Топология и... рельеф местности

10

М. Шубин

Топология и…
рельеф местности

Топология — в отличие от топографии — специально не занимается картами рельефа местности. Эта наука изучает, как приято считать, наиболее глубокие свойства геометрических фигур. Такие свойства (их называют топологическими) могут быть одинаковыми у внешне совсем не по-

хожих фигур — М. Гарднер как-то писал, что «топология принято называть математиков, которые не могут отличить кофейнуюашку от бублика». Иногода топологические свойства и величины получаются как комбинации совсем простых геометрических свойств и величины. Именно так объектит дело в знаментий теореме Эйлера о многограничках*). Сейчас мы познакомимся с еще одним примером такого же рода — одной теореой из «теории Морса**). В ней-то решение и появится.

На географических картах рельеф местности обычно показывают с помощью линейного уровня, соединяющих точки, изображающие точки земной поверхности, находящиеся на данной

*) См., например, главу о топологии в книге P. Куранта и Г. Роббинса «Что такое математика?» (М., «Просвещение», 1967), а также ниже теорему 2.

**) Гарольд Марстон Морс (1892—1977) — замечательный американский математик, создавший теорию, называнию впоследствии его и представляющий собой один из важных разделов современной топологии.

Рис. 1.
Рис. 2. Примеры поверхностей.

11

высоте над уровнем моря (рис. 1). Математический модель ограниченного участка земной поверхности служит геометрической поверхности в пространстве, заданная уравнением вида $z=f(x,y)$. Несколько примеров поверхности показано на рисунке 2. На каждой поверхности нарисованы множества точек, лежащие на данной высоте $z=const$, а линии уровня являются проекциями этих множества на плоскость $Oxy$. Таким образом, линяя уровня — это множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих уравнению $f(x,y)=const$, где постоянная в правой части определяет расстояние между линии уровня, так что линии уровня как бы нумеруются таким постояными. На рисунке 2 мы под каждой поверхности помещили соответствующие семейства линейного уровня.

Нас в первую очередь будет интересовать поведение решения решения вблизи его характеристих точек — вершин, котловин и перевалов, а также вблизи его точки наклона.

Вершина. Характерное поведение линейного уровня реблефа вблизи вершины показано на рисунке 3. Казалось бы, вершину можно определить просто как самую высокую точку неоторого окружающего ее участка местности. Однако окрестности таких точек могут иметь города более сложное строение, чем на рисунке 3. Например, можно себе представить, что в сколь уголно малой окрестности такой точки имеются как-то другие точки, обладающие тем же свойствам, но расположенные ниже данной (рис. 4). Желая исключить такую ситуацию (ией подобные), мы назовем точку вершиной, если она является самой высокой точкой неоторого окружающего ее участка местности и в ее окрестности линейного уровня устроены, как на рисунке 3, то есть они являются замкнутыми кривыми без самопересечений, охватывающими расстояние точки, причем $z_0>z_1>z_2>...$.

Котловина (рис. 5) — это «вершина наоборот», то есть точка,

Рис. 3.
Рис. 5.
Рис. 7.
Рис. 6.

которая станет вершиной, если у расстоянияемой функции изменить знак. Таким образом, котловин мы назовем точку, у которой линейного уровня устроены так, как показано на рисунке 5, причем $z_0<z_1<z_2<...$.

Перевал. Перевал можно описать как точку, вблизи которой реблефтстроен как седло (рис. 6). Около перевала линейного уровня располагаются так: в точке перевала существуют два таких направления, что, идеally из них вперед или

12

назад, мы будем подниматься, а иду по другому — спускаться. Более того: направления первого типа заполют два вертикальных угла, а направления второго типа — два других вертикальных угла, так что разделющие их прямы, заданное эти две пары вертикальных углов, должны касаться линейную, проходящих через точку перевала. Итак, мы будем называть перевалом точку, в окрестности которого линейную уровня устроены в соответствии с только что приведенным описанием.

Точка наклона (рис. 7). Горяя образно, точка наклона — это такая точка ребра, что, если в нее положить шарик, он показится, тогда как шарик, аккуратно поставленный в точку, является вершиной, котловиной или перевалом, будет показаться (хотя в случае вершины или перевала его равновесие будет неустойчивым). Изовем точкой наклона точку ребра, что влизаи не линейную уровня устроены, как на рисунке 7, причем … <z₂< <z₁< <z₁< <z₂< …

Точнее, семейство линейную должно бытую таково, что его можно получить из семейства параллельных прямы так называемым домашomorphизмом, то есть взаимно однозначным и взаимно непрерывным преобразованным участка карты.

Заметим, что на карте точке наклона, как правило, большистivo. Например, все вершины, котловины и перевалы изолированны и окружены точками наклона.

Разумеется, кроме вершин, котловин, перевалов и точке наклона, существует и другие типы точек. Например, на географической карте попадаются платы — целые области, высота точки которых постоянна. Постоянная максимальная высота может быть и на целой линии, как, например, на рисунке 2, в. Бывают и более «хитры» точки, например «обезьяны седла» (рис. 2, 2) и точки скопления вершин (рис. 4). Однако все точки, не являющиеся точками наклона, кроме вершин, котловин и перевалов, можно установить, чтобы подправив реблеф местности; они при этом исчезают или заменяют на несколько вершин, котловин, перевалов*). Поэтому, помимо точки наклона, мы будем рассматривать только эти три типы точек.

Теперь мы можем сформировать нашу основную теорему, являющуюся одной из простейших теореми Морса.

Теорема 1. Пусть в море дан остров с таким ребром, что все точки острова суть либо точки наклона, либо вершины, либо котловины, либо перевалы, причем все береговые точки острова являются точками наклона. Пусть В — число вершин этого ребра, К — число котловин, П — число перевалов. Тогда

B+K−Π=1.

Доказательство 1) Наозовем самую высокую вершину нашей

*) Этот факт (в более строгой формулировке) является одной из теореми Морса; нам он не потребуется.

13

острова Эверестом (если таких вершин несколько на одинаковой высоте, наозем Эверестом любую из них), а самую глубокую котловину наозем Маршанской владиной. Может так изменить рельеф острова, не меняя чисел B, K, Π и не нарушая условия теоремы, чтобы оказались выполненными следующие условия:

a) все вершины имеют одинаковую высоту (равную высоту Эвереста);
b) все котловины находятся на уровне моря;
b) все перевалы находятся на разной высоте.

Проще всего удовлетворить условия a) — для этого достаточно «надстроить» все вершины до уровня Эвереста (рис. 8).

Задно выкопаем все котловины до глубины Маршанской владины — это нам понадобится для последующего обеспечения условия 6). Это условия выполнить не так просто — если пытается «засыпать» котлови-

Рис. 8.

Рис. 9. Поднятие точки перевала: синяя часть поверхности (ее мы считаем жесткой) сдигается немного верхх, а розовая часть (ее можно себе представить сделанной из тонкой резиновой пленки) слегка вытягается от неподвижной внешней границы.

ны, можно наткнуться на перевал. Однако есть простой выход: «высушить море». А именно, можно считать, что под водой берега острова кругу уходят вниз до глубины, превышающей глубину Маршанской владины. Тогда надо просто «высушить» мореровно до этой глубины.

Для обеспечения условия в) надо уменьшить часть приподнять или опустить окрестность данного перевала, не задавая других вершин, котловин и перевалов и не создавая новых вершин, котловин и перевалов. Это можно сделать, например, приподнимающая целиком часть рельефа, находящая внутри круга малого радиуса ε с центром в данной точке перевала (рис. 9, а), не трогая точки, лежащие вне круга радиуса 2ε (с тем же центром), и доставвая рельеф между окрестностями радиусов ε и 2ε так, как показано на рисунке 9, б.

Итак, будем считать, что рельеф нашего острова удовлетворяет условия a) — в).

2. Теперь устроим «всемирный потоп». Пусть должна постепенно заливает остров, поднимая равномерно уровень воды всюду (в котловинах и в море) от уровня моря до высоты Эвереста. При этом на острове отложя в котловинах образуют внутренние озера, и он может в дальнейшем делаться на более мелкие острова. Мы будем следить, как по ходу потопа меняется количество озера и островов. Море не будем считать озером.

В начале потопа на доньшках котловин образуется K озер. В конце потопа все озера сливаются с морем, а над водой остаются лишь верхх всex гор (вот для чего они надстраивались!), так что количество озера и островов задается следующей таблицей:

| | Озера | Острова |
| :— | :— | :— |
| Начало потопа | K | 1 |
| Перед полным затоплением | 0 | B |

3. Посмотрим, когда меняется число озер и островов в процессе

14

потопа. Ясно, что если вода заливает лишь точки наклона, то изменения этих чисел не производит. Посмотрим, что будет, когда вода покрывает какой-нибудь перевал (рис. 10). При этом имеется две возможность:

a) сливаются воды одного и того же озера; тогда число озер не меняется, но загорает новый остров (рис. 11);

6. сливаются два разных озера (рис. 12); тогда число озер уменьшается на 1, а число островов не меняется.

Итак, при каждом покрытии водой перевал или уменшится на 1 число озер или увеличится на 1 число островов. Но всего количество озер уменшается на K, а количество островов увеличивается на B—1, так что K+(B-1)=Π, то есть B+K−Π=1, что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть все точки Земного шара суть льюго точки наклона, льювершины, льюковины, лью перевалы. Тогда B+K−Π=2.

Доказательство. Будем считать, что на дно самой глубокой из котловин налита вода (это можно добиться, высутив все моря и океаны и оставив воду лишь на донышке Маринской платины). Тогда все остальное можно считать островом, а воду на донышке этой котловины — море. Но у всей Земли вершин и перевалов столько же, сколько у этого острова, а котловин на 1 больше. Остается воспользоваться теоремой 1, и следствие доказано.

Примером решение, к которым применимо это следствие, может служить всякий многогранник, внутри которого можно найти такую точку O, что все перепедикуляры, опущенные из нее на грани, попадают на сами грани (a не на их продолжения).

Тогда, если называть высотой ребефа в данной точке многогранника расстояние от нее до точки O, то основания перепедикуляров, опущенных из O на грани (и только они), будут котловинами, вершины ребефа будут лежать в вершинах многогранника, а перевалы будут в основаниях перепедикуляров, опущенных из точки O на ребра (проверьте!). Отсюда следует, что для таких многогранников верна

Теорема 2 (теорема Эйлера о многогранниках). Пусть Γ, В и P — числа граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Тогда

$$\Gamma + B - P = 2.$$

Как мы увидим ниже, эта теорема на самом деле верна для любого выпуклого многогранника — без формулированного перед ней дополнительного условия. Она легко выводится из следующего теоремы.

Теорема 3 (теорема Эйлера о картах). Пусть дна политеческая карта острова, оранчиенное замкнутой кривой, причем выполены следующие условия:

a) число стран больше или равно 2;

b) каждая страна оранчиена замкнутой кривой без самопересечений;

b) нет страна, лежащих одна внутри другой (типа Монако, Batikana или Сан-Марино).

Пусть C — число страна, B — число вершин (точек стыка границ или