Дополнительный приём в заочные математические школы

61

Северо-Западная заочная математическая школа при Ленинградском университете им. А. А. Жданова (СЗМШ) и некоторых фильмальных Всесоизной заочной математической школе АПН СССР при Московском университете им. М. В. Ломоносова (ВЗМШ) объявляют дополнительный прием учащихся 8 классов на 1 курс индивидуального обучения, и прием школьных математических кружков 8 и 9 классов в группы «Коллективный ученик».
Основная цель заочных математических школа — помощь учащихся изучить математику в объеме средней школы, научить их самостоятельно мыслить и предолевать трудности в чтении книг по математике.
Учащиеся ЗМШ регулярно получают задания по математике, содержащие обяснение теоретического материала, изучение которого помогает решать предложенные задачи.
Te, кто изъявит желание заниматься в заочной математической школе, должен до 15 сентября 1980 г. направить свое заявление на имя директора этой школе. В заявлении надо указать фамилию, имя, класс, номер своей школы и свой полный почтовый адрес.
В конверт включате два листка бумаги размером 14 см×6 см с написанным вашим почтовым адресом.
Всем прилавшим заявления будет выступано первое задание. Зачисление будет произвольным по результатам его выполнения.
В группах «Коллективный ученик» могут заниматься несколько учеников под руководством своего преподавателя математики.
Зачисление производится до 1 октября 1980 г. на основании заявления руководителя группы с указанием класса и фамилия учащихся, заверенного печатью шкoles и подписью директора.
СЗМШ принимает учащихся школа Белоруссий (кроме Витебской и Гомельской обл.), Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, Карельской АССР, Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской области.
ВЗМШ принимает учащихся школа Башкирской, Дагестанской, Мордовской, Уdmуртской и Чуваскской АССР, Красноярского края, Амурской, Волгодской, Гомельской, Джезказанской, Донецкой, Кокчетавской, Костромской, Куйбышевской, Орловской, Пензенской, Саратовской, Смоленской, Тургайской, Ульяновской, Уральской, Целиноградской, Черновician и Ярославской области.
Адрес СЗМШ: 228197, Ленинград, ул. Савушкина 61, ЗМШ, прием.
Адрес ВЗМШ: 117234, Москва, В-234, МГУ, ВЗМШ, прием.

Вечерняя физическая школа (ВФШ) при физическом факультете МГУ объявляет набор учащихся в 8—10 классы на 1980/81 учебный год.
Основная задача ВФШ — помощь старшеклассникам глубже изучить физку в объеме школьной программы. Кроме того, учащиеся ВФШ смогут познакомиться с основными направлениями современной физики и посетить научные laboratorии физического факультета. Занятия проводятся в форме лекций и семинаров.
Занятия в ВФШ проводятся по результатам собственования. Для участия в нем надо подать заявление и сдать две фотокарточки размером 3×4 см.
Прием заявлений будет проходить с 5 по 27 сентября в комитете ВЛКСМ физика МГУ ежедневно (кроме воскресенья) с 16.00 до 18.00.
Адрес ВФШ: 117234, Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ВФШ.
Телефон для справок: 139-26-56.

63

Ответы, указания, решения

Ребусы
(см. с. 7)

1. • 91768
     9176
     9768
     8176
     118888

2. Два решения:

   • 2637
     696
     3333
     и + 4758
     797
     5555

3. $\sqrt[2]{458329} = 677$.

4. $\sqrt[3]{389017} = 73$.

5. 74 • 96 = 7104.

6. Два решения:

   • 25365
     15245
     и + 25365
     15285
     $\frac{56981}{97591}$
     $\frac{56941}{97591}$
7. • 431635
     431635
     863270

8. Два решения: $(45)^1 \cdot 43 = 1935$
   и $(13)^2 \cdot 17 = 2873$.

9. $(249)^3 = 15438249$.

Задачи наших читателей
(см. с. 11)

1. Поскольку функция $x \rightarrow \frac{1}{x}$ при $x > 0$ выпукла вниз, площадь трапеции $aABb$ (см. рисунок) больше площади защитырованной трапеции, то есть
   $$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{a} \right) (b-a) \geq \int_a^b \frac{dx}{x} = \ln x \bigg|_a^b = \ln \frac{b}{a}.$$

откуда получаем результат.

6. Отразим $\Delta ABC$ относительно основания $AC$, получим ромб $ABCB_1$. Поскольку $|AB_1| \parallel |BC|$ и $|AE| = |BB_1|$, четырехугольник $ABEB_1$ — равноведренная трапеция. Отсюда следует, что $B_1BE = AEB = a$. Обозначим $\widehat{BAE}$ через $\beta$. Тогда из треугольников $ABC$ и $ABE$ получаем:
   $$\begin{cases} 2\beta + 2a + 2\beta = 180^\circ, \\ \beta + 2a + a = 180^\circ, \end{cases}$$
   то есть $\alpha = 3\beta$. Подставляя это значение $\alpha$ в первое уравнение, находим $\beta = 18^\circ$, $\alpha = 54^\circ$.

Задачи наших читателей
(см. «Кваант» № 7, с. 9)

1. a) Одна из диагоналей четырехугольника делит другую пополам.

6. Это либо параллелограммы, либо трапеции, у которых длина больше основания составляет четверть перimetра, либо делются (четырехугольники, у которых длины сторон, прямых妒ше к концам одной из диагоналей, попарно равны).

64

Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр

Число граней 4 6 8 12 20
Число вершин 4 8 6 20 12
Число ребер 6 12 12 30 30
Косинус угла, под которым ребро видно из центра опис. сферы $-\frac{1}{3} \quad \frac{1}{3} \quad 0 \quad \frac{\sqrt{5}}{3} \quad \frac{1}{\sqrt{5}}$
Косинус двугранного угла $\frac{1}{3} \quad 0 \quad -\frac{1}{3} \quad -\frac{1}{\sqrt{5}} \quad -\frac{\sqrt{5}}{3}$
Радиус опис. сферы $\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \quad \frac{a\sqrt{3}}{2} \quad \frac{a}{\sqrt{2}} \quad \frac{a\xi\sqrt{3}}{2} \quad \frac{a\sqrt{\xi}^4\sqrt{5}}{2}$
Радиус впис. сферы $\frac{a}{2\sqrt{6}} \quad \frac{a}{2} \quad \frac{a}{\sqrt{6}} \quad \frac{a\sqrt{\xi}^5}{2\sqrt{5}} \quad \frac{a\sqrt{\xi}^3}{2\sqrt{3}}$
Площадь поверхности $a^2\sqrt{3} \quad 6a^2 \quad 2a^2\sqrt{3} \quad \frac{15a^2\sqrt{\xi}^3}{4\sqrt{5}} \quad 5a^2\sqrt{3}$
Объем $a^3 \quad a^3 \quad a^3\sqrt{2} \quad a^3\sqrt{4}\sqrt{5} \quad 5a^3\sqrt{\xi}^3 \quad 6$

$(a - \text{dлина ребра}; \text{через } \xi \text{ обозначано число } \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618045)$

Несколько вопросов по астрономии
(см. «Квант» № 5, с. 42)

1. В любой точке экватора продолжительность дня всегда равна продолжительности ночи.
2. Смена времени года на экваторе существует. Хотя Солнец находится над горизонтом всегдаровно 12 часов, его максимальная высота над горизонтом день этого дня изменяется.
3. На экваторе два раза в год — в дни весеннего (21 марта) и осеннего (23 сентября) равнодействий — Солнец в полдень бывают в зените. Таким образом, самые жаркие дни на экваторе приходятся на весну и на осень.
   В то время как в средних широтах за год происходит один цикл смены времени года, на экваторе происходит два циклы.
4. Нет, не промежутная. На экваторе в день летнего солнцетания (впрочем, как и в день зимнего солнцетания) высота кулминции Солнца наменьшая по сравнению с другими днями в году.

Номер готовили:
А. Виленкин, А. Егоров, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомиров, Ю. Шиханович

Номер оформили:
К. Борисов, М. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров,
А. Пономарева

Зав. редакцией Л. Чернова

Художственный редактор Т. Макарова

Корректор О. Кривенко

113035 Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16,
«Квант», тел. 231-83-62
Сдано в набор 17.VI-80.
Подписано в печать 17.VII-80.
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Физ. печ. л. 4.
Усл. печ. л. 5,6. Уч.-изд. л. 7,43
Цена 30 коп. Заказ 1400.
Тираж 260 311 экз.

Чеховский полигraphический комбинат
Союзолигraphифрома
Государственное комитета
СССР по делам издательства, полигraphии
и книжной торговли,
г. Чехов Московской области