Законы сохранения при ядерных превращениях

58

Законы сохранения при ядерных превращениях

Процессы, происходящие в ядрах при их взаимодействиях, всегда сложны и изучены далеко не полностью. Однако, если из опыта известно, какие продукты получаются в результате ядерной реакции, то их скорости (а значит, и кинетические энергии) можно расчитать с помощью законов сохранения энергии и импульса.

Закон сохранения импульса выполняется при всех ядерных реакциях: всегда суммарный импульс образовавшихся частиц равен начальному импульсу системы.

При использовании закона сохранения энергии нужно иметь в виду, что один ядерные реакции идут с выделением, а другие — с поглощением энергии. Это связано с тем, что суммарная масса системы до взаимодействия может быть как больше, так и меньше суммарной массы образовавшихся продуктов. Существует, как говоря, дефект масс $\Delta m$, который и определяет энергию $\Delta E$, выделяемого или поглощаемую в процессе реакции. Согласно формуле Эйнштейна,

$$\Delta E = \Delta mc^2,$$

где $c$ — скорость света.

При этом следует помнить, что дефект масс всегда много меньше массы ядер как до, так и после реакции. Поэтому учитывать его нужно лишь в тех случаях, когда требуется определить энергию реакции $\Delta E$. Если же она задана или в данной задаче определять ее не требуется, можно (и нужно) пользоваться округленными значениями масс ядер.

Рассмотрим несколько конкретных задач.

Задача 1. Радон — это альфа-радиоактивный газ с atomной массой $A = 222$. Какую долю полной энергии, освобождаемой при распаде радона, уносит α-частица (рис. 1)?

Рис. 1.

Энергия $\Delta E$, освобождаемая при распаде (из-за дефекта масс), выделяется в виде кинетической энергии продуктов реакции: α-частицы ($A_a = 4$) и остаточного ядра ($A_a = 218$). Так как дефект масс существует меньше массы исходного ядра, выделяемая энергия мала по сравнению с энергийей покоя ядер, и для кинетической энергии можно пользоваться нерелятивистской (классичской) формулой. Следовательно,

$$\Delta E = \frac{m_a v_a^2}{2} + \frac{m_a v_a^2}{2}.$$

Кроме того, должен выполнять закон сохранения импульса:

$$m_a v_a - m_a v_a = 0.$$

Мы считаем, что до распада ядро радона покопилось или, во всяком случае, его кинетическая энергия была много меньше энергии реакции $\Delta E$, поэтому суммарный импульс полагаем равным нулю.

Доля полной энергии, которую уносит α-частица, равна

$$\frac{E_a}{\Delta E} = \frac{E_a}{E_a + E_a} = \frac{m_a v_a^2}{m_a (m_a / m_a)^2 v_a^2 + m_a v_a^2} = \frac{m_a}{m_a + m_a} = \frac{A_a}{A} \approx 0,98.$$

Итак, α-частица уносит 98% освобождаемой при распаде энергии.

Задача 2. При захвате нейтрона ядром $^6$Li происходит ядерная реакция $^6$Li + $^1$n $\rightarrow^3$T + $^4$He (рис. 2),

59

Рис. 2
в котором выделяется энергия $\Delta E = 4,8$ МэВ. Найдите распределение энергии между продуктами реакции (ядром трития и α-частицей), считая конечческую энергию исходных частиц пребрежимо малой.

Задча, в сущности, аналогична предыдущей. Запишем законы сохранения энергии и импульса:

$$\frac{m_T v_T^2}{2} + \frac{m_a v_a^2}{2} = \Delta E,$$
$$m_T v_T - m_a v_a = 0.$$

Отсюда, учтя, что atomные массы трития и α-частицы равны $A_T = 3$ и $A_a = 4$ соответственно, находим

$$E_T = \frac{m_T v_T^2}{2} = \frac{m_a}{m_T + m_a} \Delta E = \frac{4}{7} \Delta E \approx 2,74 \text{ МэВ},$$
$$E_a = \Delta E - E_T = \frac{3}{7} \Delta E \approx 2,06 \text{ МэВ}.$$

Задча 3. Реакцию синтеза дейтерия и трития $^2\text{D} + ^3\text{T} \rightarrow^1\text{n} + ^4\text{He}$ (рис. 3) изучают, направляяускоренные до энергии $E_D = 2$ МэВ ионы дейтерия на тритиевую мишень. Де-

Рис. 3.
тектор резистрирует нейтроны, вылетающие перпендикулярно к направлению пучка дейтронов. Определите энергию резистрируемых нейтронов, если в реакции выделяется энергия $\Delta E = 17,6$ МэВ.

В данном случае начальный импульс системы отличен от нуля, и, кроме того, нейтрон и α-частица летят по разным направлениям.

Значит, импульсы частиц нужно складывать как векторы, и закон сохранения импульса надо записать в векторной форме:

$$\vec{P}_D = \vec{P}_n + \vec{P}_a.$$
Так как $\vec{P}_n \perp \vec{P}_D$ (рис. 4), по теореме

Рис. 4.
Пифагора
$$P_a^2 = P_D^2 + P_n^2.$$
По закону сохранения энергии
$$E_n + E_a = E_D + \Delta E,$$

или
$$\frac{P_n^2}{2m_n} + \frac{P_a^2}{2m_a} = E_D + \Delta E.$$
Из этих уравнений находится
$$E_n = \frac{P_n^2}{2m_n} =$$
$$= \frac{m_a}{m_n + m_a} \left( \Delta E + \frac{m_a - m_D}{m_a} E_D \right) \approx 14,9 \text{ МэВ}.$$

Рис. 5.
Задча 4. Ядерная реакция $^{14}\text{N} +^{4}\text{He} \rightarrow^{17}\text{O} +^{1}\text{p}$ (рис. 5) может идти, если налетающие на неподвижные ядра азота α-частицы имеют энергию, превышающего порогового энергия $E_n = 14,5$ МэВ. На сколько энергия α-частица должна быть больше пороговой, чтобы кинетическая энергия образуются при реакции протонов была равна нулю?