Задачи М591—М595; Ф603—Ф607

25

Задачи

М591—М595; Ф603—Ф607

М591. Пусть $p$ и $q$ — натуральные числа, что
$$\frac{p}{q} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots - \frac{1}{1318} + \frac{1}{1319}.$$
Докажите, что число $p$ делится на 1979.

М592. Докажите, что для любого треугольника проекция диаметра описанной окружности, перпендикулярного одной стороны треугольника, на прямую, содержащую вторую сторону, равна по длине треугольника.
С. Овчинников

М593. Внутри окружности $\Gamma$ расположено $n$ кругов. Докажите, что длина границы объедининия этих кругов не превышает длину окружности $\Gamma$, если
a) $n = 2$;
б) центры всех $n$ кругов лежат на одном диаметре окружности $\Gamma$;
в) все $n$ кругов содержат центр окружности $\Gamma$.
Ф. Кабдыкаиров,
В. Пронзволов

М594*. Найдите все действительные числа $a$, для которых существует действительное неотрицательное число $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, удовлетворяющие соотношениям
$$\sum_{k=1}^{5} kx_k = a, \sum_{k=1}^{5} k^3x_k = a^2, \sum_{k=1}^{5} k^5x_k = a^3.$$

М595. Пусть $A$ и $E$ — две противоположные вершины правильно восемNUгольника. В вершине $A$ находится лягушка. Из любой вершины восемNUгольника, кроме вершины $E$, лягушка может прыгнуть в любую из двух соседних вершин. Попав в вершину $E$, лягушка останавливается и остается там. Пусть $a_n$ — количество способов, которые лягушка может попасть из вершины $A$ в вершину $E$ровно за $n$ прыжков. Докажите, что
$$a_{2n-1} = 0, a_{2n} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x^{n-1} - y^{n-1}),$$
$n = 1, 2, 3, \dots$, где $x = 2 + \sqrt{2}; y = 2 - \sqrt{2}$.

Ф603. Студент ездит в институт на метро по колъевой линии. Станция, на которой он садится, и станция, на которой он выходит, находится на противоположных концах диаметра колъца, так

что студенту безразлично, в какую сторону_exать.
Позному он садится в тот позд, который подойдет раныше. Количество поздов, индших по колыцу в разные стороны, одинаково. Однако студент заметил, что он чаще ездит на позде, индшем по часовой стрелке. Как это можно обьясить?

Ф604. В условиях неевесомости жидкости, помещенная в стеклянный цилиндрический сосуд с радиусом основания $R_1$, приняла форму, показанную на рисунке 1. Свободная поверхность жидкости имела форму сферы с радиусом $R_0$. Та же жидкость, помещенная в стеклянный сферический сосуд радиуса $R_2$, приняла форму, показанную на рисунке 2. Свободная поверхность жидкости была плоской. Определить высоту уровня жидкости в сферическом сосуде. Какую форму будет иметь жидкость в сферическом сосуде, если радиус сосуда больше $R_2$? менше $R_2$?

В. Скороваров

Ф605. Проволочный предохранитель перегорает, если напряжение на нем равно 10 В. При каком напряжение будет перегорать предохранитель, если его длину увеличить вдвое?

Ф606. Шайба соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости с углом $\alpha$. Козффициент треня между шайбой и поверхностью наклонной плоскости изменяется с расстоянием $l$ от вершины по закону $\mu=kl$ ($k=\cos\theta$). На каком расстоянии от вершины надо поставить упор, чтобы после одного упругого соударения с упором шайба остановилась как можно выше?

В. Белонучкин

Ф607. Самолет летит по замкнутому маршруту $ABC$. Пунktы $A, B$ и $C$ лежат в вершинах правильного треугольника. В каком случае время, затраченое на перелет, будет меньше: если ветер дует в направлении вектора $\overrightarrow{AB}$ или если ветер дует в направлении вектора $\overrightarrow{BA}$?

Н. Кушинр, ученик 9 класса