36
Б. Гейдман
Композиция двух осевых симметрий
Поводом для заметки последчика задача 56 из числа задач на повторение по курсу VI—VIII классов учебного пособия «Геометрия 8». Докажите, что композиция двух симметрий, оси которых пересекаются под углом α, есть поворот, причем центром поворота является точка пересечения осей, а угол поворота равен 2α.
Что понимать здесь под углом α? Если α — величина угла между осями симметрий, то α принимает значение от 0° до 90°. В то же время угол поворота характеризуется направленной величины и 2 α может принимать значение от —180° до 180°*). Можно быть, нам «повезло» и углу α между осями симметрий соответствует угол поворота 2α в пределах от 0° до 180°? На самом деле — нет. Мы уточним это позже, а пока займемся решением задачи.
Композиция двух симметрий относительно осей l и m, пересекающих в точке O, очевидно, оставляет неподвижной единственную точку O плоскости. Известно, что перемеш_
*) Напомним различные случаи употребления угловых величины в курсе геометрии VI—VIII классов:
- величина α угла (геометрической фигуры) лежит в пределах: 0°<α<360°;
- угол между двумя лучами лежит в пределах: 0°≤α≤180°;
- угол между двумя прямыми лежит в пределах: 0°≤α≤90°;
- любой поворот характеризуется углом, лежащим в пределах: —180°<α≤180°.
Рис. 1. Рис. 2.
37
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
ленной. Будем считать, что направленный угол от прямой l до прямой m по модулю равен общиму углу между ними, а его знак положительный; если при достаточно малом поворете вокруг их точки пересечения O против вчасовой стрелки прямая l попадает внутри острого (или прямого) угла, образованного этих прямыми. Если же прямая l попадает внутри острого (или прямого) угла при малом поворете по часовой стрелке вокруг точки O, то угол от прямой l до прямой m — отрицательный, а модуль его равен общиму углу между прямыми. Угол от данной прямой до нее самой считается равным 0°. Таким образом, величина направного угла α от прямой l до прямой m принимает значения: —90°<α≤90°; каждая па-
ра пересекающийся прямых l и m задает два направленных угла — угол от прямой l до m, равный α, и угол от прямой m до l, равный (—α).
При таком подходе к величины угла между прямыми удалется приведены в соответствие композицию двух симметрий и поворот вокруг точки пересечения их осей. Нашу задачу можно теперь сформировать более точно следующим образом:
Пусть угол от прямой l до m равен α; модель композиция симметрий S_m° S_l есть поворот вокруг точки пересечения этих осей O на угол 2α.
Проиллюстрируем этот же подход на доказательстве хорошего известной теоремы о вписанном угле.
Теорема. Величина вписанно угла равна половине угловой величины дуен *), на котором он опирается.
Доказательство. Угол ABC вписан в окружность с центром O. Проведем через O прямые l и m, перепределкиные к его сторонам. Эти прямые проидут через середины хорд AB и BC соответственно.
Пусть ABC = α, где 0°<α≤90°. В этом случае угол от прямой l до m может быть равным α (рис. 3) или (—α) (рис. 4). Композиция симметрий S_m° S_l переведет точку A в точку C, так как при S_l A переходит в B, а при S_m—B в C. С другой стороны эта композиция может быть заменена поворотом R_0^2α или R_0^{-2α} вокруг центра O на угол 2α или (—2α), притом C = R_0^2α (A) или C = R_0^{-2α}(A). И в том, и в другом случае угловая величины дуен AnC, на котором опирается вписанный угол ABC, равна 2α (так как точка A переходит в C, проидя дуну AnC).
Пусть ABC = α, где α>90°. Тогда угол между прямыми l и m может быть равным (α—π) (рис. 5) или (π—α) (рис. 6).
Композиция симметрий S_m° S_l, переводящая точку A в точку C,
*) Угловая величина дуен равна, по определению, величины соответствующего ей центраного угла α, т. е. принимает значения в пределах: 0°<α<360°.