Вопросы по алгебре и анализу

34

А. Земляков, Б. Ивлев

Вопросы по алгебре и анализу

Мы продолжаем публикацию вопросов по математике (см. «Квант», 1978, № 1, с. 36).
На каждый из перечисленных ниже вопросов дано путь вариантов ответа (а, 6, в, г, д), из которыхровно один — верный. Пребуется указать верные ответы. Постаятесь уложиться в полчаса. Сверьте свои ответы с приведенными в конце номера. (После номера каждой вопроса в скобках указаан класс, на который этот вопрос расчитан.)

А. Функции, графики, уравнения

1 (VIII). Какие из функций, заданных на рисунке 1 с помощью стрелок, являются обратными?
a) Только $f_1$; 6) $f_1$ и $f_2$; в) $f_1$ и $f_3$; г) $f_3$ и $f_4$; д) все обратные.
2 (VIII). График какой функции выглядит так, как показано на рисунке 2?

Рис. 1.

a) $y = x^2 + 2x - 3$; 6) $y = x^2 - 2x + 1$; b) $y = -x^2 - 2x + 1$; d) $y = -x^2 + 2x - 1$.

3 (VIII). Сколько существует геометрических прогрессий с четыREM членом $a_4 = -2$ и десятым членом $a_{10} = -1$?
a) Ни одной; 6) одна; в) две; г) три; д) бесконечно много.
4 (VIII). Сколько решений имеет уравнение
$$\frac{25(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-5)(x-3)(x-1)} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x-5)(x-3)(x-1)}$$?
a) Ни одного; 6) бесконечно много; в) пять; г) три; д) одно.
5 (VIII). На сколько процентов увеличится покупательная способность населения (т. е. количество товаров, которое можно приобретти на данную сумму денег), если цены на все товары сниствуют на 20%?
a) На 20%; 6) на 25%, в) на 40%; г) на 10%; д) на 12%.

Б. Анализ и комбинаторика

6 (X). Расположите числа sin 1, cos 2, ctg 3 в порядке возрастания (аргументы данных в радианах).
a) ctg 3<cos 2<sin 1; 6) sin 1<cos 2<ctg 3; в) cos 2<sin 1<ctg 3; г) ctg 3<sin 1<cos 2; д) cos 2<ctg 3<sin 1.
7 (IX). Известно, что последовательности $(a_n)$ и $(a_n b_n)$ — схожие, а последовательность $(b_n)$ — расходящая. Чему может быть равен предел $\lim_{n \to \infty} a_n = a$?
a) Такого не бывают; 6) $a$ может быть любым; в) $a$ может быть любым, кроме 0; г) $a = 0$; д) $a = 1$.
8 (IX). Чему равен предел
$$A = \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{4 - x}$$?
a) $A = 0$; 6) $A = -\frac{1}{2}$;
b) $A = -\frac{1}{4}$; г) $A = \frac{1}{4}$;
d) этот предел не существует.