Одной линейкой

26

Ю. Михеев

Одной линейкой

На этом занятии математического кружка мы будем решать задачи на построение одной линейкой. Что можно построить таким образом из данных четырех точек? Мы даим некоторый ответ на этот вопрос. Попутно будет решена задача M625.

Дан конечный набор точек, линейка и карандаш. Какие новые точки можно тогда построить?

Уточним постановку задачи. Точка будем считать построенной, если она одна из данных или является пересечением двух построенных прямых; в свою очередь, прямую будем считать построенной, если она проходит через построенные (в частиности, данные) точки. Общая задача состоит в том, чтобы описать множество точек, которые можно построить исходя из данного конечного набора точек.

Ясно, что если данные, две или три точки, никаких новых точек построить нельзя (рис. 1); если данные четыре точки, какие-то три из которых (или все четыре) лежат на одной прямой, то же, очень удобно, никаких новых точек построить нельзя (рис. 2); если на одну четыре точке, какие-то три из которых (или все четыре) лежат на одной прямой, то же, очень удобно, никаких новых точек построить нельзя (рис. 3).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

27

Рис. 4.

Решение показано на рисунке 5; на нем черным изображена и уже построенная точка $F$ — середина $[PQ]$. Равенство $|P'Q'| = |Q'R'|$ следует из подобия треугольников $\Delta PMF \sim \Delta R'MQ', \Delta FMQ \sim \Delta Q'MP'$ и равенства $|PF| = |FQ|$.

Задача 3. Построить отрезок длины $n \cdot |P'Q'|$.

Для этого нужно просто $n - 1$ раз повторить процедуру, используемого в предыдущей задаче. На рисунке 6 построение показано для $n = 3$.

Разумеется, аналогично на примой $PQ$ можно построить отрезок длины $m \cdot |PQ|$.

Задача 4. Разделить отрезок $P'Q'$ на $m$ равных частей.

Решение. Сначала на примой $PQ$ строим $m - 1$ конгрузных отрезков $PQ_2, Q_2Q_3, \ldots, Q_{m-1}Q_m$. Затем строим $(PP')$ и $(Q_mQ')$ и соединяем их точку пересечения $A$ с точками $Q_2, Q_3, \ldots, Q_{m-1}$. Полученные $m - 1$ прямых делят $[P'Q']$ на $m$ равных частей. Для $m = 4$ конструция показана на рисунке 7.

(Заметим, что конструкция не проходит, если $(PP') \parallel (Q_mQ')$. Но эту трудность легко обойти: можно сна-

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Чала удвоить $[PQ]$, затем построить $m$ отрезков, конгрузных удвоенному отрезку, и далее повторить указанное в предыдущем абзаце построение.)

Для дальнейшего нам придется предположить, что данные точки $F, Q, P'Q'$ — рациональные, то есть имеют рациональные координаты относительно некоторых систем координат.

Задача 5. Построить произвольную рациональную точку $S$ на примой $PQ$.

Решение. Для рациональных точек $P, Q, S$ относение $|PS|$: $|PQ|$ рационально (доказте!), и значит $|PS| = \frac{m}{n}|PQ|$, где $m, n \in \mathbb{N}$. Поэтому достаточно разделить отрезок $PQ$ на $n$ равных частей и $m$ раз отложить от точки $P$ полученный отрезок.

Точно так же можно построить любую рациональную точку $T \in (P'Q')$.

Задача 6. Построить произвольную рациональную точку $T$ на плоскости.

28

Решение. Допустим, точка $T$ уже построена. Проведем прямые $TP'$ и $TQ'$; они пересекут*) ($PQ$) в точках $E$ и $F$. Так как прямые $TP'$, $TQ'$, $PQ$ разноналыны (то есть записьюются в виде линейных уравнений с разноналыми коэффициентами), координаты точки $E$ и $F$ получаются как решения систем линейных уравнений с разноналыми коэффициентами и поэтому тоже разноналыны. Умя строить $E$ и $F$, мы построим и точку $T$.

Итак, отправлясь от трапеции с разноналыми вершинами, можно построить вообще любую разнональную точку! Естественно спосить — а какие точки можно построить? Оказывается — никаких.

Задача 7. Доказать, что любая точка, построенная одной линейкой из набора разноналых точки, разноналана.

Действительно, прямая, проходящая через разноналыные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

Пусть теперь $A, B, C, D$ — четыре рациональные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

Пусть теперь $A, B, C, D$ — четыре рациональные точки, разноналана и точка пересечения разноналых прямых (как решение системы линейных уравнений с разноналыми коэффициентами) тоже разноналана.

Заметим попутно, что нами решена задача $M625a$).

*) В противном случае $T \in (P'Q')$, а этот случай уже разобран.

Раллельные прямые. Но это как раз самая трудная часть наших построений.

По условию точки $A, B, C, D$ либо образуют выпуклый четырехугольник, отличный от параллелограмма, либо одна из точек нахождения внутри треугольника, образованного остальных треугольниками. Проведяя в каждой из этих случавшие прямые, как на рисунках 8, а 6, получим одинаковые конфигурации. Поэтому ведем новые обозначения (см. рисунок 9, на котором данные и построенные точки не различаются).

Впрочем, из наших условий не следует, что прямые $EF$ и $MN$ пересекаются: они могут быть и параллельными. Когда же это произойдет?

Задача 8. Доказать, что если $|MK| = |KN|$, то $(MN) \parallel (EF)$.

Решение легко получить, если вспомнить решение задачи 2.

Задача 9. В случае, когда $|MK| = 2|KN|$, построить прямую, параллельную $(MN)$.

Решение. Сперва доказем, что в нашем случае $|MN| = |NL|$. Для этого нам придется применить теоремы Чевы и Менелая (их доказательства можно прочитать, например, в «Кванте», 1976, № 11, с. 22). Первая из этих теорем утверждает, что если вершины треугольника $EFK$ (рис. 9) лежат соответственно на прямых $MS, SN, NM$, то

$$\frac{|MK|}{|KN|} \cdot \frac{|NF|}{|FS|} \cdot \frac{|SE|}{|EM|} = 1.$$ (1)

Вторая утверждает, что если точки $E, F, L$ лежат соответственно на прямых $SM, SN, MN$ и расположены

29

ны на одной прямой, то

$$\frac{|ML|}{|LN|} \cdot \frac{|NF|}{|FS|} \cdot \frac{|SE|}{|EM|} = 1.$$ (2)

Сопоставляя эти равенства, получаем $|ML| = 2|NL|$, откуда $|MN| = |NL|$. А теперь построение параллельной прямой легко получается известным нам, в существии, способом (рис. 10).

Задача 10. В случае, когда $2|MK| = 3|KN|$, построите прямую, параллельную (MN).

Указание. Показите, что $|MN| = 2|NL|$, (рис. 11), и примените задачу 9.

Задача 11. Построите прямую, параллельную прямой MN, в общем случае.

Решение нам подсказывают предыдущие задачи. Пусть $|MK|$: $|KN| = p:q$, где $p > q$ (случай $p < q$ свидетельяк к этому переменному точек). Рассуждайте мы будем индукцией по $l$. Базис индукции, то есть случай $l = 1$, уже разобран (задача 8). Предположим, что при $p, q \leq l$ мы умеем по точкам M, K, L строить прямую, параллельную (MN). Пусть теперь $|MK|:|KN| = (l + 1):q$. Сопоставляя (1) и (2), получаем

$$\frac{|MN|}{|ML|} = \frac{l + 1 - q}{q}$$

и можно воспользоваться предположением индукции, согласно которой по точкам M, N, L можно построить прямую, параллельную прямой (MN).

Таким образом, мы доказали следующую теорему (и получно решили задачу M625):

Теорема. Множество точек, которые можно построить одной линейкой из четырех рациональных точек, находящихся в общем положении, состоит из всех рациональных точек плоскости.

Очевидно, увеличение числа исходных рациональных точек не меняет множества точек, которые можно построить.

Наверное, читатель хотелось бы узнать, какие точки можно построить исходя из четырех точек в общем положении, не все координаты которых рациональны. К сожалению, чтобы хорошего и точного сформулировать ответ, необходимо привлечь понятия из проективной геометрии. Однако интуитивно ясно, что в указанном случае получается множество точек, очень «похожее» на множество всех рациональных точек. Если говорить более точно, то данное множество «проективно-эквивалентно» множеству рациональных точек.

Упражнения

1. С помощью циркуля и линейки, исходя из четырех точек в общем положении, построите точку, которая нельзя построить одной линейкой (циркулем разрешается строить окружность $O(A, |AB|)$, где $A, B$ — построенные точки; точки пересечения построенной окружности с построенной прямой считаются построенными).

2. Данны три точки O, A, B и две параллельные прямые l, m, причем A, B ∈ l и O∉ l, O∉ m. Построить одной линейкой

a) прямую, проходящую через O параллельно l;

b) прямую, проходящую через A параллельно OB.

3*. Данны пять точек (0,0), (1,0), (1,1), (0,2), ($\sqrt{3}$, 0). Какие точки можно из них построить одной линейкой?