Сферический эллипс

25

Сферический эллипс

Эллипс («Геометрия 10», § 59; см. также «Алгебра 8», п. 2) можно определить как множество точек на плоскости, сумма расстояния от которых до двух данных точек плоскости (называемых фокусами) есть величины постоянная. Если в этом определении «сумму» заменить на «модуль разности», получим эллерболу. Парабола — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Сферический эллипс — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Сферический эллипс — это множество точек на плоскости, расстояния от которых до данной точки плоскости (фокуса) и данной прямой (директрисы) одинаковы.

Плоский эллипс превращается в окружность только в том случае, когда его фокусы сливаются. Как показал Н. И. Фусс, сферический эллипс превращается в окружность (а именно — большую окружность фокеры), если постоянная сумма расстояния, о которой говорится в определении, равна половине длины большей ok-ружности. Конгрузные сферические треугольники, выделенные на рисунке 1 около фокусов $F_1$, $F_2$, помогут вам доказать утверждение Фусса.

Рассмотрим сферу $\Delta$ и плоскость $\alpha$, касающейся в фокусе неокоторого сферического эллипса $l$ на ней. Проведем всевозможные прямые черзи центр сферы $O$ и точки сфериского эллипса $l$. Оказывается, полученная таким образом кончческая поверхность $\Gamma$ пересечет плоскость $\alpha$ по неокоторому эллипсу $\lambda$. Исходную сферу поверхность $\Gamma$ пересечет еще по одному сферическому эллипсу $l'$, симметрично с $l$ относительно $O$ (рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Интересно, что по отношению к фокусам эллипса $l$ эллипс $l'$ будет сферической гиперболой.

Эллипс (плоский) можно определить также, как множество точек (на плоскости), относение расстояния от которых до данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы) постоянно и меньше 1. Аналогичным образом можно определить и сферический эллипс. Можно доказать, что центральная проекция директрисы эллипса $\lambda$ относительно $O$ на сферу $\Delta$ является директриской сферического эллипса $l$: относение расстояний от любой точки эллипса $l$ до фокуса и до получения при описанном проектировании большой окружности постоянно и меньше 1.

Углы между отрезками, соединяющими произвольную точку плоского эллипса с фокусами, и касательной к эллипсу в этой точке равны. В этом состоянии так называемое оптическое свойство эллипса. Аналогичным свойством обладает сферический эллипс: если в любой его точке $M$ проведится касательную большую окружность и соединить точку $M$ по большим окружностям с фокусами эллипса, то углы между этим последним окружностями и касательной окружностью окажутся равны.

Многие свойства сферического эллипса были обнаружены впервые русским математиком, швейцарцем по проискждению, Н. И. Фусс (1755—1825). Н. И. Фусс был учеником и помошником великого Л. Эйлера и большую часть своих первых исследований в области математики и механики проводил его руководством. В последствии Н. И. Фусс стал действительным членом Петербургской академии наук и ее непременным секретarem. Интересные результаты, касающиеся сферического эллипса, были получены также русским математиком Л. И. Магнусом (1790—1861).

В. Березин