Разрезание фигур на конгруэнтные части

60

Три доклада на Батумском празднике

За активное участие в Празднике юных математиков подпиской на «Квант» на 1981 год нагradжен ряд школ (см. «Квант» № 9). Среди них — тбилисская школа № 96. Эта школа — не математическая, а обучная средняя школа. При школе создан музей математики, работает. математический кружок, школьники выпускают математический журнал. Доклады восемиклассников этой школи (руководители команды — учитель математики Л. А. Штейнгари и О. Э. Шаманлов) были очень хорошо и тщательно оформлены. Краткое изложение этих докладов, присланное Л. А. Штейнгари, мы предложаем вашему вниманию.

Разрезание фигур на конгруэнтные части

Будем говорить, что фигура $F$ разрезана на части $A$ и $B$, если $A \cup B = F$ и $A \cap B = \emptyset$ (анаалогично определяется разрезание на три части, на четыре части и т. д.).

На рисунке 1 пряма разрезана на две конгруэнтные части (А — объединение «красных» отрезков без левых концов, В — объединение «синих» отрезков без левых концов). Примую легко разрезать на любое число конгруэнтных части.

На две конгруэнтные части можно разрезать луч (как с началом, так и без начала), окружность, синусиду, плоскость и угол.

А вот отрезок на две конгруэнтные части разрезать нельзя (предположим противное; тогда $A$ отображается на $B$ центральной симметрией или паралельным переносом; с помощью теоремы Вейерштраса о существовании предела можно прийти к противению).

Нельзя также разрезать на две конгруэнтные части круг и квадрат.

(Докладчик сказаал, что ему неизвестен способ, как узнать по фигуре,

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.