Задачи М616—М620; Ф628—Ф632

30

Задачи

М616 — М620; Ф628 — Ф632

М616. Можно ли числа 1, 2, …, 30 разбит на группы
a) по пять чисел,
b) по шесть чисел
так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?
b) При каких n и k числа 1, 2, …, nk можно разбит на n групп по k чисел так, чтобы суммы чисел во всех группах были одинаковыми?

С. Берколайко

М617. Внутри треугольника расположены окружности α, β, γ, δ одинакового радиуса так, что каждая из окружностей α, β, γ касается двух сторон треугольника и окружности δ (рис. 1). Докажите, что цент окружности δ принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной в данной треугольник окружности и окружности, описанной около него.

В. Ягубьянц

М618. a) Докажите, что существует бесконечного много натуральных n таких, что n! делится на n²+1.
b) Докажите, что для любого α>0 существует бесконечного много натуральных n таких, что [αn]! делится на n²+1. (Здесь m!=1·2·…·m; [x] — целая часть числа x.)

А. Сивацкий, ученик 10 класса

М619. Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнен равенство |CD|=|AD|+|BC|, то биссектрисы его углов A и B пересекаются на стороне CD.

И. Шарыцин

М620. Пусть x₁, x₂, …, xₙ — действительные числа, что x₁²+x₂²+…+xₙ²=1. Докажите, что сумма моделей 2ᵐ чисел
±x₁±x₂±…±xₙ
(so всевозможными комбинациями знаков «+» и «—») не превыходит 2ᵐ.

Я. Касаковских