Седлообразная поверхность

20

Седлообразная поверхность

Каждай из вас, несомненно, знает, что множество точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединный перепределикулярной соединяющего их отрезка. Так же просто устроены множество точек, равноудаленных от двух параллельных или пересекающих ихся прямых. На рисунке 1 изображены два из этих множеств, правда, уже не для плоскости, а для пространства.

А как выглядит множество точек, равноудаленных от двух скре-

ш и в а ю щ и х с я прямых? Об этом вы и узнаете, прочитав статью.

Прежде чем перейти к основному изложению, даим определение нового пространства вокруг оси.

Повором пространства называется макое перемещение пространства, при котором множество неодвижных точек образует прямую (она называется осью поверхности). При повороте пространства вокруг оси каждой плоскости, перепределикулярная к оси поворота, переходит в себя. Получащиеся перемещения этих плоскостей являются поворотами вокруг точки их пересечения с осью на один и тот же угол в одном и том же направлении *) (рис. 2).

Обозначать поворот с осью $l$ мы будем через $R_l$, поворот, обратный поворот $R_l$, — через $R_{-l}^1$,

*) Тождественное перемещение тоже можно считать поворотом пространства вокруг оси (на нульевой угол), но в этой статье также повороты встречаются не будут.

21

Рис. 1.

Для описания нашего множества точек, (обозначим его через $F$) нам понадобится несколько утверждений о поворотах. Мы будем их формулировать по мере надобности в виде лемм, а доказательства всех лемм собствен в конце статьи. Для читателя будет очень полезно доказать эти леммы самостоятельно.

1. Первым делом показем, что через каждую точку нашего множества проходят две принадлежящие ему прямы.

Пусть $m$ и $n$ — данные скрещивающейся прямы и точка $A$ равнодалена от них. Обозначим через $A_1$ и $A_2$ ortogonalные проекции этой точки на прямы $m$ и $n$ соответственно (рис. 3). Пусть $l$ — перpendикуляр к плоскости $A_1AA_2$, проходящий через точку $A$. Повернем пространство вокруг оси $l$ так, чтобы точка $A_1$ перешла в точку $A_2$. Прямая $m$ перейдет при этом в прямую $m_1$, проходящую через точку $A_2$ и перpendикулярную к прямой $AA_2$. Далее можно сделать два раз и чьи хповорота с осью $AA_2$ — таких, что прямая $m_1$ перейдет в прямую $n$: $R_{AA_2}$ и $R'_{AA_2}$. В результате композиции поворотов $R_l$ и $R_{AA_2}$ ($R_l$ и $R'_{AA_2}$) прямая $m$ перейдет в прямую $n$. Оказывается, справедлива такая лемма: композиция двух поворотов вокруг пересекающих осей является поворотом вокруг оси, проходящей через точку их пересечения. Поэтому существует такая пряма $u$, проходящая через точку $A$, что $R_{AA_2} \circ R_l = R_u$. Аналогично, существует такая пряма $v$, проходящая через $A$, что $R'_{AA_2} \circ R_l = R_v$.

Рис. 2.

от точки $A$ до прямой $n$.

2. А существует ли хотя бы одна точка, принадлежащая нашему множеству?

Проведем через прямую $m$ плоскость, параллельную прямой $n$, а через прямую $n$ плоскость, параллельную прямой $m$. Эти плоскости параллельны. Обозначим через $\alpha$ плоскость, равнодаленную от них. Ортональные проекции $m'$ и $n'$ прямы $m$ и $n$ на плоскость $\alpha$ пересечится в некоторой точке $O$ (рис. 4). Очевидно,

22

точка $O$ принадлежит множество $F$. А тогда, как мы уже выяснили, через нее проходят по крайней мере две прямые, состоящие из точек нашего множества.

У праванние 2. Докажите, что через точку $O$ проходятровно две такие прямые (обозначим их через $x$ и $y$). Покажите, что эти прямы являются оси симметрины прямых $m'$ и $n'$.

Итак, наше множество содержит перепределкулярные прямые $x$ и $y$, причем через каждую точку этих прямых проходит еще одна прямая, принадлежая нашему множеству.

3. Убедимся теперь, что объединение точек этих прямых образует все наше множество. Докажем для этого, что если точка $A \in F$ не лежит ни на прямой $x$, ни на прямой $y$, то одна из проходящих через нее прямых, принадлежих множеству, пересекает $x$, а другая $y$, и что через каждую его точку проходит только две такие прямые.

a) На каждой из прямых $m$ и $n$ отметим стрелкой неокоторое направление, например, как на рисунке 4. Тогда любая ось поворота, переводшего направленную прямую $m$ в направленную прямую $n$ (с направлениями, указанными на рисунке 4!), параллельна плоскости, проходящей через прямую $x$ и перепределкулярную к плоскости $\alpha$.

В самом деле, ось $u$ образует с прямыми $m$ и $n$ равные углы. Пересечем параллельно прямые $m$, $n$ и ось $u$ так, чтобы они проходили через точку $O$ (см. рис. 4). Получим прямые $m'$, $n'$ и $u'$. Поскольку при параллельных переносах углы между прямыми не меняются, прямая $u'$ образует с прямыми $m'$ и $n'$ равные углы. Значит, она лежит в плоскости $xOz$, где $z \perp \alpha$ (см. упражнение 2 и рис. 4). Следовательно, прямая $u$ параллельна этой плоскости.

Возьемт теперь две оси $u$ и $v$ поворотов, переводящих прямую $m$ в прямую $n$ с сохранением направления. Покажем, что прямые $u$ и $v$ скрещиваются.

Предположим сначала, что они пересекаются в точке $B$. Выполним поворот вокруг оси $u$, переводящий $m$ в $n$ с сохранением направления, затем — поворот вокруг $v$, переводящий $n$ в $m$ — также с сохранением направления. Поскольку $u$ и $v$, по предложению, пересекаются, композиция указаных поворотов — поворот (лемма из п. 1). Этот поворот отображает прямую $m$ на себя с сохранением направления. Но это невозможно, как показывает такая лемма: при повороте пространства вокруг оси молко одна прямая отображается на себя с сохранением направления — ось поворота.

Предположим теперь, что $u \parallel v$. Как и выше, при перемещении $R^{-1}_v$ $\circ R_u$ прямая $m$ переходит в себя с сохранением направления. С другой стороны, композиция двух поворотов с параллельными осами является либо поворотом относительно прямой параллельной им оси, либо переносом в направлении, перепределкой к этим осам. В первом случае $m \parallel u$, а тогда и $n \parallel m$. Во втором — $m \perp u$, и получаются из $m$ поворотом вокруг прямого $u$ прямая $n$ лежит в одной плоскости $c$ $m$.

Таким образом, прямые $u$ и $v$ не параллельны и не пересекаются. Значит, они скрещиваются. Объединим эти оси в один класс.

6. Смена направления на одной из данных прямых, например, на $n$. Тогда оси поворотов, отображающих прямую $m$ на $n$ (с заданным на них новых направлениями), также попарно скрещиваются и параллельны плоскости $yOz$ (см. рис. 4). Полученные оси отнесем к другому классу.

23

Рис. 5.

в) Пусть ось $u$ принадлежит первому классу, а ось $v$ — второму. Покажем, что прямые $u$ и $v$ пересекают. Действительно, при перемещении $R^{-1}_v \circ R_u$ прямая $m$ перейдет в себя с изменением направления. Поэтому получаются преобразование прямой $m$ — симметрично неокторой точки $C \in m$ (доказатель!). Следовательно, $R^{-1}_v \circ R_u(C) = C$ и $R_v(C) = R_u(C) = D$. Из $R_u(C) = D, R_v(C) = D$ следует, что все точки прямых $u$ и $v$ равнудалены от точки $C$ и $D$. Но тогда $u$ и $v$ лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Поэтому если $u$ и $v$ не пересекаются, то они параллельны. Поскольку $u \parallel xOz$ и $v \parallel yOz$, из $u \parallel v$ следует, что $u \parallel z$. Но это невозможно, так как $z \perp m$. Следовательно, $u$ и $v$ пересекаются.

г) Оси $x$ и $y$, очевидно, разных классов. Поэтому каждая ось пересекает либо прямую $x$, либо прямую $y$. Поскольку через точку множество $F$ не могут проходить три оси (так как тогда две из них принадлежали бы к одному классу), «посторонних» точек в фигуре нет.

4. Остается построить нашей множество. Построим для этого параллельned с осями, параллельными прямым $x, y, z$ и центром в точке $O$ (см. рис. 5), такой, что диагонали верхнего и нижнего оснований лежат на прямых $m$ и $n$ соответственно и расстояние от вершины $A$ до прямой $m$ равно его боковому ребру. Через точки $O_1$ и $O_2$ должны проходить оси, параллельные плоскости $yOz$. Ясно, что это прямые $O_1A$ и $O_2B$. Каждый ось, параллельная плоскости $xOz$, должна пересекаться с $O_1A$ и $O_2B$, то $|O_1A| = |O_2B|$. Соответствующие построение приведено на 20 страницце журнала. (Можно было, конечно, воспользоваться прямыми $y$ и $OA$, но тогда построение будет не таким симметричный.) Как вы видите, получается поверхность, похожая на седло.

5. Прием за оси координат прямые $x, y$ и $z$ в выведем управление этой поверхности. Условия задаваются прямую управления двух пересекающихся по ней плоскостей. Тогда управления прямых $m$ и $n$ запишутся в виде

$$\begin{cases} y = kx \\ z = c, \end{cases}$$

Направляющие векторы этих прямых имеют координаты:

$$\vec{m} = \{1; k; 0\}, \vec{n} = \{1; -k; 0\}.$$

Пусть точка $P(x, y, z)$ равнудалена от прямых $m$ и $n$. Если $M$ и $N$ — ortogonalные проекции точки $P$ на прямые $m$ и $n$ соответственно, то $|MP| = |MN|$. Выразим координаты точки $P$.

Так как $M \in m$, то координаты точки $M$ равны $k, y$ и $z$. Учитывая, что $\vec{MP} \cdot \vec{m} = 0$, $\vec{MP} = (x - \alpha, y - k\alpha, z - c)$, $m = \{1, k, 0\}$, получим $x - \alpha + yk - k^2\alpha = 0$, откуда следует, что $\alpha = \frac{x + ky}{1 + k^2}$, то есть точки $M$ имеет координаты

$$\frac{x + ky}{1 + k^2}, \frac{x + ky}{1 + k^2}, c.$$

Рассудядая аналогично, найдем координаты точки $N$:

$$\frac{x - ky}{1 + k^2}, -k \frac{x - ky}{1 + k^2}, -c.$$

Записьвая равенство $|MP| = |NP|$ после упрощения, получим выражение

$$xy = 2pz,$$

где $p = -\frac{1 + k^2}{2k}$.

Следовательно, множество точки $m$ и $n$, — это поверхности, управление которой имеет вид (1). (Впервые управление (1) было получено Л. Эйлером в 1748 году.)