Решения задач М562—М565; Ф573, Ф574, Ф576, Ф577

32

Решения задач

M562—M565; Ф573, Ф574, Ф576, Ф577

M562. На отрезке [0; 1] задано множество M, являющееся объединением несколько отрезков, такое, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 0,1. Докажите, что сумма длины отрезков, составляющих M, меньше a) 0,55; б) 0,5.

Рис. 1.

а) Обозначим сумму длини отрезков, составляющих множество M, через S. Сдвинем множество M ⊆ [0; 1] вправо на расстояние 0,1. Полученное множество N не имеет общих точек с M, поскольку в M нет двух точек на расстоянии 0,1. Но оба конгрузных множеств M и N помещаются на отрезке [0; 1,1] для них 1,1. Таким образом, 2S<1,1, откуда S<0,55.

6. Разобем отрезок [0; 1] на десять одинаковых отрезков A₀A₁, A₁A₂, …, A₉A₁₀. Расположим эти отрезки над другим, как на рисунке 1, после чего спроектируем все отрезки на самый нижний отрезок A₀A₁. Докажем, что в любую точку отрезка A₀A₁ спроектируется не более пяты точек из множества M. В самом деле, если некоторая вертикальная прямая пересекает не менее шести отрезков, принадлежих M, то найдет два соседних отрезка AᵢAᵢ+1 и Aᵢ+1Aᵢ+2, пересекающих с этой прямой в точках, принаддатей.

Рис. 2.

Рис. 3.

лежащих множества M (рис. 2). На отрезке [0; 1] расстояние между этим точками будет равно 0,1 (рис. 3), что противоречит условиям. Поэтому в каждую точку отрезка A₁A₂ длины 0,1 проектируется не более пяты точек из множества M. Из этого сразу следует, что суммарная длина отрезков, составляющих множества M, меньше 0,1 • 5=0,5.

А. Кац

M563. Функция f определяна на отрезке [a; b] длины 4 и имеет на нем непрерывную произvodную f’. Докажите, что внутри отрезка [a; b] найдется точка x, для которой

$$f'(x) - (f(x))^2 < 1.$$

Предположим, что утверждение задачи неверно, то есть что во всех точках x∈[a; b] выполнен неравенство

$$f'(x) - (f(x))^2 \geq 1,$$

или

$$\frac{f'(x)}{1 + (f(x))^2} \geq 1.$$

Поскольку (arctg y)’ = $\frac{1}{1 + y^2}$, следует производная сложной функции Φ(x) = arctg f(x). Итак, мы знаем, что во всех точках отрезка [a; b]

$$\Phi'(x) \geq 1.$$

Воспользуемся формулой Ньютона — Лейбница:

$$\Phi(b) - \Phi(a) = \int_a^b \Phi'(x) dx \geq \int_a^b dx = b - a = 4.$$

Но arctg принимает лишь значения из интервала $] - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$ [, значит, $\Phi(b) - \Phi(a) < \pi$. Получили противоречение.

Из нашей решения ясно, что утверждение задачи верно для отрезка [a; b] длины π (или больше). Кроме того, в нашем решения мы игнорize не пользовались непрерывностью произvodной функции f.

Наглядную интерпретацию задачи можно получить, заметив, что дифференциальное уравнение $\frac{y'}{1 + y^2} = 1$ имеет

33

М564. Для каких точек М стороны BC треугольника ABC верно утверждение: $\triangle MPQ \sim \triangle ABC$, если точки P и Q являются:
а) центрами окружности, описанных соответственно около треугольников ABM и ACM;
б) точками пересечения их медиан;
в) точками пересечения их высот?

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

а) Покажем, что точку M на стороне BC можно выбрать произвольно.

Треугольники MPQ и APQ конгруэнтны ($|AP|=|MP|$, $|AQ|=|MQ|$, рис. 1). Докажем подобие треугольников APQ и ABC. Пусть K, L, O — середины сторона AB, AC и AM соответственно. Без ограничения общности можно считать, что $\overset{\frown}{AMB} < \pi/2$ (случай [AM] $\perp$ [BC]) тривиален).

Вокруг каждой из четырехугольников AOLQ и AKPO можно описать окружность ($\overset{\frown}{AOQ} = \overset{\frown}{ALQ} = \overset{\frown}{AOP} = \overset{\frown}{AKP} = \pi/2$ — см. рис. 1). Поэтому $\overset{\frown}{LAQ} = \overset{\frown}{LOQ}$ и $\overset{\frown}{POK} = \overset{\frown}{PAK}$. Но $\overset{\frown}{LOQ} = \overset{\frown}{POK}$ — как вертикальные углы. Отсюда $\overset{\frown}{LAQ} = \overset{\frown}{PAK}$ и

$\frac{|AL|}{|AQ|} = \frac{|AK|}{|AP|}$. Поэтому композиция поворота на угол $\overset{\frown}{PAK}$ с центром в точке A и готовится с коэффициентом $k = \frac{|AK|}{|AP|}$ с тем же центром A переводит треугольник APQ в подобный ему треугольник AKL. Итак, $\triangle APQ \sim \triangle ABC$.

6. Гомотетия с коэффициентом $\frac{3}{2}$ и центром в точке M переводит $\triangle PQM$ в подобный ему $\triangle KLM$ (рис. 2). Допустим, что $\triangle KLM$ подобен $\triangle AKL$. Разберем три случая:

1°. $\alpha = \delta$ (см. рис. 2). Тогда $(AL) \parallel (KM)$, так что $|MB| = |MC|$, то есть $M$ — середина [BC].

2°. $\alpha = \gamma$. Тогда $(AM) \perp (KL)$, так что $M$ — проекция вершины A на сторону BC.

3°. $\alpha = \widehat{A}$. Тогда либо $\beta = \gamma$ и $|MB| = |MC|$, либо $\beta = \delta$ и $M$ — проекция вершины A (на [BC]).

Нетрудно убедиться, что верно и обратное: если M — середина стороны BC или проекция на [BC] вершины A, то треугольники MPQ и ABC подобны.

в) В этом случае, как и в случае a), точку M на стороне BC можно выбрать произвольно. В самом деле (рис. 3), $\overset{\frown}{MPQ} = \overset{\frown}{ABC}$, $\overset{\frown}{MQC} = \overset{\frown}{ACB}$ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами); значит, $\triangle MPQ \sim \triangle ABC$.

К сожалению, при публикации условия этой задачи наборщик переуптал знаки подбия и конгруэнтности (он учился еще по старой программе); мы приносим извивения читателя, который эта опечатка помещала понять условия.

Э. Туркевич

34

М565. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — различные положительные числа. Обозначим через $b_k$ среднее арифметическое вещеzmожных произведений по $k$ данных чисел ($k=1, 2, \dots, n$):

$$b_1 = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n},$$
$$b_2 = \frac{a_1 a_2 + a_1 a_3 + \dots + a_{n-1} a_n}{n(n-1)},$$
$$b_n = a_1 a_2 \dots a_n.$$

Доказите неравенства:

a) $b_1 \geq \sqrt{b_2}$,
b) $b_k^2 \geq b_{k-1} b_{k+1}$ ($k=2, \dots, n-1$);
b) $\sqrt[k]{b_k} \geq k+1 \sqrt{b_{k+1}}$ ($k=2, \dots, n-1$).

Пусть $s_1 = nb_1, s_2 = \frac{n(n-1)}{2} b_2, \dots,$
$\dots, s_k = C_k^k b_k, \dots, s_n = b_n^*$.

Рассмотрим многочлен

$$P(x) = x^n - s_1 x^{n-1} + \dots + (-1)^{n-1} s_{n-1} x + (-1)^n s_n.$$ (1)

Поскольку $P(x) = (x - a_1)(x - a_2) \cdot \dots \cdot (x - a_n),$ (2)
$P(x)$ имеет $n$ различных положительных корней $a_1, a_2, \dots, a_n$.
a) Продифференцируем его $n-2$ раза, после чего поделим на $n(n-1) \dots 4 \cdot 3$. Мы получим квадратный трехчлен

$$x^2 - \frac{2}{n} s_1 x + \frac{2}{n(n-1)} s_2,$$ (3)

имеющий различные положительные корни (между двуя корнями многочлена всегда корень его производной — см. рисунок). Значит, у многочлена (3) положительный дискриминант $D = \frac{s_1^2}{n^2} - \frac{2s_2}{n(n-1)}$, открывающая $\frac{s_1}{n} > \sqrt{\frac{s_2}{n(n-1)}}$, то есть $b_1 > \sqrt{b_2}$.

6. Продифференцируем теперь многочлен $P(x)$ ($n-k-1$) раз ($k=2, \dots, n-1$). Получим многочлен $n(n-1) \cdot \dots \cdot (k+2) x^{k+1} - (n-1) \cdot \dots \cdot (k+1) s_1 x^k + \dots + (-1)^{k-1} s_{k-1} \times \frac{(n-k+1)!}{2} x^2 + (-1)^k s_k (n-k)! x + (-1)^{k+1} s_{k+1} (n-k-1)!,$ (4)

имеющий $k+1$ различных положительных корней. Поэтому многочлен $(-1)^{k+1} (n-k-1)! s_{k+1} y^{k+1} + (-1)^k (n-k)! s_k y^k + (-1)^k \frac{(n-k+1)!}{2} s_{k-1} y^{k-1} + \dots$

… + 1, $(4')$ получаются из многочлена (4) заменой $y = \frac{1}{x}$, также имеет $k+1$ различных положительных корней. Продифференцируем теперь $k-1$ раз многочлен $(4')$. Получим квадратный трехчлен $(-1)^{k+1} (n-k-1)! \frac{(k+1)!}{2} s_{k+1} y^2 + (-1)^k (n-k)! k! s_k y + (-1)^k \frac{(n-k+1)!}{2} (k-1)! s_{k-1},$ (5)

имеющий два различных положительных корня. Разделим его на $(-1)^{k-1} (n-k-1)! (k-1)!$; получим трехчлен

$$\frac{k(k+1)}{2} s_{k+1} y^2 - k(n-k) s_k y + \frac{(n-k+1)(n-k)}{2} s_{k-1}.$$

Дискриминант его положитель, так что

$$k(n-k) s_k^2 - (k+1)(n-k+1) s_{k-1} s_{k+1} > 0$$

или

$$\frac{s_k^2}{(C_k^n)^2} - \frac{(k+1)(n-k+1)}{k(n-k)} \frac{s_{k-1} s_{k+1}}{(C_k^n)^2} > 0,$$

то есть

$$\left( \frac{s_k}{C_k^n} \right)^2 - \frac{s_{k-1}}{C_k^n} \cdot \frac{s_{k+1}}{C_k^n} > 0$$ (6)

(поскольку)

$$\frac{n-k}{k+1} C_k^n = C_n^{k+1} \text{ и } \frac{k}{n-k+1} C_k^n = C_n^{k-1}$$

Таким образом,

$$b_k^2 > b_{k-1} b_{k+1} (k=2, \dots, n-1).$$

Неравенство 6) называется неравенством Ньютона. в) Будем доказывать в) по индукции. Базисом индукции ($k=1$) служит неравенство a). Предположим теперь, что нера-
*) Выражения $s_1, s_2, \dots, s_n$ называются элементарными (основными) симметрическими функциями от $n$ переменных $a_1, a_2, \dots, a_n$, а тот факт, что они с чередуюшимся знаками служат коэффициентами многочлена с корнями $a_1, \dots, a_n$ — теоремий Виета.

35

венство в) выполняется для $i=2, 3, \dots, k-1$, в частиности что
$$k-1 \sqrt{b_{k-1}} > \sqrt[k]{b_k},$$
и докажем его для $i=k$.
Перепишем неравенство из пункта 6) в виде
$$b_{k-1} < \frac{b_k^2}{b_{k+1}}.$$
Последние два неравенства дают
$$b_{k-1}^k < b_{k-1}^k < \frac{b_{k+1}^2k}{b_{k+1}^k},$$
то есть
$$b_{k+1}^k < b_{k+1}^k,$$
что и требовалось доказать.
Неравенство в) называется неравенством Маклорена.
M. Розенберг

Ф573. Оцените, какое количество воды можно учести в решете с квадратными ячейками размером $2 \times 2$ мм. Диаметр D решета равен 20 см. Нити решета не смачиваются водой.

Жидкость между нитями решета будет образовать меняск. Радиус этого меняска не может быть больше поливины расстояния между нитями, то есть $r_{\max} = 1$ мм. Поэтому максимальное давление, которое может быть в жидкости над меняском, превышает атмосферное давление на величины $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$ (σ — поверхностное натяжение воды). Эта формула справедлива для круглого меняска, то есть для решета с круглыми ячейками. Однако для оценки мы можем не учитывать сложной формулы меняска на квадратной сетке и пользоваться этой формулой.

Итак, $\Delta p = \frac{2\sigma}{r}$. С другой стороны, $\Delta p$ равно гидрохотное столбце жидкости $h$, напитой в решете:
$$\frac{2\sigma}{r} = \rho gh.$$
Отсюда находим $h = \frac{2\sigma}{\rho g r}$. Масса же жидкости в решете равна произведению ее объема $V$ на плотность $\rho$, то есть
$$m = V \rho = \frac{\pi D^2}{4} h \rho = \frac{\pi D^2 \sigma}{2gr} \approx 0,458 \text{ кг}.$$

Ф574. Два шара с массами $m_1=0,2$ кц и $m_2=0,3$ кц летят наструечу дружея другу со скоростью $v=20$ м/с каждый. График зависимости от времени сили взимодействия шаров при стolkновении показан на рис. 1. Какое количество теплла выделилось при стolkновении шаров?

Изменение импульса каждой из шаров равно импульсу действующей на этот шар силы. Импульс силы $\vec{F}$, действующей на шар в течение времени $\Delta t$, равен $|\vec{F}| \Delta t$. Следовательно, полный импульс силы, действующей на шар за время столковения, равен по абсолотной величины площади фигуры под графиком зависимости $|\vec{F}|(t)$. Из рисунка 1 находим импульс силы $|p_c|$:

$$|p_c| \approx 10^5 \cdot 10^{-6} \cdot 54 \text{ H} \cdot \text{c} = 5,4 \text{ H} \cdot \text{c}$$

(под графиком зависимости $|\vec{F}|(t)$ приблизительно 54 квадрата; площадь каждой квадрата $10^5 \cdot 10^{-6} \text{ H} \cdot \text{c}$).

Для проекций импульсов на ось $X$ (рис. 2) можно записать:
$$p_1 = m_1 v - |p_c|,$$
$$p_2 = -m_2 v + |p_c|.$$

Здесь $\vec{p}_1$, $\vec{p}_2$ шаров после столковения; $m_1 v$, $m_2 v$ — модили импульсов шаров до столковения. Из (1) и (2) находим скорости шаров после столковения:
$$v_1 = \frac{p_1}{m_1} v - \frac{|p_c|}{m_1} = -7 \text{ м/c},$$
$$v_2 = \frac{p_2}{m_2} = -v + \frac{|p_c|}{m_2} = -2 \text{ м/c}.$$

36

Теперь воспользовется законом сохранения энергии. Кинетическая энергия системы до стокновения равна $E = \frac{m_1 v^2}{2} + \frac{m_2 v^2}{2}$, а после стокновения $E' = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$. Разность $E - E'$ равна количеству теплы $Q$, выделившегося при стокновении. Следовательно,

$$Q = \frac{m_1 + m_2}{2} v^2 - \frac{m_1 v_1^2}{2} - \frac{m_2 v_2^2}{2} = 94,5 \text{ Дж}.$$

И. Слободецкий

Ф576. По прямой OB равномерно движется самолет со скоростью $v > c$ (с скоростью звука). Наблюдаемый следит за полетом из точки A. В том момент, когда самолет находится в точке O, специальное устройство, установленное на самолете, испускает два коротких звуковых импульса: сначала имплус с малой амплитудой, затем — с большей. Временной интервал между имплусами равен т. При каких условиях наблюдаемый следит зарезистрировать сначала имплус с большей амплитудой, а потом с малой? Расстояние OA равно L, угол AOB равен $\theta$.

Пусть за время т самолет переместился из точки O в точку D. Отложим на отрезке AO отрезок AC такой, что $|AC| = |AD|$. Если к моменту испускания второго имплуса (с большой амплитудой) первый имплус (с малой амплитудой) успет «пройти» расстояние $|OC|$ и оказывается в точке C, то оба имплуса будут зарегистированы в точке A одновременно. Если же расстояние, «пройенное» первый имплусом за время т, будет меньше $|OC|$, то второй имплус будет зарегистирован в точке A равше, чем первый. Таким образом, нас интересует, при каких условиях выполняется энергность

$$c\tau < |OC|.$$

Поскольку время т мало, можно считать, что углы, под которых наблюдаемый видит самолет в точках O и D, практически одинаковы, то есть угол $\phi$ (см. рис.ок) очень мал. Следовательно, можно считать, что $\vec{ACD} = \vec{ADC} = 90^\circ$. Тогда $|OC| = |OD| \cos \theta = v\tau \cos \theta$.

Подставим это выражение для $|OC|$ в (*):

$$c\tau < v\tau \cos \theta.$$

Отсюда находим, что второй имплус будет зарегистирован в точке A равше, чем первый, если

$$v > c/\cos \theta.$$

Это неравенство означает, что скорость самолета должна быть во всейском случае больше, чем скорость звука. Тогда, как показывает наше рассмотрение, может оказаться, что самолет приближается к наблюдаемой, а наблюдаемый будет слышать, как самолет удаляется.

В. Болотовский

Ф577. При температуре на纵це $t_0 = -20^\circ C$ работает батарея поддерживает в комнате температуру $t_1 = 16^\circ C$. Коеда кроме батареи включали электропитку мощностью $P_1 = 1$ кВт, в комнате устанавливалась температура, равная $t_2 = 22^\circ C$. Определить теплую мощность батареи.

При.mechanie. Теплоотдача от однозою тела к другим пропорциональна разности температур этих тел ($\Delta P = k\Delta t, k = const$).

При установленной температуре в комнате тепловая энергия, выделяющаяся на приборах, равна теплым потерям (потерям на теплотдачу). Следовательно, теплая мощность батареи равна

$$P = k(t_1 - t_0).$$

При включенной электропитке и работающей батарее

$$P + P_1 = k(t_2 - t_0).$$

Из (1) и (2) находим теплую мощность батареи:

$$P = P_1 \frac{t_1 - t_0}{t_2 - t_1} = 6 \text{ кВт}.$$

И. Слободецкий