45
Письмо
в редакцию
В «Кванте» № 10 за 1978 год было напечатно решение задачи М478. Вот ее условия:
В волейбольном турипре кажде две команды сыграли по одному матчу.
a) Докажите, что если для любых двух команд найдется третий, которая выцерала у этих двух, то число команд не меньше семи.
b) Построите пример такой турипра из семи команд.
b) Докажите, что если для любых трех команд найдется такая, которая выцерала у этих трех, то число команд не меньше 15.
В решения указывалось, что если (при данном m) для любых m команд найдется команда, победившая их, то число команд не меньше 2 — 1 (это доказывает индукцией по m), и ставился вопрос, для каких m эта оценка не получается, то есть для каких m такой турипр из 2 — 1 команд существует.
После публикации решения задачи М478 в редакцию «Кванта» пришло письмо из Венгрии от профессора Л. Цирмаша. Он сообщал, что аналогичные задачи о турипрах рассматривались в генерским математикам Г. и Е. Секерешми еще в 1965 году. Они доказали, что если для любых m команд найдется выцерала у них команда, то число команд не меньше 2 — 1.
Применная последнее утверждение к n=m-1, k=m+1, мы получаем, что число команда, участующего в турипре, не меньше 2 — 1.
В частности, при m>2 в таком турипре не может быть 2 — 1 команд, что дает отпечатленный ответ на вопрос, поставленный в турипре М478.
В 1963 году известный венгерский математик Пауль Эрдёш доказал теорему, из которого следует, что турипр из 2 команд, в котором для любых m команд найдется команда, выиграшая у них, существует при m≥2. Таким образом, для минимального числа f(m) команд в таком турипре при m≥2 справедлива оценка 2 — 1≤f(m)≤2.
Существенно улучшить ее оценку трудно, но может быть, кому-либо из читателей «Кванта» удался это сделать?
В заключение мне хотелось бы предложить читатель «Кванта» еще одну задачу:
Пусть k — натуральное число, 4k+3 — простое число. Присвоим 4k+3 команда от 1 до 4k+3.
a) Покажите, что существует турипр этих команд, в котором команда с номером m тогда и только тогда выцерала у команда с номером n, m≠n, когда уравнение
m — n=l^2 — r (4k+3)
имет решение в целых числа l и r.
b) Докажите, что в этом турипре для любых двух команд найдется по крайней мере k команд, выцерала у этих двух.
b) Проверьте, что при k=4 в соответствии турипре 19 команд для любых трех найдется четвертая, выцерлая у этих трех.
Этот пример, построенный Г. и Е. Секерешми, показывает неулучшость их оценки при m=3.
Внимание, читатели!
В условия задачи М630, опубликованной в «Кванте» (1980, № 6, с. 19), допущена неточность. Первые два предложения должны быть таковы:
На плоскости данных окружность y и точка K. Проведем через произвольные точки P, Q окружности y и точку K окружности.
Срок присылаки решения этой задачи продлевается до 15 сентября 1980 года.
46
Спрашивайте — ответаем
«Недавно я совершенно случайно увидел колебания струпы на фоне телевизционного экрана. Когда струпа была расположена перепредикулярно линяем, образующим изображение экрана (то есть вертикально), участок струпы, попадающий на изображение экрана, имел форму четырехсилой, которая dwizualясь сверху видз. Держая струпу с разной силой, я получал разные «эграфики»; и не только синусовы, но и кривые сложной формы, скорее всего, и являющиеся графиками данного колебания струпы.
Прошу вас обязывать это является.»
(из письма читателя А. Перевезенцева).
Мы думаем, что ответ на этот вопрос будет интересен читателем «Кванта». Отвечает консультант отдела физики нашего журнала А. Володин.
Глаз человека обладает свойством «запоминать» изображение на короткое время — порядка 0,1 с. При освещении какого-либо объекта вспышкой света, дляшейся меньше 0,05 с, у человека создается зрительный образ как в виде мгновенной фотографики объекта. Такое «фотографирование» вы могли наблюдать во время вечерней или ночной грозы. Каждый наблюдатель во время вечерней или ночной грозы.
При освещении звучшей, а следовательно, колеблющейся струпы вспышкой света короче 0,01 с струпа будет представляться изогнутой в форме синусовы. (Освещение обычным непрерывным светом создает нечетку, размаzanную картину колеблющейся струпы.) Телерр представляет себе, что короткие вспышки света следует одна за другой, повторяясь периодически через 0,02—0,1 с. В этом случае в зрительном аппарате человека получается серия «мгновенных фотографиций», сливающихся одна с другой. В результате создается иллюзия непрерывного процесса. Если частота следования вспышек совпадает с частотой колеблющей струпы или кратна ей, то струпа освещается какдый раз в одном и том же положении и выглядает неподвижной синусовой.
При необходимости отличии частот за промежуток времени между вспышками струпа займет положение, близкое к первоначальному, но не совпадающее с ним. В этом случае создается впечательное медленного колебания струпы.
Освещение в виде серии коротных периодических повторяющихся вспышек называется строкосоппическим. Такое освещение применяется для изучения периодических процессов.
В опыте, описанном А. Перевезенцевым, источником строкосоппического освещения служил экран телевизора. Изображение на экране «рисуетя» электронным лучом строка за строкой (всего 625 строк), и когда проечен весь экран, луч гасится, возвращается на прежнее место и начинает рисовать следующий кадр изображения. Каждый месяцются каждые 0,04 с. Таким образом, экран телевизора можно считать источником строкосоппического освещения с частотой следования «вспышек» 25 Гц.
To, что при горизонтальном и вертикальном расположениях струпы наблюдаемые картины различются,—следствие неоднородности источника освещения. В самом деле, горизонтальная струпа рассматривается на фоне отдельной строки. Вертикальная — на фоне всех строк. В первом случае все струпа освещается «вспышкой» длительностью ~6·10⁻⁴ с (это время яркого свечения строки). На фоне одной струпы наблюдается определенная фаза колеблющей струпы. Заметим, что картина будет четкой лишь в случае строгой параллельности строки и струпы. Во втором случае участки струпы освещаются последовательными вспышками-строками, и наблюдаются разные фазы колебания струпы.
Свойством строкосоппического источника света обладает также киноэкран и лампы «дневного» света».