Перемещения пространства

2

А. Сосинский

Перемещения пространства

В этой статье я хочу расссказать вам, какие бывают перемещения пространства. Сперава написно: перемещением пространства называется отображение $f$ пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Это значит, что для любых точек $A, B$

$$|AB| = |A'B'|,$$

(1)

где $A' = f(A), B' = f(B)$.

Примеры вы, конечно, знаете — это симметрии (центральная, освая, относительно плоскости) и параллельный перенос $\vec{a}$; легко сообщить, что перемещением будет и по-

ворот $R_l^\phi$ вокруг прямой $l$ на данной угол ф (рис. 1). Наша задача состоит в том, чтобы перечислить все перемещения пространства, подобно тому как это было сделано для плоскости в статье В. Болтянского «Перемещения плоскости» («Квант», 1980, № 3).

Из определения легко вывести, что перемещение переводит прямую в прямую, плоскость в плоскость, окружность в конгрузитную окружность, угод в конгрузитный угол и т. д.

Перемещения и ориентации

На плоскости ориентация задается указанием одного из двух возможных направлений вращения — «по часовой стрелке» или «против часовой стрелки». Obviously направление «против часовой стрелки» называется положительным, «по часовой стрелке» — отрицательным.

В пространстве тоже есть две ориентации: одна задается при авы м буравичком (таков, например, общий штопор), другая — левый м (рис. 2).

Matematики не очень любят говорить про буравички — ориентацию пространства они предопчитают задавать указанием некомпланной тройки векторов $(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})$.

Рис. 1.

3

Дело в том, что все такие тройки естественно делятся на два класса — на тройки, в которых кратчайшее время от первого вектора ко второму для наблюдается, находящемся на конце треться вектора, является положительным (см. рис. 3; назовем такие тройки положительные), и на тройки, в которых оно является отрицательным (отрицательные тройки).

Проконтроллерuye себя: в идите ли вы, что
a) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{c}; \vec{a}; \vec{b}$) имеют одинаковый знак?
b) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{a}; \vec{c}; \vec{b}$) имеют разный знак?
b) тройки ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) и ($\vec{a}; \vec{b}; -\vec{c}$) имеют разный знак?

Физики тройкам векторов предопчитают руки: правая рука задает положительное ориентацию, левая — отрицательную (рис. 4); вспомните правило левой руки в электронагенизме.

Итак, указыване некомпланной тройки векторов задает одну из двух возможных ориентаций пространства.

Если перемещение $f$ переводит выделенную тройку векторов в тройку того же знака (можно доказать, что тогда оно сохраняет знак либо тройки!), мы будем говорить, что оно сохраняет ориентацию; в противном случае мы будем, естественно,

Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.

Рис. 5.

4

Рис. 6.

говорить, что перемещение $f$ меняет ориентацию.

Например, параллельный перенос и поворот вокруг прямой (в частности, освая симметрия) сохраняют ориентацию, а центральная симметрия и симметрия относительно плоскости меняют ее (рис. 5).

Не хочу вводить вас в заблуждение: здесь все совсем не так просто. Например, сложочередная «против часовой стрелки» и «кратчайшее вращение … для наблюдаателя, находящого …» (см. выше) не имеют, строго говоря, никакого математического смысла — они не могут быть определены в рамках школьной акиноматики геометрии (и в других известных автору акиноматиках).

На самом деле, можно строго определить одинаково и против положно ориентированные «кругги со стрелкой» или тройки векторов, но формально нельзя отдать одному из типов кругов или тройки предпочтение. Далее, мы без доказательства приклады один нетривиальный факт: перемещение, сохраняющее ориентацию одной тройки, не может помещать ориентацию другой. Подробное обсуждение этих вопросов уведомы бы нас слишком далеко: для дальнейшего нам достаточно наглядной ясности.

Композиция перемещений

Композиция отображения $f$, $g$ (в частности, перемещений) называется отображение $h = g \circ f$, получающейся, если последовательно выполнить сначала $f$, а затем $g$; это значит, что для любой точки $A$

$$h(A) = g(f(A)).$$

Обратите внимание на порядок в записи $g \circ f$: сначала выполняется $f$, затем $g$. Запись эта в полне естественно, так как по формуле (2)

$$(g \circ f)(A) = g(f(A)).$$

Легко видеть, что композиция перемещений — перемещение (это мгновенно получается, если дважды применить (1)). Посмотрим, какие получаются перемещения, если брать композиции известных нам перемещений. Я начну с совсем простых примеров, которые вы легко разберете,глядя на соответствующее чертежи. Но здесь мало наглядного понимания — нужно проверсти доказательства (впрочем, весма процесы).

1°. Композиция двух симметричных относительно параллельных плоскостей — параллельный перенос (рис. 6 а).

2°. Композиция двух симметричных относительно пересекающих плоскостей — поворот вокруг кругов их лини пересечения (рис. 6 б).

3°. Композиция трех симметричных относительно трех взаимно перепадикулярных плоскостей — симметрия относительно их общей точки (рис. 6 в).

4°. Композиция симметричных относительно плоскости и перенос на перепадикулярный к ней вектор — симметрия относительно (другой) плоскости.

5

Рис. 7.

В этих примерах в результате композиции получались ранее известные нам перемещения. Но это, конечно, не всегда так — например, перемещение

$$W_{l,\vec{a}}^{\varphi} = \vec{a} \circ R_{l,\varphi},$$

где вектор $\vec{a}$ параллелен прямой $l$, нам до сих пор не встречалось; $W_{l,\vec{a}}^{\varphi}$ называется винтовым перемещением (с осью $l$, на угол $\varphi$ и на вектор $\vec{a}$); оно будет играть основную роль в дальнейшем расскаZE (рис. 7).

Ясно, что при $\vec{a} \parallel l$

$$\vec{a} \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi} \circ a.$$ (3)

Очевидно также, что композиция винтового перемещения и перемеща на вектор, параллельный оси врашения, будет снова винтовым перемещением с той же осью врашения, но с другим вектором перемеща (равным сумме старого перемеща и нового). А вот следующий факт совсем не оченьен:

$$5^\circ. \text{Композиция поворота } R_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ является винтовым перемещением } c \text{ осью } l' \parallel l \text{ на угол } \varphi.$$

Нам это утверждение скоро потребуется; доказем его. С этой целью разложим вектор $c$ в сумму $\vec{c} = \vec{c}_1 + \vec{c}_2$, где вектор $\vec{c}_1$ направлен вдоль оси $l$, а $\vec{c}_2$ перепendlуярен этой оси. Композиция параллельных переносов соответствуют сумма векторов, поэтому $\vec{c} = \vec{c}_2 \circ \vec{c}_1$, отсюда в силу (3)

Рис. 8.

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ \vec{c}_1) \circ R_{l,\varphi} = \vec{c}_2 \circ (\vec{c}_1 \circ R_{l,\varphi}) = \vec{c}_2 \circ (R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1) = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1.$$ (4)

Займется перемещением $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$, помня, что $\vec{c}_2 \perp l$. Расмотрим произвольную плоскость $l$ (рис. 8). На этой плоскости перемещение $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$ является композицией поворота плоскости $R_{0}^{\varphi}$ (где $O = l \cap \pi$) и перенос плоскости на вектор $\vec{c}_2$ (ведь $\vec{c}_2 \perp l \Rightarrow \vec{c}_2 \parallel \pi$). Такая композиция будет («Квант», 1980, № 3, с. 6) поворотом на тот же угол $\varphi$ вокруг нового центра $O'$, который легко построить (см. рис. 8, где $[OA] \rightarrow [AA']$). Такая же картина наблюдается во всех плоскостях, перепendlуярных $l$, так что

$$\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi},$$

где $l'$ — прямая, проходящая через $O'$ параллельно $l$. Из (4), учитывая $\vec{c}_1 \parallel l$, получаем

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1 = R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1 = \vec{c}_1 \cdot R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1.$$

Геометрические еще менее очевидно такое утверждение:

$$6^\circ. \text{Композиция винтового перемещения } W_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ осью, параллельной прямой } l, \text{ на угол } \varphi.$$

Однако этот факт можно доказать в два счета:

$$\vec{c} \circ W_{l,\varphi} = \vec{c} \circ (\vec{a} \circ R_{l,\varphi}) = (\vec{c} \circ \vec{a}) \circ R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1,$$