Задачи М636—М640; Ф648—Ф652

26

Задачи

M636—M640; Ф648—Ф652

M636. Множество $A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент $A$, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежих $A$. Укажите среди всех множеств $A$, удовлетворяющих этим условиям, множество с минимальным числом элементов. (10)

Ю. Нестеренко

M637. Дан правильный треугольник $ABC$. Некоторые прямые, параллельные прямой $AC$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Точка $D$ — центр треугольника $PMB$, точка $E$ — середина отрезка $AP$. Определите углы треугольника $DEC$. (9)

А. Купцов

M638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены в красный цвет, остальные в синей, причем так, что каждый прямогольник из 6 клеток размером $2 \times 3$ содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямогольник из 99 клеток размером $9 \times 11$? (8)

Н. Карташов

M639. В тетраэдре $ABCD$ ($AC \perp BC$) и $(AD) \perp (BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $|CD|/|AB|$. (10)

Ю. Нестеренко

M640. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятичную дробь, отвечающий неокоторому числу $x_1$. Переставив в десятичной записи числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-й после запятой, получим десятиную записи числа $x_2$. Вообще, десятиная запись числа $x_{k+1}$ получается perestановкой цифр в записи $x_k$ с $(k+1)$-й по $(k+5)$-ю после запятой.

а) Докажите, что как бы ни perestавлять цифры на каждой шаге, получающая последовательность чисел $x_k$ всегда имеет неокоторый предел. Обозначим этот предел через $y$.

б) Выястите, можно ли с помощью такого процесса из

27

Ф648. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как 3:2:1 (рис. 1). Вершина $A_3$ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$. Определить скорости вершин $A_1$, $A_2$, $B_1$ в тот момент, когда все углы конструкции прямые. (8)

С. Кротов

Ф649. В ведре находится смесь воды со льдом. Масса смеси 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали изменять температуру смеси. Получившийся график зависимости $t$ (τ) изображен на рисунке 2. Известны удельная темпераность воды $c_B = 4200$ Дж/(кг·К) и теплота плавления льда $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг. Определите, сколько льда было в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкость ведра претензь. (8)

А. Буздин

Ф650. Для получения напряжения, величины которого мало зависит от температуры, собраная схема по рисунку 3. Вольтамперные характеристики дида Д при трех различных температурах окружающей среды $t_1 = 125^\circ\text{C}$, $t_2 = 25^\circ\text{C}$, $t_3 = -60^\circ\text{C}$ приведены на рисунке 4. Напряжение источника $U = 6$ В при температуре $25^\circ\text{C}$ и с увеличением температуры возрастает на $25 \cdot 10^3$ В/град. Найти напряжение между ажимами $A$ и $B$ при $t = 25^\circ\text{C}$ и зависимости этого напряжения от температуры. (9).

А. Зильберман

Ф651. В научно-фантастической поверхности описывается авариная ситuation, в которой actронов массы $M = 100$ кг оказывается на расстоянии $l = 100$ м от корабля со стаканом замерзшей воды. Обеспечивая сублиманию (испарение) льда, actронов возвращается на корабль. Реален ли такой способ возврашения? Оцените, за какое время actронов возврашает на корабль. Считайте, что сублимания льда происходит при постоянной температуре $T = 272$ К. Давление насыщающих паров при этой температуре $p_H = 550$ Па. Универсальная газовая постоянная $R = 8,3 \cdot 10^3$ Дж/(кмоль·К). Размеры стакана и массу льда задайте самостояльно. (9)

А. Стасенко

Ф652. Схема, изображенная на рисунке 5, состоит из двух одинаковых резисторов $R_2 = R_3 = R$ и двух одинаковых непленных резисторов $R_1$ и $R_4$, волтамперная характеристика которых имеет вид $U = \alpha I^2$, где $\alpha$ — некоторый изввствий постоянный коэффициент. При каком напряжении источника питания $U_0$ сила тока через гальванометр Г равна нулю? (10)

В. Скороваров