Задачи М751—М755; Ф763—Ф767

39

Задачи

М751—М755; Ф763—Ф767

М751. На окружности отмещены 3k точек, разделяющих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, еще k дуг — длину 2, и остальные k дуг — длину 3. Доказите, что среди отмещенных точек найдется две диаметрально противоположные. (9)

В. Произвольов

М752. Квадратная таблица $n \times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличияся одно от другого не больше, чем на 1. Доказите, что хотя бы одно число встреется в таблице:
a) не менее, чем $[n/2]$ раз ([a] — целая часть a);
b) не менее, чем $n$ раз. (8)

А. Берзины

М753. Числа a, b, c лежат на интервале $]0, \pi/2$ [и удовлетворяют равенствам:
$\cos a = a,$
$\sin \cos b = b,$
$\cos \sin c = c$.

Расположите эти числа в порядке возрастания. (10)

С. Гессен

М754. a) Существуют ли многочлены $P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$ от переменных x, y, z такие, что выполено тожество $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$
b) Тот же вопрос для тожества $(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$ (10)

П. Гусятников, Ю. Нестеренко

М755. Внутри tetraэдра выбрана точка M. Доказите, что хотя бы одно ребро tetraэдра видно из точки M под углом, косинус которого не больше, чем $-1/3$. (9)

С. Гашков

40

Ф763. На горизонтальной поверхности обруч радиуса $R$. Мимо него движется со скоростью $v$ такой же обруч (рис. 1). Найти зависимость скорости верхней точки «пересечения» обручей от расстояния между их центрами. Обручи тонкие; второй обруч «проезжает» вплотную к первому. (9)

С. Кротов

Ф764. Ударная волна представляется собой области повышенного давления, распространяющегося с большой скоростью в направлении оси $X$ (рис. 2); в момент прихода волны давление резко повышается от значения $p_0$ до $2p_0$. На пути распространения волны стоит клин, размеры клина указаны на рисунке 3, масса клина равна $m$. Какую скорость проибретет клин сразу после прохождения через него фронта ударной волны? Считать, что проибретаемая клином скорость много меньше скорости распространения волны; треннее пренебрежимо мало. (8)

А. Буздин

Ф765. В настоящее время мощность всех источников энергии на Земле, использых человекаством, составляет $\Delta P = 10^{13}$ Вт, а мощность солнечной энергии, поступающей на Землю, — $P_0 = 10^{17}$ Вт. К какому перегреву $\Delta T$ поверхности Земли приводят земные источники энергии? Какова максимальное допустимая величины $\Delta P_{\max}$, если предельный перегрев из экологических сообщений не должен превышать величины $\Delta T_{\max} = 0,1$ К? Известно, что энергия, излучаемая в единицу времени нагретом телом, увеличивается в 16 раз при увеличении абсолотной температуры тела в 2 раза. (10)

С. Козел

Ф766. Для лампы-высышки применили нелинейный конденсатор (он заполнен диэлектриком, у которого диэлектрическая проницаемость зависит от напряженности поля). График зависимости напряжения $U$ от заряда $Q$ конденсатора приведен на рисунке 4. Конденсатор заряжают от батареи с $U_0 = 300$ В через резistor с сопротивлением $R = 10$ кОм. Найти максимальное число всыщек за 1 минуту. Считать, что при всыщке конденсатор полностью разряжается. Minimalное начальное напряжение всыщки $U_1 = 250$ В. (9)

А. Зильберман

41

Ф767. В одном из проектов получения электригини предлагалось использовать морские течения и магнитное поле Земли. Проект заключится в следующем.

В море погружают две горизонтальные металлические пластины, расположенные одна над другой на расстоянии $l=100$ м; площадь каждой пластины $S=1$ км$^2$. Морская вода, удельное сопротивление которого равно $Q=0,25$ Ом·м, протекает между пластинами с запада на восток со скоростью $v=1$ м/c. Магнитное поле Земли в данном месте однородно, направлено с юга на север; индукция поля равна $B=10^{-4}$ Тл. Определить максимальную электрическую мощность, которая может выделиться на нагрузке, подсоединенной к пластинам. (10)

А. Шеронов

Problems

M751—M755; P763—P767

M751. A circle is divided into $3k$ arcs by $3k$ points; $k$ arcs are of length 1, $k$ others of length 2 and the remaining $k$ are of length 3. Prove that at least two of the points are diametrically opposed. (9)

V. Proizvolov

M752. Integers are the entries in the $n \times n$ cells of a square table. Integers in cells with a common side differ by no more than 1. Prove that at least one number appears in the table

a) no less than $[n/2]$ times ([a] is the integer part of $a$); b) no less than $n$ times. (8)

A. Berzinsh

M753. The numbers $a, b, c$ in the interval $]0, \pi/2[$ satisfy the relations:

$$\cos a = a, \sin \cos b = b, \cos \sin c = c.$$

Write these numbers in increasing order. (10)

S. Gessen

M754. a) Do there exist polynomials

$$P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z)$$

in the variables $x, y, z$ satisfying the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-2x+1)^3R = 1?$$

b) Same question for the identity

$$(x-y+1)^3P + (y-z-1)^3Q + (z-x+1)^3R = 1.$$ (10)

P. Gusyatnikov, Yu. Nesterenko

M755. The point $M$ is chosen arbitrarily inside a tetrahedron. Prove that at least one edge of the tetrahedron is seen from the point $M$ under an angle whose cosine is no greater than $1/3$. (9)

S. Gashkov

P763. A hoop of radius $R$ stands on a horizontal surface. An identical hoop rolls past it with velocity $v$ (see figure Pис. 1). Find the dependence of the upper “intersection point” of the hoops on the distance between their centres. The hoops are thin; the second hoop rolls past the first, almost touching it. (9)

S. Krotov

43

Отредакции. Это решение по существу приводит к наблюдению, которое была посвящена задача М648; в таком четырехугольнике (вписанном в окружность, со взаимно перпендикулярными диагоналями) длина стороны вдое больше расстояния от центра окружности до середины противоположной стороны. Есть и значительное более короткие решения, найденные читателями. Например, перпендикуляры, опущенные из центра O на диагонали AC и BD, попадают в их середины (рис. 2), а потому каждая из частей, на которые ломана AOC делит наш четырехугольник, имеет площадь $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

M712. Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девятки чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.

$$\pi = 3,14159265\dots$$

1,11111111…
1,01011111…
1,01011011…
0,01011011…
0,00011011…
0,00001010…
0,00001000…
0,00001000…
0,00001000…
3,14159265…

M713. М — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множество M, если из M можно выбросить одну точку, что для оставшегося множества O является центром симметрии в общном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

Рис. 1.

• ● ● ● ● ●
• a)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●
• b)
• ● ● ● ● ●

Рис. 2

Отредакции. Это решение по существу приводит к наблюдению, которое была посвящена задача М648; в таком четырехугольнике (вписанном в окружность, со взаимно перпендикулярными диагоналями) длина стороны вдое больше расстояния от центра окружности до середины противоположной стороны. Есть и значительное более короткие решения, найденные читателями. Например, перпендикуляры, opущенные из центра O на диагонали AC и BD, попадают в их середины (рис. 2), а потому каждая из частей, на которые ломана AOC делит наш четырехугольник, имеет площадь $\frac{|AC| \cdot |BD|}{4}$.

◆ Заметим, что любое положительное число можно представить в виде суммы девятки чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1 (на полях в таком виде представлено число $\pi = 3,14159265\dots$). Пусть теперь $a > 0$ — данное число. Представляя $\frac{a}{7}$ в виде суммы девятки чисел, содержащих в своей десятичной записи только цифры 0 и 1, и учитывая, что $a = 7 \cdot \left(\frac{a}{7}\right)$, получим нужное представление числа $a$.

Задча M712 очевидным образом обобщается: любое положительное число можно представить в виде суммы q-1 чисел, q-ичная запись которых содержит только цифры 0 и k (k<q).

Э. Туркевич

◆ Конецное множество точек на плоскости может иметь 0, 1, 2, 3 «почти центров симметрии» (см. рисунок 1, а)—соответственно. Покажем, что больше трех «почти центров симметрии» конечное множество M на плоскости имеет не может.

Прежде всего заметим, что множество M имеет конечное число «почти центров симметрии», поскольку они могут быть только середины отрезков, соединяющих точки множество M. Выберем теперь такую прямую, при проекции на которой точки множество M и его «почти центры симметрии» не сливаются. Поскольку при проекции на прямую центр симметрии множество точки переходит снова в центр симметрии, достаточно доказать наше утверждение для конечного множества точек, лежащих на одной прямой.

Рассмотрим множество точек на прямой с координатами $x_1 < x_2 < \dots < x_n$. Если мы выбросим первую точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $(x_2 + x_n)/2$; если выбросим последнюю — то только точка с координатой $(x_1 + x_{n-1})/2$; наконец, если мы выбросим какую-нибудь не крайнюю точку, то центром симметрии оставшегося множества может быть только точка с координатой $(x_1 + x_n)/2$ (см. рис. 2; на рисунке 2, а мы выбросили среднюю точку — центр симметрии оставшегося множества попадает в нее). Значит, конечное множество точек на прямой, а тем самым и любое конечное множество точек на плоскости, не может иметь больше трех «почти центров симметрии».

В. Прасолов

44

М714. N друзей одновременного узнал N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали зовнить друг друга и обменивать новости. Каждый разговор длился один час. За один разовор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество часов не обходимо, чтобы все узнали все новости? Расмотите три случая: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

Обозначим через $T(N)$ минимальное число часов, за которое $N$ друзей смогут обменять новости. Любопытно, что функция $T=T(N)$ не монотна. Это можно обнаружить, найда значения $T(N)$ для небольших $N$ — они приведены в таблице на полях; рядом, на рисунке 1, показан способ, который позволяет для $N=4, 5, 6$ и 8 узнать все новости за $T(N)$ часов. Разумеется, чтобы решить задачу, мы должны не только указыть способ обменяться новости за $T(N)$ часов, но и доказать, что за меньше число часов этого сделать нельзя — получить для $T(N)$ оценку сизу. С нее мы и научем.

Рассмотрим произвольную новость. После первого часа ее знают не больше двух друзей, после второго часа — не больше четырех друзей, …, после $k$-го часа — не больше $2^k$ друзей. Поэтому, если после $T$ часов все $N$ друзей знают все новости, то $2^T \geq N$ и $T \geq \log_2 N$. Так как $T$ — целое число, то $T \geq \log_2 N$. (Здесять через $\Gamma a$ обозначается наименьшее целое число, которое не меньше, чем $a$. Такое обозначение сейчас применяется все чаще, особенно специализмировано по прикладной и вычислительной математике; при этом для общной целой части — «округления вниз» — вместо обозначения $[a]$ использует обозначение $[a]$.) Если $N$ — нечетное число, то найдется один из $N$ друзей — обозначим его через $A$, — который в первый час не участвует в разговорах. Применяяышеприведенные рассудения к той новости $a$, которое вначале знает только $A$, мы получим, что для обмена всеми новостями необходимо не менее $1 + \log_2 N$ часов.

Покажем, что найденная оценка сизу

$$T(N) = \begin{cases} \Gamma \log_2 N, & \text{ если } N \text{ четно}, \\ \Gamma \log_2 N + 1, & \text{ если } N \text{ нечетно} \end{cases}$$

достижима, то есть показем, что можно так организовать обмен новости, что после $T(N)$ часов все друзья будут знать все новости. Разберем три случая.

1°. Проще всего предъявить способ обмена новости за $k$ часов для $N=2^k$.

Сопоставим каждому друзу набор из $k$ чисел 0 и 1 («двоичный номер»); различных таких наборов от $(0,0, ..., 0)$ до $(1,1, ..., 1)$ как раз $2^k$. Пусть в $t$-м часу разговариют друг с другом пары друзей, номера которых отличаются лишь в одном $t$-м месте. Тогда, если номера двух друзей отличаются в $t_1, t_2, ..., t_s$ местах ($1 \leq t_1 < t_2 < ... < t_s \leq k$), то в результате разговорав в $t_1$-м, $t_2$-м, …, $t_s$-м часу они будут знать новости друг друга. (Этот способ для $N=4$ и $N=8$ проплодирован рисуком 1.)

Другой способ, пригодный для любого четного $N$, описан ниже в пункте 3°.

Рис. 1. На этих рисунках (для $N=4, 5, 6$ и 8 друзей) изображен один из оптимальных способов обмена новости. Распространение одной из новостей показано красным цветом.

45

2°. Пусть $2^{k-1} < N < 2^k$, $N$ — нечетное число. Тогда $\Gamma \log_2 N = k$, $N = 2^{k-1} + r$, где $0 < r < 2^{k-1}$. Покажем, как за $k+1$ часов все друзья могут узнать все новости. Разделим $N$ друзей на две группы: первый, состоящий из $2^{k-1}$ друзей, и второй, состоящий из $r$ друзей. В течение первого часа каждый друг из второй группы разговаривает с некоторым другом из первой группы. В последующие $k-1$ часов $2^{k-1}$ друзей первый группы обменывают между собой новости так, как это описано в пункте 1°; в результате каждый из них узнет все новости. Наконец, в последний час каждой друг из второй группы снова разговаривает с некоторым другом из первой группы, в результате чего все друзья из второй группы тоже узнат все новости.

3°. Пусть $2^{k-1} < N \leq 2^k$, $N = 2m$ — четное число. Тогда $\Gamma \log_2 N = k$ и $2^{k-2} < m \leq 2^{k-1}$. Покажем, как за $k$ часов все друзья могут узнать все новости.

Рассмотрим два правильных $m$-угольника, помещенных прямоугольным другом (см. рисунок 2, где $m=6$). Будем считать, что каждая вершина — это один из друзей (разные вершины — разные друзья). Двух друзей в некоторых момент времени $t$ будем называть соседними, если изображение их в этот момент вершины наихм $m$-угольников находится прямоугольным другом (например, как при $t=0$ вершины $A$ и $B$ на рисунке 2). Пусть $a$ — какая-нибудь из новостей. (Вершины, изображющие друзей, знающих в момент времени $t$ новость $a$, будем окрашивать.) Пусть в первый час между собой разговаривают все пары соседних в момент времени $t=0$ друзей (см. рисунок 2 при $t=1$). В дальнейшем перед началом $t$-го часа ($t=2, 3, ..., k$) мы будем поворачивать по часовой стрелке верхиной $m$-угольник на угол $2^{t-1} \cdot \frac{180^\circ}{m}$ и считать, что $t$-ый час разговаривают все пары друзей, оказывающихся к этому моменту соседними (на рисунке 2 изображено распространение новости $a$ после первого, второго и третьего часа). Результатом таких разговоров будет то, что после $t$-го часа $2^{t-1}$ вершин каждой из наихм $m$-угольников оказываются окрашенными. Поскольку $m \leq 2^{k-1}$, после $k$ часов будут окрашены все наихм. Таким образом, после $k$ часов все $N$ друзей будут знать любую новость $a$.

Наште утверждение полностью доказано.

Итак, ответы на пункты a), 6), в нашей задачи: соответствен, $T(64) = 6$ часов, $T(55) = 7$ часов и $T(100) = 7$ часов.

А. Анджан

M716.*) Из точки $M$ внутри данной треугольника $ABC$ опускают перpendикуляры $MA_1, MB_1, MC_1$ на прямые $BC, CA$ и $AB$. Для таких точки $M$ внутри $\triangle ABC$ величины $\frac{|BC|}{|MA_1|} + \frac{|CA|}{|MB_1|} + \frac{|AB|}{|MC_1|}$ прим#aет наименьшее значение?

$\cdot$ Пусть $|BC| = a, |CA| = b, |AB| = c, |MA_1| = x, |MB_1| = y, |MC_1| = z$. Заметим, что величины $ax + by + cz$ постоянна: для любой точки $M$ внутри данной треугольника она равна $2S$ — удвоенной его площади (см. рисунок)*. Оценим произведение интерсуошей нас величины $f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ на эту постоянную:

$$f \cdot 2S = \left( \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \right)(ax + by + cz) = a^2 + b^2 + c^2 +$$

$$+ ab \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + bc \left( \frac{y}{z} + \frac{z}{y} \right) + ac \left( \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \right) \geq$$

$$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = P^2,$$

*) Решение задачи M715—в заметеке А. Ходлева «Расселенение физек» (с. 28).

46

где $P = a + b + c$. Мы трижды воспользовались очевидным неравенством $\frac{u}{v} + \frac{v}{u} \geq 2$, которое превращается в равенство при $u = v$. Таким образом, мы доказали, что неравенство
$$f = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} \geq \frac{P^2}{2S}$$

верно для любых $x, y, z$ (таких, что $ax + by + cz = 2S$) и обращается в равенство при $x = y = z$, так что минимум выражения $f$ достигается в центре окружности, вписанной в наш треугольник: именно в этой точке $x = y = z = \frac{2S}{P}$.

Н. Васильев

M717. Данные натуральные числа $n$ и $r$, $1 \leq r \leq n$. Расстояние всегоэмножения подмножества $[1, 2, \dots, n]$, состоящее из $r$ чисел, и в каждом выбором наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выборных чисел равно $\frac{n+1}{r+1}$. (Например, при $n=3$, $r=2$ получаем три подмножества $[1, 2], [1, 3], [2, 3]$ и среднее арифметическое равно $(1 + 1+2)/3 = 4/3$.)

◆ Прежде всего заметим, что у множество $[1, 2, \dots, n]$ имеет $C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ подмножества, состоящих из $r$ чисел. Мы приведем два свойства чисел $C_n^k$), которые понадются нам для решения нашей задачи:
$$1^\circ. C_n^k + C_n^{k+1} = C_n^{k+1};$$
$$2^\circ. C_n^k + C_n^{k-1} + \dots + C_k^k = C_n^{k+1}.$$

Будем называть подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$, состоящие из $r$ чисел, $r$-подмножествами. Легко сообщить, что наименьшим элементами $r$-подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$ могут быть только числа 1, 2, …, $(n-r+1)$. При этом число $k$ является наименьшим сразу для $C_n^{k-1}$ таких подмножества (в самом деле, каждое $r$-подмножества, для которого число $k$ является наименьшим элементом, содержит наряду с $k$ и $r-1$ элемент из множества $[k+1, k+2, \dots, n]$, состоящего из $n-k$ элементов). Поэтому сумма всех выборных чисел равна
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1},$$
(*)

и нужно показать, что среднее арифметическое $\frac{S}{C_n^r}$ (всего имеется $C_n^r r$-подмножества) равно $(n+1)/(r+1)$, или что $S = C_n^r \cdot (n+1)/(r+1) = C_n^{r+1}$.

Воспользовавшись тем, что $C_n^{k-1} = C_n^k - C_n^{k-1}$ (см. $1^\circ$), преобразуем сумму $S$ следующим образом:
$$S = 1 \cdot C_n^{r-1} + 2 \cdot C_n^{r-1} + \dots + (n-r+1) C_n^{r-1} =$$
$$= 1 \cdot (C_n^r - C_n^{r-1}) + 2 \cdot (C_n^{r-1} - C_n^{r-2}) + \dots + (n-r) (C_n^{r+1} - C_n^{r+1}) + (n-r+1) C_n^{r+1} =$$
$$= C_n^r + C_n^{r+1} + \dots + C_n^{r+1},$$

Учитывая свойство $2^\circ$, получаем $S = C_n^{r+1}$, что и требовалось.

Эту задачу можно решить и по индукции, рассмотрев множество $[1, 2, \dots, n+1]$ и заметив, что
$$S(n+1, r) = S(n, r) + S(n, r-1)$$
(**)

(см. рис. 2); здесь через $S(m, k)$ обозначена сумма наименьших чисел $k$-подмножества множества $[1, 2, \dots, m]$.

Предположив доказанным равенства
$$S(n, r) = C_n^{r+1}, S(n, r-1) = C_n^{r+1}$$

для $r$- и $(r-1)$-подмножества множества $[1, 2, \dots, n]$ (базис индекции содержится в условиям задачи), получим, учитывая (**) и свойство $1^\circ$,
$$S(n+1, r) = C_n^{r+1} + C_n^{r+1} = C_n^{r+1},$$

что и требуется.

*) Более подробно с числами $C_n^k$ – биомпальными коэффициентами – можно познакомиться, прочитав статью Н. Васильева, А. Зелевинского «Многочлены Чебышева и рекуррентные соотношения» («Квант». 1982, № 1) или брошюру В. А. Успенского «Треугольник Паскала» (Популярные легки по математике, выпуск 43, М., «Наука», 1978); несколько первых строк этого треугольника изображены на рисунке 1.

48

М719. а) Для каких $n \geqslant 3$ существует множество из $n$ последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойствам: наибольшее из этих чисел является делительом наименьшего общего кратного остальных $n-1$ чисел?
6) При каких $n \geqslant 3$ существует единственное множество из $n$ последовательных натуральных чисел, обладающих указанным свойствам?

Любое натуральное $n$ при некотором $k$ удовлетворяет неравенством $2^k < n \leqslant 2^{k+1}$. тогда $2^k < n < 3 \cdot 2^k < 5 \cdot 2^k$.
Рассмотрим множество
$$A = \{3 \cdot 2^k, 3 \cdot 2^{k-1}, \dots, 3 \cdot 2^k-n+1\}$$
из $n$ последовательных натуральных чисел. Поскольку $n-1 \geqslant 2^k$, среди $n-1$ последовательных натуральных чисел от $3 \cdot 2^k-n+1$ до $3 \cdot 2^k-1$ найдется хотя бы одно, делается на $2^k$. При $n \geqslant 4$ хотя бы одно из них делится на 3. Поэтому число $3 \cdot 2^k$ является делителем наименьшего общего кратного остальных $n-1$ чисел множества $A$ для любого $n \geqslant 4$.

При $n \geqslant 6$ легко строится пример еще одного множества, обладающего указанным свойствам:
$$B = \{5 \cdot 2^k, 5 \cdot 2^{k-1}, \dots, 5 \cdot 2^k-n+1\}$$
(проверьте это!). Таким образом, при $n \geqslant 6$ существует по крайней мере два множества $A$ и $B$, обладающих указанным свойствам. Остается рассмотреть случай $n=3$, 4 и 5.

При $n=5$ также имеется два нужных множества: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$ и $\{8, 9, 10, 11, 12\}$.

Докажем, что при $n=4$ существует единственное множество, обладающее указанным свойствам. В самом деле, пусть множество $\{m, m+1, m+2, m+3\}$ обладает нужным свойствам. Поскольку $m+3$ является делителем НОК $(m, m+1, m+2)$ делится на $m+3$. Но $m(m+1)(m+2) = (m+3)(m^2+2) - 6$; значит, 6 должно делиться на $m+3$, откуда $m=3$, и мы получаем единственный пример множества из четырех последовательных натуральных чисел, обладающего указанным свойствам: $\{3, 4, 5, 6\}$.

Наконец, при $n=3$ таких множества $\{m, m+1, m+2\}$ нет: НОК $(m, m+1) = m(m+1)$ ($m$ и $m+1$ взаимно просты), но $m(m+1)$ не делится на $m+2$, поскольку $(m-1)(m+2) < m(m+1) < m(m+2)$.

А. Абрамов

M720. Про функцию $f$, определению на множестве всех пар неотрицательных чисел $(x; y)$, известно следующим следующим:

1°. $f(0, y) = y+1$
2°. $f(x+1, 0) = f(x, 1)$
3°. $f(x+1, y+1) = f(x, f(x+1, y))$
для каждой пары $x \geqslant 0, y \geqslant 0$. Найдите значение $f(4, 1981)$.

Легко видеть, что $f(1,0) = f(0,1) = 2$. Применяя соответствие $3^\circ$, находим
$$f(1, y) = f(0, f(1, y-1)) = f(1, y-1) + 1,$$
откуда следует, что
$$f(1, y) = f(1,0) + y + 2.$$
Аналогично получаем, что
$$f(2, y) = 2y + 3.$$
Поскольку, чем равно $f(3,y)$. Имеем
$$f(3,0) = f(2,1) = 5;$$
$$f(3,y) = f(2,f(3,y-1)) = 2f(3,y-1) + 3,$$
так что
$$f(3,1) = 13, f(3,2) = 29, f(3,3) = 61, f(3,4) = 125, \dots$$

49

Можно заметить, что $f(3, y) = 2^{y+3} - 3$ (доказите это, например, с помощью индукции).

Тепер мы можем выразить $f(4, y)$:
$$f(4, y) = f(3, f(4, y-1)) = 2^{f(4, y-1) + 3} - 3,$$
причем $f(4, 0) = f(3, 1) = 2^4 - 3 = 13$.

Чтобы, как и выше, «угадать» формулу для $f(4, y)$, найдем $f(4, 1)$ и $f(4, 2)$. Имеем
$$f(4, 1) = 2^{f(4, 0) + 3} - 3 = 2^{16} - 3 = 2^{22^2} - 3;$$
$$f(4, 2) = 2^{f(4, 1) + 3} - 3 = 2^{22^2} - 3.$$

Тепер совсем легко доказать, что
$$(y+3) \text{ «двойки»}$$
$$f(4, y) = 2^{22^2} - 3,$$
позетом
1984 «двойки»
$$f(4, 1981) = 2^2 - 3.$$

Ф723. Спортмены безут с одинаковыми скоростями $v$ колонной длины $l_0$. Навстречу безут тренер со скоростью $u$ ($u < v$). Спортмен, поражяющийся с тренером, безит назад с той же скоростью $v$. Какова будет длина колонны, когда все спортмены развернуть?

Время, в течение которого все спортмены, начиная с первого и кончая последним в колонне, повторяется с тренером, равно
$$t = l_0 / (v + u).$$

В тот момент, когда последний спортмен появляется с тренером, первый будет находиться от него на расстоянии
$$l = (v - u)t = l_0 \frac{(v - u)}{(v + u)}.$$

Такова и будет длина колонны, когда все спортмены развернуть.

(Объясните теперь, почему при отражении света от зеркала, движущегося несточнику, сокращается длина волны света:
$$\lambda = \lambda_0 \frac{c - u}{c + u},$$
где $c$ — скорость света, $u$ — скорость зеркала.)
И. Воробев

Ф724. На сколько переместится конец перекинуточерез подвижный блокниты (точка $A$ на рисунке), если к нему приложить силу $F$? Жесткость пружин одинаковы и равны $k$. Пружины, нить и блок считать неевесыми.

Пусть нижняя пружина под действием силы $F$ растяжалась на величины $x = F/k$. На верхнюю пружину в положении равновесия действует сила, равная $2F$. Под действием этой силы пружина растнута на величины $x_1 = 2F/k = 2x$.

Таким образом, в результате действия силы $F$ блок отсутствия на расстояние $2x$, нить слева укоротится на $x$ и, следовательно, точка $A$ опустится на расстояние
$$l = 5x = 5F/k.$$

Г. Меледин

Ф725. Из взрывного вещества нужно изготовить тонкостично концепскую оболочку так, чтобы при взрыве, начинающейся с вершины конуса и «сползающим» виз, продукты взрыва ударились о горизонтальном плиту, на

50

которой стоит конус, одновременно. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна v, а скорость разлега продуктов взрыва u. Каким должно быть угодл ф между осью конуса и его образующей?

Ф726. В длинной горизонтальной расположенной телоизолюрованной трубе между двумя порциями массы m каждый находится 1 моль идеально одноатомного газа при температуре T₀. Внеорией — вакуум. В начальной момент скорости порций направлены в одну сторону и равны v и 3v. До какой максимальной температуры нагреется газ? Порщини тело не проводят. Универсальная газовая постоянная равна R.

Ф728.*) Три маленьких шарика с одинаковыми массами — красный, синиый и зеленьий — закрепленные неисомным каркасом в вершинах равностороннего треугольника со стороны l. Система положена на главную горизонтальную поверхность и приведена во вращение с перiodом T вокруг центра масс. В некоторых моментах шарика отрывается от каркаса.

*) Решение задачи Ф727 — в заметеке А. З иль бермана «Источник с «отрицательным» внутренним сопротивлением» (с. 54).

после взрыва в данной точке продукты взрыва оказывается внутри области, представляющей собой сферу радиуса u · Δt_i с центром в данной точке. Поверхность, описанная все такие сферы, и будет гранией той области пространства, в которой оказывается продукт взрыва к данному моменту времени.

На рисунке показаноечение этой области плоскостью, проходящей через ось конуса. Угол α, который образует участок B₁C₁ границы с образующей конуса, определяется условия sin α = u/v.

Тот факт, что продукт взрыва одновременно удаляются о плиту, на котором стоит конус, означает, что к тому моменту времени t₀ + ΔT, когда взрыв доходит до точки B, участок B₁C₁ границы совпадает с отрезком BB′. С учетом симметрии, это означает, что «внутренняя» конечная часть границы становится плоской горизонтальной поверхности. Для выполнения этого условия угол, который составляет образующая конуса с его осью, должен быть равен φ = π/2 — α; следовательно,

cos φ = u/v.

И. Воробьев

◆ Поскольку система изолированная, ее полная энергия остается неизменной.

Центр масс системы движется со скоростью 2v. В системе отсутства, связанной с центром масс, поршни в начальной момент движения навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v, и поршня энергия системы равна сумме кинетических энергий поршней и внутренней энергии газа:

E = 2 \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{2} RT_0.

Максимальный температура газа будет в тот момент, когда скорости поршней (в системе центра масс) будут равны нулю. Энергия системы в этот момент равна

E = \frac{3}{2} RT_{max} = 2 \frac{mv^2}{2} + \frac{3}{2} RT_0.

Отсюда находится T_{max}:

T_{max} = T_0 + \frac{2}{3} \frac{mv^2}{R}

В. Бородин

◆ Привращении системы вокруг mass (точка O на рисунке) каждой шарики движется по окружности радиуса r = l/√3. Линейная скорость каждой шарика равна

v = 2πr/T = 2πl/T√3.

Пусть в момент отрыва красного шарика положение системы было таким, как на рисунке. За время T красный шарик переместится на расстояние

s₁ = vT = 2πl/√3.

За это время центр mass синего и зеленного шариков (точка M) переместится вдоль направления NN′ на расстояние

s₂ = πl/√3

(поскольку центр mass системы остается неподвижным).

После отрыва красного шарика синий и зеленьй шарики будут вращаться вокруг mass; периодвращения их будет равен T (показите!). Следовательно, за время T, совершив полный оборот вокруг точки M, стержень,

51

На каком расстоянии от синего шарика он оказывается спустя время T?

соединяющий синний и зеленьй шарики, будет лежать на прямой NN′.

Таким образом, через время T после отрыва красного шарика шарики будет находиться в точках a′, b′, c′. Расстояние между красным и синним шариками найдем из треугольника c′a′A:

$$|c′a′| = \sqrt{|a′A|^2 + |Ac′|^2} = l\sqrt{1 + \pi\sqrt{3}(1 + \pi\sqrt{3})}.$$

В. Григорьев

Ф729. Лента трансортера длины l движется со скоростью v₀. С какой скоростью нужно толкнуть кубик массы m против движения трансортера для того, чтобы количество телла, выделившееся за счет работы слы трения между кубиком и лентой трансортера, было максимальным? Чему равно это максимальное количество телла, если коэффициент трения равен μ и выполняется условие v₀² < 2μlg?

Рис. 1.

Количество выделившегося телла будет максимальным при условии, что кубик пройдет максимальное расстояние относительно трансортера. Для этого необходимо, чтобы у ролика A скорость кубика относительно земли стала равной нулю. Начальная скорость (отношение земли), которое при этом должен иметь кубик, определяется условиями

$$-v + at = 0, \quad l = vt - \frac{at^2}{2},$$

где a = μg —ускорение, сообщаемое кубику силой трения. Отсюда

$$v = \sqrt{2\mu g l};$$

время движения кубика по ленте трансортера до ролика A —

$$t = \sqrt{2l/\mu g}.$$

Do ostановки кубик пройдет по ленте путь

$$s_1 = l + v_0 t = l + v_0 \sqrt{2l/\mu g}.$$

Далее кубик начинает двигаться равноускоренно вправо. Время, через которого прекратиется просkalывание, равно τ = v₀/a = v₀/μg. За это время относительно земли кубик переместится на расстояние

$$s = a\tau^2/2 = v₀^2/2\mu g.$$

Так как по условиям задачи v₀ < √2μgl, то за время τ кубик не сосользет с трансортера, то есть s < l.

Путь, который за это время кубик пройдет относительно ленты трансортера, равен

$$s_2 = \left| \frac{v_0^2}{2a} - v_0 \tau \right| = \frac{v_0^2}{2\mu g}.$$

Полный путь кубика относительно ленты равен

$$S = s_1 + s_2 = l + v_0 \sqrt{\frac{2l}{\mu g}} + \frac{v_0^2}{2\mu g}.$$

Количество теллоты, выделившееся за счет работы слы трения, равно

$$Q = \mu mgS = \frac{m}{2}(v_0 + \sqrt{2l\mu g})^2.$$

Г. Мякшев

Приведем еще одно решение этой задачи. Его прислал читатель Б. Хвоостов.

Рассмотрим движение в системе координат, скорость которой относительно земли равна v₀ и направлена в ту же сторону, что и скорость верхней части ленты трансортера

52

(то есть от точки $A$ к точке $B$ на рисунке 1). Пусть в момент начала движения кубика ($t_0=0$) точка $B$ совпадает с началом координат.

На рисунке 2 приведены графики движения точек $A$ и $B$ (неодвижных относительно земли) вдоль оси $X$, направленной влево (от точки $B$ к точке $A$). График движения кубика будет представлять собой парабoly.

$$x(t) = (v + v_0)t - \mu g \frac{t^2}{2},$$

где $v$ — начальная скорость кубика, $\mu g$ —ускорение, сообщаемое кубику силой трения (время $t$ меняется от $t_0=0$ до некоторого момента $\tau$, соответствующего остановке кубика относительно ленты транспортера).

Максимальное количество теплы выделится при условии, что за время $t$ торможения кубика путь, пройденный им, будет максимально возможным и при этом кубик (не следует с ленты транспортера). Следовательно, график движения кубика — парабола, касающаяся в некоторый момент $t_k$ прямой $x_A(t)$; вершина параболя лежит выше прямой $x_B(t)$, то есть $x(\tau) > x_B(\tau)$.

Условия касания —

$$l + v_0 t_k = (v + v_0)t_k - \mu g \frac{t^2}{2},$$

$$v_0 = v + v_0 - \mu g t_k,$$

откуда $v = \sqrt{2\mu g l}$. Пусть торможения равен

$$s_\tau = \frac{(v + v_0)^2}{2\mu g} = \frac{(\sqrt{2\mu g l} + v_0)^2}{2\mu g},$$

время торможения —

$$\tau = \frac{v + v_0}{\mu g} = \frac{\sqrt{2\mu g l} + v_0}{\mu g}.$$

За это время точка $B$ пройдет путь

$$s_8 = \frac{v_0 (\sqrt{2\mu g l} + v_0)}{\mu g}.$$

По условиям задачи $v_0 < \sqrt{2\mu g l}$; следовательно $s_B < s_\tau$, то есть $x(\tau) > x_B(\tau)$.

Максимальное количество тепла найдем из закона сохранения энергии:

$$Q_{\max} = \frac{m (v + v_0)^2}{2} = \frac{m}{2} (\sqrt{2\mu g l} + v_0)^2.$$

Ф730. Два плоских конденсатора расположены так, как показано на рисунке. Расстояние $L$ между конденсаторами много большие размеров их окладок и расстояния d между окладками. Заряд одного конденсатора $q_1$, zarяд другого $q_2$. С какой силой прятываются эти конденсаторы?

Напряжение поля, создавемого конденсатором с зарядом $q_1$ в точках, лежащих вблизи оси $O_1 O_2$ на расстоянии $x$ от этого конденсатора, равна

$$E_x = \frac{q_1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x+d)^2} \right) \approx \frac{q_1 d}{2\pi \varepsilon_0 x^3},$$

(x много большие размеров пластин конденсатора).

Следовательно, сила, действующая на конденсатор с зарядом $q_2$, равна

$$F = q_2 \left( E_L - E_{L+d} \right) = \frac{q_1 q_2 d}{2\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{L^3} - \frac{1}{(L+d)^3} \right) \approx \frac{3 q_1 q_2 d^2}{2\pi \varepsilon_0 L^4}.$$

(Рассмотрен самостояльно случай, когда соседние пластины конденсаторов имеют заряды разных знаков.)

В. Петерсон

53

Ф731. Две одинаковые частицы с зарядами q и массами m вылетают одновременно из одной точки в направлении, перендикулярном сливом линии модуля однородного магнитного поля с индукцией B. Выразить расстояние между частицами как функцию времени, если начальные скорости частицы направлены одинаково и равны $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$.

В магнитном поле частицы движутся по окружности (см. рисунок), радиусы которых равны, соответственно,

$$R_1 = \frac{mv_1}{qB}, \quad R_2 = \frac{mv_2}{qB}.$$

Угловые скорости части одинаковы и равны

$$\omega = \frac{v_1}{R_1} = \frac{v_2}{R_2} = \frac{qB}{m}.$$

Пусть через время $t$ (от начала движения в магнитном поле) одна часть находится в точке $A$, а другая — в точке $C$ (см. рисунок). Расстояние $r(t)$ между ними в этот момент времени можно определить из треугольника $ABC$. Этот треугольник — равноведренный: $|AB| = |BC| = R_2 - R_1$; $ABC = \omega t$. Следовательно,

$$r(t) = 2|AB| \sin \frac{\omega t}{2} = 2(R_2 - R_1) \sin \frac{\omega t}{2}.$$

Подставляя значения $R_1, R_2, \omega$ из (1) и (2), находим:

$$r(t) = \frac{2m}{qB} (v_2 - v_1) \sin \left( \frac{qB}{2m} t \right).$$

(Мы считаем пренебрежимо слабым электростанческое взаимодействие частиц. Именно такая ситuation наблюдается в камере Вильсона.)

В. Алешкович

Ф732. Точенный предмет S, находится на оси полого конуса с зеркавой внутренней поверхности (рис. 1). С помощью линзы Л на экране Э получают изображение предмета, создаваемое лучами, однократно отраженными от зеркавой поверхности конуса (приемые лучи от предмета на лицу не попадают). Что происходит с изображением, если лицу закрыть диафрагмой такой, как a) на рисунке 2, a? б) на рисунке 2, б?

Рис. 1.

Рис. 2

Лучи, однократно отраженные от поверхности конуса, распространяются так, как если бы они шли от совокупности точных миниых источников, расположенных по окружности; каждый такой источник симметричен источнику S относительно соответствующей образующей конуса. Изображением этих источников на экране будет колюс (рис. 3). Существенно, что лучок лучей, попадающий от каждой миниого источника на лицу, плоский: он проходит не через всю поверхность линызы, а пересекает лину вдоль соответствующего диаметра (например, от источника $S'$ лучи распространяются в вертикальной плоскости). Поэтому степень ослабления такого лучка диафрагмой зависит от формы и ориентации диафрагмы.

Симметричная диафрагма, изображенная на рисунке 2, a, оченьindo, в равной мере ослабит лучки, идущие от всех миниых источников. В этом случае освещенность колюса на экране уменьшится равномерно. Диафрагма, изображенная на рисунке 2, b, пропустит целиком лучки, плоскости которых образуют с вертикальной плоскостью углы $a < a_0$. Следовательно, освещенность соответствующих (то есть верхней и нижней) части колюса на экране остается прежней. Прочее же лучки будут частично средаться диафрагмой, причем тем сильнее, чем близкое плоскость лучка к горизонтальной плоскости. Поэтому

Рис. 3.

Рис. 4.

на боковых участках колюса по мере изменения угла $a$ от $a = a_0$ до $a = \pi/2$ освещность будет уменьшаться. Изображение будет таким, как на рисунке 4, где уменьшение освещности схематически отображено уменьшением густих шриховки. Очевидно, изображение симметрично относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Д. Белов