 + \dots + x^2 + x + 1$. Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет любую из звездочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звездочек, затем снова заменяет одну из звездочек числом и так далее (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень — выигрывает второй. Можно ли второй игрок выиграть при любой игре первого?

Д. и И. Берништейны

M459. В некоторых странах из каждой города в любой другой можно проехать, минут остальные города. Известна стоимость каждой такого проезда. Составлены два маршрута по городам страны. В каждой из этих маршрутов каждой города входитровно по одному разу. При составлении первого маршрута руководствуясь следующим принципом: начальный пункт маршрута выбирается произвольно, а на каждом следующем шаре среди городов, через которых маршрут еще не проходил, выбирается тот, поедка в которой из предыдущего города имеет наименьшую стоимость (если таких городов несколько, то выбирается любой из них); и так до тех пор, пока не будет проедены все города. При составлении второго маршрута

43

начальный город тоже выбирается произвольно, а на каждом следующем шаге среди городов, через которые маршрут еще не проходил, выбирается тот, поездка в которой из предыдущего города имеет наиболеестоимость. Докажите, что общая стоимость проезда по первому маршруту не больше общейстоимости проезда по второму маршруту.

А. Берзиньи

М460. Пусть $A - 2n$-значное число (первая цифра не нуль). Будем называть число $A$ особым, если оно само является точным квадратом и числа, образованные его вервыми $n$ цифрами и его последними $n$ цифрами, также является точными квадратами; при этом второе число начинается с цифры 0, но не должно быть равно нулью.

a) Найдите все двухчанные и четырехначные особые числа.

b) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.

b) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.

г) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.

А. Левин, И. Берницей

Ф468. Действуошая модель подъемного крана способна поднять 10 бетонных плит без объева троса. Сколько плит поднимает реализый краан, изготовленный из тех же материалов, если линейные размеры крана, троса и плит в 12 раз больше, чем в модели? (8 кл.)

Ф469. Рисунок 2 сделан со стrobоскопической фотографики кубика, движущегося вдоль наклонной плоскости. Промежутки времени между последовательными всыщками лампы равны 0,1 сек. Определить коэффициент треня кубика о плоскость. (8 кл.)

Ф470. При подключении галванического элемента направлением 1,5 в кажимам $A$ и $B$ амператор показал ток 1 а (рис. 3). Когда полярность элемента изменили на противоположную, ток упал в два раза. Какая электрическая цель находится внутри коробки? (8 кл.)

Ф471. Теплоизолированная полость небольшим одинаковыми отверстиями соединена с двумя объемами, содержащими газообразный гелий (рис. 4). Давление гелия в этих объемах поддерживается постоянным и равным $p$, а температуры поддерживаются равными $T$ в одном из объемов и $2T$ в другом. Найти установившие давление и температуру внутренности (10 кл.)

Ф472. Нарисовать примерный график зависимости от времени показания волтметра после размыкания ключа $K$ (рис. 5). Волтметр и катушка индуктивности идеальны, $R=100 \text{ ом}, U=300 \text{ в.}$ (10 кл.)

45

и для двух других направлений, параллельных ребру куба.
Значит, сумма всех длин проекций не меньше шести. А эта сумма равна как раз сумме всех $a_i$ и $b_i$ ($i=1, \dots, k$), так что $a_1+a_2+\dots+a_k+b_1+b_2+\dots+b_k \geq 6$.

Докажем, что из (1) вытекает нужное нам неравенство:
$$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+\dots+\sqrt{a_k^2+b_k^2} \geq 3\sqrt{2}.$$

Это можно сделать алгебраически, но мы приведем простое геометрическое доказательство.

Построим на координатной плоскости ломанную из $k$ звенев, длины проекций $i$-го звена которой равны $a_i$ и $b_i$ ($i=1, 2, \dots, k$), с началом в точке $O(0;0)$ (рис. 3). Из (1) следует, что конец $M(a_1+\dots+a_k; b_1+\dots+b_k)$ этой ломаной лежит выше прямой $a+b=6$ (или на этой прямой). Расстояние от точки $O$ до этой прямой равно $3\sqrt{2}$. Ясно, что длина любой ломаной, соединяющей точки $O$ и $M$, не меньше $3\sqrt{2}$ это и есть неравенство (2). Заметим, что оценка $3\sqrt{2}$ — точная. Она достигается для сечения куба, перпендикулярного его диагонали и имеющего форму шестиугольника.

Н. Васильев

M418. Докажите, что для любого натурального $n \geq 2$ выполняется неравенство:

$$n\left(\sqrt{n+1}-1\right)<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+$$

$$+\frac{1}{n}<n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+1.$$

Для доказательства мы воспользуемся теоремий Коши о среднем арфметической и среднем геометрическом. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — положительные числа. Тогда

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n} \geq \sqrt{a_1 a_2 \dots a_n},$$

причем равенство достигается лишь в случае, когда все числа равны.

Запишем теорему Коши для чисел 1, $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots, \frac{n-1}{n}$:

$$\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\dots+\frac{n-1}{n}}{n} > \sqrt{n}\frac{1}{n}.$$

Перепишем это неравенство так:

$$1-\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(1-\frac{1}{n}\right) > \frac{n}{\sqrt{n}}.$$

Отсюда получаем одно из нужных нам неравенств:

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n} < n\left(1-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)+1.$$

Чтобы доказать второе неравенство, запишем теорему Коши для чисел 2, $\frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \dots, \frac{n+1}{n}$:

$$\frac{2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}+\dots+\frac{n+1}{n}}{n} < \sqrt{n}\frac{1}{n}.$$

или

$$2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)+\dots+\left(1+\frac{1}{n}\right) > n\sqrt{n}\frac{1}{n}.$$

46

М419. В круге радиуса 16 расположено 650 мочек. Доказим, что найдется колючо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежат не менее 10 из данных мочек.

Рис. 4.

Рис. 5.

Ф428. Сфера радиуса $R=0,5$ м вращаемая вокруг центра с постоянной угловой скоростью $\omega=5$ рад/сек (рис. 6). Вместе со сфераю на ее внутренней поверхности вращаемая небольшое тело, находящемся на высоте, равной половине радиуса.

1. Определить минимальное значение коэффициента трения, при котором это состояние возможно.

откуда
$$n + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right) > n \sqrt{n+1},$$
то есть
$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > n \left(\sqrt{n+1} - 1\right).$$
Л. Курляндчик

◆
Прежде чем решать эту задачу, докажем такое вспомогательное утверждение. Пусть фигура $S$ площади $s$ содержит фигуры $S_1, \dots, S_l$ площади $s_1, \dots, s_l$, такие, что каждая точка фигуры $S$ покрыта не более чем $k$ фигурами $S_i$. Тогда $\sum s_i = s_1 + s_2 + \dots + s_l \leqslant ks$. В самом деле, рассмотрим фигури $T_j$, получащиеся при пересечении фигура $S_i$ (рис. 4); на каждой из фигурок $T_j$ написем число, показывающее, сколько $S_i$ она принадлежит. Очевидно, что $\sum t_j \leqslant s$ ($t_j$ — площадь фигури $T_j$). С другой стороны, не менее очевидно, что $\sum s_i \leqslant k \sum t_j$ ($k$ — максимальное число пересечений $S_i$). Отсюда получаем, что $\sum s_i \leqslant ks$.

Вернемся к нашей задаче.

Опишем вокруг данной точки колюц с внутренним радиусом 2 и внешним — 3; всего 650 колцц. Доказем, что средние их обязательно найдется не менее десяти пересечающихся.

Возьемем обедининие этих 650 колцц; они как-то расположены в круге радиуса 16+3=19. Допустим, что каждая точка этого круга покрывается не более чем девятью колццами, и показем, что это приводит к противоречению. Для этого посчитаем площади.

Площадь круга радиуса 19 равна $S=361\pi$. Площадь одного колцца $s=5\pi$, так что площадь всех 650 колцц равна $650 \cdot 5\pi=3250\pi$. Если колцца пересекаются не более чем по 9, то согласно утверждению, доказанному выше,
$$\sum s=3250\pi \leqslant 9S=9 \cdot 361\pi=3249\pi$$
— противоречение.

Итак, мы доказали, что найдется не менее десяти пересечающихся колцц.

Отсюда следует утверждение задачи. Действительно, если есть д в а пересекающихся колцца внутреннего радиуса 2 и внешнего 3 с центрами $O_1$ и $O_2$. то любая точка $M$, принадлежащая их пересечению, удалена от точки $O_1$ и $O_2$ на расстояние $r: 2 \leqslant r \leqslant 3$; так что точки $O_1$ и $O_2$ попадают в нужное нам колюц с центром $M$ (рис. 5). В колце же (радиусов 2 и 3) с центром в любой точке из неупустого (!) пересечения не менее десяти колцц будет лежать не менее десяти точки — центров этих пересечающихся колцц.

И. Климова

◆
Рассмотрим силы, действующие на тело в положении равновесия (рис. 7). Со стороны сферы на тело действует сила $\vec{F}_1$ — равновесий силы нормальной реакции $\vec{N}$ и силы трения $\vec{F}_{\text{TP}}$, касательной к поверхности сферы. Найравление силы трения (вверх или вниз по касательной) зависит от того, выше или ниже находится положение равновесия тела в отсутствие трения. Однако во всех случаях
$$|\vec{F}_{\text{TP}}| \leqslant \mu |\vec{N}|.$$
Это означает, что сила $\vec{F}_1$ направлена так, что тангенс угла $\beta$,

47

2. Определить минимальное значение коэффициента трея, если уловая скорость сферы равна 8 рад/сек.
3. Исследовать устойчивость состояния в случае вышенай-денных значений коэффициента трея при: a) малых изменениях положения тела;
   b) малых изменениях уловой скорости сферы.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

который образует эта сила с радиусом $OA$, не превышает $\mu$:

$$\text{tg} \beta = \frac{|\vec{F}_{\text{tp}}|}{|\vec{N}|} \leq \mu.$$

Следовательно, коэффициент трея можно найти, определяв угол $\beta$.

Кроме силы $\vec{F}_1$ на тело действует еще сила тяжестеги $mg$. Поскольку тело движется по окружности радиуса $r$, равной действующая $\vec{F}$ сил $\vec{F}_1$ и $mg$ направлена горизонтально и равна по абсцилтной величины $m\omega^2 r$:

$$\vec{F} = \vec{F}_1 + mg, \quad |\vec{F}| = m\omega^2 r.$$

Обозначим через $\alpha$ угол между радиусом $OA$ и вертикально, а через $\gamma$ угол между направлением силы $\vec{F}_1$ и вертикально (см. рис. 7). Тогда

$$\beta = \alpha - \gamma,$$

и

$$\text{tg} \beta = \text{tg}(\alpha - \gamma) = \frac{\text{tg} \alpha - \text{tg} \gamma}{1 + \text{tg} \alpha \text{tg} \gamma}. \tag{1}$$

Но $\text{tg} \gamma = \frac{m\omega^2 r}{m|\vec{g}|}$, где $r = R \sin \alpha$, а $\sin \alpha = \frac{\sqrt{R^2 - R^2/4}}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть $\alpha = 60^\circ$. Тогда из выражения (1)

$$\text{tg} \alpha - \frac{\omega^2 R \sin \alpha}{|\vec{g}|} = \frac{\sqrt{R^2 - R^2/4}}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2},$$

и

$$\mu \geqslant \text{tg} \beta = \frac{3\sqrt{3}}{23} \approx 0,23.$$

При $\omega = 8$ рад/сек получаем

$$\text{tg} \beta = -\frac{3\sqrt{3}}{29}.$$

Знак «минус» означает, что $\gamma > \alpha$ и, следовательно, сила $\vec{F}_1$ проходит левее радиуса $OA$, а сила трея направлена вниз по касательной (рис. 8). При этом

$$\mu \geqslant |\text{tg} \beta| = \frac{3\sqrt{3}}{29} \approx 0,18.$$

Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия тела. Мы показали, что тело находится в равновесии, если угол $\beta$ не превышает значения arctg $\mu$. Пусть угловая скорость возросла на небольшую величины. Это означает, что возрата центростремительного ускорения, а сила $\vec{F}_1$ при этом поворачивается. Причем в первом случае (когда $\omega = 5$ рад/сек)

сила $\vec{F}_1$ поворачивается так, что угол $\beta$ уменьшается. Следовательно, тело остается в равновесии. При небольшим уменшении $\omega$ угол $\beta$ должен возрасти. Но это невозможно. Следовательно, тело уже не может находиться в пределах

48

положении и сокользет вниз. При этом уменшится угол $\alpha$, так что угол $\beta$ может стать таким, чтобы $tg\beta \leq \mu$. Таким образом, тело придет в новое положение равновесия. Во втором случае (при $\omega=8\,pad/cek$) реакция тела на малые изменения $\omega$ противоположная (показите это самостояльно).

Несолько сложнее исследовать вопрос об устойчивости равновесия при изменении положения тела. Сначала проведем качественные рассуждения. В первом случае ($\omega=5\,pad/cek$) равновесное положение тела находится выше положения равновесия в отсутствие треня (так как сила треня направлена вверх). Поэтому, что при смешении тела вниз теоанется в новом положении, а при смешении в верхнем в противном положении. Во втором случае ($\omega=8\,pad/cek$) будет все наоборот.

Вопрос об устойчивости равновесия при изменениях положения тела можно решить и более строго. Для этого надо выяснить, как меняется $tg\beta$ при малых отклонениях тела от положения равновесия, например, при изменениях угла $\alpha$. Это можно сделать, исследуя производную выражения для $tg\beta$ (формула (1)) по $\alpha$. Например, если производная положительная при увеличении $\alpha$, значит, $tg\beta$ возрастает. А это, как мы уже говорили, означает, что тело должно вернуть в прежнее состояние. И так далее. Тем, кто это умеет делать, мы советуем довести до конца все необходимые выкладки и подтвердить наши качественные рассуждения.

Ф429. Стемки цилиндра, поршень и внутренняя переородка площадью $1\,dm^2$ изготовлены из металлического материала (рис. 9). Клапан в переородке открывается в том случае, если давление справа больше давления слева. В начальном состоянии в левой части цилиндра длиной $l=11,2$ дм находится $m_1=12$ г зелия, в правой части цилиндра длиной $l=12$ г зелия, в правой части цилиндра длиной $l=12$ г зелия; с обихом стропон температура равна $t_0=0^\circ C$ ($T_0=273^\circ K$). Внешнее давление $p_0=10^5$ н/м². Удельная темперакость зеленая при постоянном объеме $c_V=3,15.10^3$ дж/(кг. град), а при постоянном давлении $c_p=5,25.10^3$ дж/(кг. град). Поршень медленно перебиваем по направлению к переородке (с небольшой османовкой в момент открытия клапана) и осторожно доводится до переородки. Чему равна произведение при этом работы? Площадь поршня $S=10^{-2}\,m^2$.

Поскольку система теплопозирована, полная работа $A$, совершенная над газом слой, действующей на поршень, и силой atmosфериного давления, равна изменению энергии газа $\Delta U$:

$$A = \Delta U.$$

Обозначим через $T$ окончательную температуру газа. Тогда $\Delta U = c_V(m_1+m_2)(T-T_0)$.

Чтобы найти работу $A_1$ силы, приложенной к поршню, надо из полной работы $A$ вычесть работу силы atmosфериного давления $A_2=p_0Sl$. В результате получим

$$A_1 = c_V(m_1+m_2)(T-T_0)-p_0Sl.$$

Из всех входящих в это выражение величины нам не известна лишь температура $T$ по окончании процесса. Найдем ее. Для этого нам придет последовательно рассмотреть все эти процессы.

Ясно, что в самом начале давление в левой части цилиндра больше, чем в правой:

$$p_1 = \frac{m_1}{\mu} \frac{R T_0}{l S} > p_2 = \frac{m_2}{\mu} \frac{R T_0}{l S}.$$

Позному при движении поршня к переородке газ в правой части цилиндра будет скиматься до тех пор, пока его давление не станет равным $p_1$ и не откроется клапан в переородке. Так как скатные газа произходит аднабатно, его объем $V_1$ после скатания станет таким, что

$$p_1 V_1^\gamma = p_2 V_0^\gamma,$$

где $\gamma = \frac{cp}{c_V}$ — показатель аднабаты, а $V_0=lS$ *). Отсюда

$$V_1 = V_0 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{1}{\gamma}} = V_0 \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{\frac{1}{\gamma}}.$$

Temperature $T_1$, которое будет при этом газ в правой

*) Для аднабатного процесса справедливых также соответствующие параметрами газа: $TV^{\gamma-1}=const$ (см., например, статью В. Креси и «Аднабатный процесс», «Квант», 1977, № 6); $pV^{\gamma}=const; pT^{\frac{\gamma}{1-\gamma}}=const$.

49

Части цилиндра, найдем из уравнения газового состояния:

$$T_1 = \frac{p_1 V_1 \mu}{R m_2} = \frac{p_1 V_1}{p_2 V_0} T_0 = T_0 \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{\frac{1}{\gamma} - 1}.$$

Теперь, когда давление стало таким же, как и слева, открывается клапан в перегородке, и газы перемещаются (поршень в это время не перемещается). Температуру «смеси» $T_2$ можно определить из уравнения теплового баланса:

$$c_V m_1 (T_2 - T_0) = c_V m_2 (T_1 - T_2),$$

и

$$T_2 = \frac{m_1 T_0 + m_2 T_1}{m_1 + m_2} = T_0 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \left[ 1 + \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{\frac{1}{\gamma}} \right].$$

После перемещения весь газ массы $m = m_1 + m_2$ скимиется аднабатно от объема $V = V_1 + V_0$ до объема $V_0$, а его температура изменяется от $T_2$ до $T$. При этом

$$TV_0^{\gamma-1} = T_2 V^{\gamma-1},$$

откуда

$$T = T_2 \left( \frac{V_1 + V_0}{V_0} \right)^{\gamma-1} = T_0 \frac{m_1}{m_1 + m_2} \left[ 1 + \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{\frac{1}{\gamma}} \right]^{\gamma}.$$

Подставив это выражение для $T$ в формулу (*), получим окончательно

$$A_1 = c_V (m_1 + m_2) T_0 \left\{ \frac{m_1}{m_1 + m_2} \left[ 1 + \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{\frac{1}{\gamma}} \right]^{\gamma} - 1 \right\} - p_0 Sl \approx 3674 \text{ дж.}$$

И. Слободецкий

Ф430. На рис. 10 показана простейшая схема выприемителя. Диод ситмаемся идеальным: его сопротивление в прямом направлении равно нулю, в обратном — бесконечно велико. Во сколько раз изменяется мощность, выделяемая на сопротивлении $R$, при подсоединении параллельно ему конденсатора $C$ такой емкости, что за период колебания напряжения семи ($U=220$ в, $f=50$ гц) заряд конденсатора практически не меняется?

Рис. 10.

Если сопротивление $R$ подключено непосредственно к сети переменного тока, то в нем выделяется мощность, равная $\frac{U^2}{R}$, где $U$ — действующее значение напряжения.

В случае, если сопротивление подключено к сети через диод (см. рис. 10), в нем выделяется мощность в 2 раза меньше (полперiodа ток через сопротивление нечетет):

$$P_1 = \frac{1}{2} \frac{U^2}{R}.$$

Теперь найдем мощность $P_2$, выделяющий в сопротивлении при подсоединении параллельно ему конденсатора. В условиях задачи сказано, что за период колебаний напряжения в сети заряд конденсатора практически не меняется. Это означает, что напряжение на конденсаторе можно считать постоянным и равным амплитудному значению $U_0$.

Тогда $P_2 = \frac{U_0^2}{R} = \frac{(V^2 U)^2}{R} = \frac{2U^2}{R}$, поскольку значение напряжения больше действующего значения в $\sqrt{2}$ раза.

Таким образом, при подсоединении конденсатора параллельно сопротивлению в нем выделяется мощность в 4 раза больше.

В. Скороваров

50

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Чтобы подготовить силу $\vec{F}_1$ или $\vec{F}_2$ соответствующего момента, причем силы большего диаметра имеет $n$ зубцов, а силы меньшего диаметра $n-1$. Трене в системе макро-чимо сили, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в $k$ раз. Предполагается, что трене от направления движения не зависит, найти эти силы.

Ф431. В дифференциальномворome, схематически изображенном на рисунке 11, используемся цепь, каждый момент коморой содержимым $N$ звеньев. Шквы верхнего блока сабженязызубцами, которые продеваются в звенья цепи, причем силы большего диаметра имеет $n$ зубцов, а силы меньшего диаметра $n-1$. Трене в системе макро-чимо сили, необходимые для подъема или опускания груза, отличаются в $k$ раз. Предполагается, что трене от направления движения не зависит, найти эти силы.

Рис. 11.

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Чтобы подготовить силу $\vec{F}_1$ или $\vec{F}_2$ соответствующего момента, причем силы большего диаметра имеет $n$ зубцов, а силы менеего диаметра $n-1$. Трене в системе макро-чимо сили,缺损ом, груз поднялся на $\frac{n-(n-1)}{2}$ звеньев, то есть на высоту $h_1 = \frac{1}{2N}$ метров, а его потенциальная энергия увеличилась на

$$\Delta \Pi_1 = m |\vec{g}| h_1 = m |\vec{g}| \frac{1}{2N}$$

(m — масса груза). Обозначим через $A_{\text{тр}}$ работу силы треня. Тогда согласно закону сохранения энергии

$$|\vec{F}_1| \frac{n}{N} = m |\vec{g}| \frac{1}{2N} + A_{\text{тр}}.$$

Пусть теперь верхний блок под действием силы $\vec{F}_2$ сделает один полный оборот по часовой стрелке. При этом силы $\vec{F}_2$ совершит работу

$$A_2 = |\vec{F}_2| l_2 = |\vec{F}_2| \frac{n-1}{N},$$

потенциальная энергия груза изменится на величины

$$\Delta \Pi_2 = -m |\vec{g}| h_2 = -m |\vec{g}| \frac{1}{2N},$$

а работа силы треня останется такой же, как и в первом случае (поскольку абсолотная величина перемещения та же самая, а от направления движения трене не зависит). Поэтому можно записать

$$|\vec{F}_2| \frac{n-1}{N} = -m |\vec{g}| \frac{1}{2N} + A_{\text{тр}}.$$

Кроме того, по условию задачи

$$|\vec{F}_1| = k |\vec{F}_2|$$

Решая систему уравнения (1)—(3), найдем

$$|\vec{F}_1| = m |\vec{g}| \frac{k}{n(k-1)+1},$$

$$|\vec{F}_2| = m |\vec{g}| \frac{1}{n(k-1)+1}.$$

И. Слободецкий