Двойственность

41

Геометрические задачи наших читателей

1. Пусть $a, b, c$ — длины, соответствующего сторона $BC$ $CA$ и $AB$ произвольного треугольника $ABC$. Пусть $O_1$ — точка пересечения его bicсетрисс, $O_2$ — точка пересечения медиан. Обозначим через $K, L$ и $M$ точки пересечения прямой $O_1O_2$ с прямыми $BC, CA$ и $AB$. Пусть, наконец, $\lambda, \mu$ и $v$ — числа, для которых $\overrightarrow{BK} = \lambda \cdot \overrightarrow{KC}, \overrightarrow{CL} = \mu \cdot \overrightarrow{LA}, \overrightarrow{AM} = v \cdot \overrightarrow{MB}$. Доказйте, что $\lambda = \frac{a-c}{a-b}, \mu = \frac{a-b}{c-b}, v = \frac{c-b}{c-a}$.

2. Пусть в треугольнике $ABC$ длины $a, b, c$ сторон $BC, CA, AB$ удовлетворяют соответствию $a > b$. Пусть $h_a = |AA_0|, h_b = |BB_0|, h_c = |CC_0|$ — длины высот AA$_0$, BB$_0$, CC$_0$ треугольника, а $H_a, H_b, H_c$ — проекции их оснований A$_0, B_0, C_0$ на bicсетриссы углов A, B и C соответственно. Доказите, что для плоскей треугольников с вершинами в этих точках справедливны следующие равенства:
   a) $a^3 \cdot S_{AH_aA_0} + b^3 \cdot S_{BH_bB_0} = c^3 \cdot S_{CH_cC_0}$;

3. Известно, что в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть $E$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Доказите, что
   $$\frac{|AE|}{|EC|} = \frac{\text{ctg} \hat{A}/2}{\text{ctg} \hat{C}/2}.$$
   У. Алла

4. a) Пусть $ABC$ — треугольник, $M$ — точка внутри него, являющаяся общей вершиной трех конгрузных равносторонних треугольников, две другие вершины каждой из которых лежат на смежных сторонах треугольника $ABC$ (см. рис.). Доказите, что длина стороны этих равносторонних треугольников равна
   $$\frac{2abc}{a^2 + b^2 + c^2 + 4S\sqrt{3}}.$$
   где $S$ — площадь треугольника $ABC, a, b, c$ — длины его сторон.

5. Обозначим через $M_1, M_2$ и $M_3$ проекции точки $M$ на стороны данного треугольника (см. рис.). Доказите, что треугольник $M_1M_2M_3$ — равносторонний.
   A. Ягубынц

6. Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, проведен отрезок $MN$ с концами на сторонах треугольника, $M \in [AB]$,

7. Обозначим через $M_1, M_2$ и $M_3$ проекции точки $M$ на стороны данного треугольника (см. рис.). Доказите, что треугольник $M_1M_2M_3$ — равносторонний. Обозначим через $O$ точку пересечения этих bicсетрисс. Доказите, что середины отрезков $AO, BO, CO, A_1O, B_1O, C_1O, A_1B_1, B_1C_1$ и $A_1C_1$ лежат на одной окружности.

И. Кушинр

Двойственное

На первой странице обложки показаны один и�п правильных паркетов («Квант», 1979, № 2, с. 9) и «двойственное» к нему покрытые плоскости конгрузными многоугольниками. Тонкой игрой красок и линей наш художник В. Лухин суммел осуществить постепенный переход от паркета, составленного из квадратов и правильных треугольников (синей и зеленьй цветовверху), к покрытию плоскости одинаковыми пятугольниками (желтый и красный — внизу).

Этот переход известен в топологии как двойственное Пуанкаре. Она позволяет перейти от любого покрытия плоскости выпukлими многоугольниками к другому покрытию. Геометрические этот переход описывается так: в одной из внутренних точек каждой многоугольника (ерани) ставится точка (новая вершина); две новые вершины соединяются (новым) ребром тогда и только тогда, когда их грани имеют общие (старое) ребро. При этом каждой стороны вершине будет соответствовать многоугольник — новая грань.

В нашем случае новые вершины выбирались в центре стары граней, что обеспечило конгрузность всех новых граней (почему?).

Посмотрите, какие покрытия плоскости получаются, если применить эту конструкцию к другим правильным паркетам, и подумайте, что будет, если применить дважды подряд.

O. М.