Уравнения думают за нас

42

В. Нахшин

Уравнение
думают за нас

Решение любой расчетной задачи по физике состоит из двух частей — физической и математической.

Пока мы обдумаем условия задачи, анализируем, в соответствии с какими физическими законами происходит данное явление, и составляет соответствующее систему уравнений, мы — физики. После этого физика временно отходит на задний план. Теперь мы — математики, и перед нами стоит иные проблемы: как наиболее рационально решить полученную систему уравнений и найти ответ? Причем ответ нужно найти в общем (буквенном) виде, чтобы следа от знака равенства столяюю искомая величины (в буквенном обозначении), а справа — комбинация из только известных величины (то же в соответствующих буквенных обозначениях).

Но вот ответ в общем виде получен, и мы снова обращаемся к физике: прежде чем подставить числовые данные, надо проверить размерность искомой величины и проанализировать ответ с точки зрения егоравоподобности. Если размерность верна и ответ правоподобен, можно подставлять данные и считать.

Описанные этапы решения присущии практических всем задачам. Однако иногда — а именно о таких случаях и будет расссказано в статье — после расчетов получается необходимый абсурдный результат, что свидетельствует о неверном решении. Так бывают, например, когда ни условие задачи, ни интуция, ни здравый смысл не могут подсказать, в какую сторону протекает тот или иной процесс или каков конечный результат.

Приступая к решению такой задачи, мы вынуждены предположить какой-то вариант и в соответствии с ним составить систему уравнений. Если ответ получится абсурдным, отмечаться не стоит. Просто нам не повезло: наше предположение оказывается неверным. Однако определению информации мы все же получили — в предполагаемом направлении процесс не идет. Что же, допустим другой вариант и так далее. Задчача превращается в небольшое исследование, а уравнения — как бы в товарейшей по размышлению. В конце концов они нас не подведут (разумеется, если мы их не подведем, то есть не ошибемся в составлении и решения) и расскажут нам об истинном направлении процесса или о конечном результате.

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. На вершине церехохватой наклонной плоскости укреплен блок, через которой переброщена нить (рис. 1). К концу пути прикреплены два тела массами $m_1=3$ кг и $m_2=2$ кг. Найдите ускорение системы и силу треня между первым телом и плоскостью, если коэффициент треня $\mu=0,5$ и угодна плоскости к горизонту $\alpha=30^\circ$.

Куда ускоряется система и движется ли она вообще? Из условия задачи не ясно. Между тем, знать это очень важно. Так, если система

44

плоскости. Это — проекция силы тяжестии, равная по модулю $m_1 g \sin \alpha = 15$ Н, и сила натяжения нити, модель которого найти из условия покоя второго тела: $T = m_2 g = 20$ Н. Следовательно, сила треня покоя направлена вдоль плоскости вниз и равна по модулю

$$F_{\text{тр.п}} = T - m_1 g \sin \alpha = 5 \text{ Н}.$$

Кстати, нетрудно убедиться в том, что в данном случае сила треня $F_{\text{тр.п}} = 5$ Н действительно меньше $\mu N = \mu m_1 g \cos \alpha \approx 13$ Н.

Задача 2. В калоритер, содержащий $m_1 = 3$ ке льда при температуре $t_1 = -10^\circ C$, влажот $m_2 = 2$ ке воды при температуре $t_2 = 80^\circ C$. Какая температура устанавливается в результате теплобмена? Теплоемкость калоритера не учитывать.

Ясно, что конечная температура $t$ находится в промежутке от — 10 до +80° С:

$$-10^\circ C < t < 80^\circ C.$$

Следовательно, она может быть больше 0°С — температуры тяжения льда, меньше этой температуры или равной ей. Какой именно она оказывается, заранее сказаать нельзя. Будем к целю пробираться «наощупь», перебирая возможность варианты и полагаясь на волю уравнения.

Предположим, что $t > 0^\circ C$, то есть что в калоритере будет только вода. Тогда лед получает тепло в три этапа: будучи собственно льdom, нагреваясь от — 10 до 0°С, превращаясь в воду при 0°С и, будучи уже водой, нагреваясь от 0°С до $t$. При этом вода отдает тепло только при охлаждении от температуры $t_2$ до $t$. Запишем соответствующее уравнение теплового баланса:

$$c_1 m_1 (0 - t_1) + \lambda m_1 + c_2 m_2 (t - 0) + c_2 m_2 (t - t_2) = 0,$$

где $c_1 = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) и $c_2 = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К) — удельные теплоемкости льда и воды, а $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг — удельная теплота плавления льда. Отсюда найдем

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 - \lambda m_1}{c_2 (m_1 + m_2)}.$$

Подставив числовые данные, получаем $t < 0^\circ C$. Значит, нашед предположение неверно.

Теперь допустим, что $t < 0^\circ C$. В таком случае вода отдает тепло в три этапа — охлаждаясь до 0°С, превращаясь в лед при 0°С и в качестве льда охлаждаясь до искомой температуры $t$, а первогочный лед получает тепло только в один этап — нагреваясь от $t_1$ до $t$:

$$c_1 m_1 (t - t_1) + c_2 m_2 (0 - t_2) - \lambda m_2 + c_1 m_2 (t - 0) = 0.$$

Решив это уравнение, получаем

$$t = \frac{c_1 m_1 t_1 + c_2 m_2 t_2 + \lambda m_2}{c_1 (m_1 + m_2)}.$$

Подставим числовые данные и убедемся, что $t > 0^\circ C$. Следовательно, и второе предложение было неверным.

Остается единственный вариант: $t = 0^\circ C$. Это и будет ответом задачи.

Здесь мы предвидим некоторое устройство досады у читателя: почему автор нарочито подбирает примеры, где все пероначальные предложения оказываются неверными, и оба столбцы громоздких решений приводят к сравнительно простым результатам ($a = 0, t = 0^\circ C$)? Почему бы, в самом деле, не предложить заранее именно эти простые варианты?

Такой путь возможно, но облегчения он не сулит. Так, в первой задаче, предложив покой и не имея при этом формулы для силы треня покоя, мы должны создать систему из трех уравнений равновесия, но, решив ее и найти силу треня, надо обязательно проверить, действительность ли она меньше силы треня скольжения. Если оказывается, что нет, придется все решения, описанное выше, начинать сначала.

Во второй задаче, предложив $t = 0^\circ C$, мы должны подтвердить это уравнение теплового баланса, но неизвестно, как его составить. Мы не знаем, что равные до нулю: лед «снизу» или вода «сверху», и как следствие — расплавился ли часть (и какая часть) льда или замерзла часть воды? Можно, конечно, что-то предложить, но число вариантов будет не меньше, а даже больше, чем в приведенном выше решении.

Задча 3. Найди теки во всех ветях схемы, изображенной на рисунке 4. Здесь $\mathcal{G}_1 = \mathcal{G}_2 = \mathcal{G}_3 = 1$ В,

45

Рис. 4.

$$r_1 = r_2 = r = 1 \text{ Ом} \text{ и } R_1 = R_2 = R_3 = R = 10 \text{ Ом}.$$

Предположим, что точки $I_1, I_2$ и $I_3$ направлены так, как показано на рисунке 4, хотя мы достоверно этого и не знаем. Если мы ошиблись, соответствующие уравнения нас поправят.

Поскольку в точках разветвления (узлах) электрический заряд не накапливается, заряд, поступающий в единицу времени в узел, равен заряду, уходящему из узла за то же время, то есть

$$I_1 = I_2 + I_3.$$

Выделим в данной схеме два простых замкнутых контура, например левый и правый, и выберем в них направления обхода, например против часовой стрелки. Согласно закону сохранения энергии, алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме подений направления:

$$\mathcal{E} = I_1 R + I_1 r + I_2 r + I_2 R,$$
$$-\mathcal{E} = -I_2 R - I_2 r + I_3 R.$$

Обединиим полученные уравнения в систему и для простоты подставим числовые данные:

$$\begin{cases} I_1 = I_2 + I_3, \\ 10 I_1 + I_1 + I_2 + 10 I_2 = 0, \\ 10 I_2 + I_2 - 10 I_3 = 1. \end{cases}$$

Решив эту систему, найдем

$$I_1 = -\frac{1}{31} \text{ А}, \quad I_2 = \frac{1}{31} \text{ А}, \quad I_3 = -\frac{2}{31} \text{ А}.$$

Первый и третий точки получились отрицательными. Это означает, что наши предположения об их направлениях оказались неверными. Числовые значения мы нашли верно, а направления этих токов — противоположны предполагаемым.

Задча 4. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 25 \text{ м/с}$. Через какое время оно будет на высоте $h = 40 \text{ м}$?

Запишем извесную формулу для координаты тела, брошенного вертикально вверх (положительный считаем направление вверх):

$$h = v_0 t - \frac{g t^2}{2}.$$

Решая его относительно $t$, получим

$$t = \frac{v_0 \pm \sqrt{v_0^2 - 2gh}}{g}.$$

Однако при подстановке числовых данных выясняется, что выражение под корнем отрицательно. Что это означает?

Оказывается, это уравнение на своем языке подсказывает нам, что данное тело вообще не достигает такой высоты. В самом деле, максимальная высота подема $h_{\text{max}} = v_0^2 / 2g \approx 31,5 \text{ м}$, что меньше $h = 40 \text{ м}$.

Так что бывают случаи, когда уравнение «думают» неожиданно, незапланированно.

Англійский естественный томас Гексли однажды сравнил математику с жерновами, перемалывощими только то, что в них засыпано, не более того. Приведенные примеры иллюстрируют эту мысль — если в уравнение была заложена неверная идея, решение выдост «шелуxy» и тем самым подолкнет нас к пониску рационального «зерна».

Уражнения

1. Оdnородный рычаг массой $m = 10$ кг опирается на опор, находящегося на расстоянии $l_1 = 25$ см от его левого конца. Длина рычага $l = 1$ м. Клевому концу рычага подвешен груз массой $m_1 = 2$ кг. С какой силой надо действовать на правый конец вниз под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, чтобы рычаг находился в равновесии?

2. В卡尔итерр, где находится $m_1 = 1$ кг льда при температуре $t_1 = 0^\circ \text{C}$, впускают $m_2 = 500$ г водяного пара при температуре $t_2 = 100^\circ \text{C}$. Какая температура установится после того, как произойдет теплобмен? Теплоемкость卡尔итера можно пребежать.

3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15 \text{ м/с}$. Какой путь пройдёт оно за $t = 2$ с полета? Ускорение свободного падения считать равным $g = 10 \text{ м/с}^2$.