Задачи наших читателей

40

ну или две поперечные сквозные трещины. Столбик же из металлической трубки — однородный, никаких трещин на нем нет.

Чем это объясняется?

Поскольку стекло плохо проводит тепло, отвердавание воды в стеклянной трубке идет очень медленно и неравномерно. За длительный промежуток времени успевают образовать два или три столбика льда, которые стыкются друг с другом. В местах стыковки и возникают трещины.

В металлической трубке, у которой теплопроводность стенок хорошая, вся масса воды замерзает быстро и равномерно. Ледной столбик получается монолитным.

6. Заполните водой почти до краев прямугольную коробочку (пластмассовую или металлическую) размером 70×50×20 мм. Вырежьте из картона крышку для этой коробочки таких размеров, чтобы она чуть-чуть выходила за края. Из центра картоники проведите окружность диаметром, немного меньше ширины коро-

Задачи
наших читателей

1. Через точку $K$ внутри треугольника с длинами сторон $a, b, c$ проведены прямы, параллельные сторонами. Длины отрезков, заключенных между сторонами, равны, соответственно $a_1, b_1, c_1$. Докажите, что

a) $\frac{a_1}{a} + \frac{b_1}{b} + \frac{c_1}{c} = 2$;

b) $\frac{4}{3} \leq \frac{a_1^2}{a^2} + \frac{b_1^2}{b^2} + \frac{c_1^2}{c^2} \leq 2$.

2. Через точку $K$ внутри треугольра $ABCD$ с площадями граней $S_a, S_b, S_c$ и $S_d$ проведены четые плоскости, параллельные граням треугольра. Площади полученных сечений равны соответственно $S_1, S_2, S_3, S_4$. Докажите, что

a) $\sqrt{\frac{S_1}{S_a}} + \sqrt{\frac{S_2}{S_b}} + \sqrt{\frac{S_3}{S_c}} + \sqrt{\frac{S_4}{S_d}} = 3$;

b) $\frac{S_1}{S_a} + \frac{S_2}{S_b} + \frac{S_3}{S_c} + \frac{S_4}{S_d} \geq \frac{9}{4}$.

3. Через точку $K$ внутри треугольра проведены прямы, параллельные его ребрами $|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |AD| = d_1, |BD| = d_2, |CD| = d_3$. Длины отрезков этих прямы, заключенных между гранями, равны соответственно $a', b', c', d_1', d_2', d_3'$. Докажите, что

$\frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} + \frac{c'}{c} + \frac{d_1'}{d_1} + \frac{d_2'}{d_2} + \frac{d_3'}{d_3} = 3$.

Э. Ясиновый
(Kуйбышев)