Что такое потенциальная яма

16

К. Кикопин

Что такое потенциальная яма

Пotenциальная яма — это яма, которая еще не вырыта…
(из научного фольклora)

В физике часто встречается фраза: «Частца (или система) находится в потенциальной яме». Что же такое потенциальная яма и почему любой физической объekt в конце концов в ней оказывается? Попробуем в этом разобраться. Удобнее всего это сделать на конкретных примерах. На нем с самого простого.

Яшик и шарик

Возьем яшик с нервным динамием, в котором есть выпуклости и вмятины (лунки), иbrosим в него металлический шарик. Покатавшись по днишу, шарик в конце концов оставится на дне одной из лунок. Задаимся вопросом: почему шарик оставился в лунке, причем именно на ее дне, а не на склоне? Очевидный ответ состоит в следующем. На шарик, находящейся на стенке лунки (или выпуклости), действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_\tau$ и сила реакции стенки $\vec{F}_p$ (рис. 1). Равнодействующая сила $\vec{F}$ направлена вниз по склону, поэтому шарик, в соответствии с вторым законом Ньютона, приобретает ускорение и скатывается на дно лунки. На дне действие двух сил ($\vec{F}_\tau$ и $\vec{F}_p$) уравновешивается, иравнодействующая обращается в нуль, так что здесь шарик будет находиться в положении равновесия.

Рассмотрим ту же самую ситуацию с энергетической точки зрения. У шарика, покоящегося на дне лунки, скорость равна нулью, равна нулью и его кинетическая энергия. Следоватьно, вся энергия, которой он обладает, — потенциальная. Попробуем сdynить шарик из положения равновесия. Ясно, что на любое перемещение шарика вверх по склону должен затрачена работа против силы тяжести. За счет этой работы, произведенной над телом, возвращает его потенциальная энергия. Но если эта энергия ($E_\pi$) возвращает при любом

17

перемещения ($r$) относительно положения равновесия, то, значит, в самом равновесной точке ($r=0$) она минимальная (рис. 2).

Тепер проследим за превращением энергии шарика, брошенного на дно ящика. В первый момент он обладал определенной kinетической и потенциальной энергей. При движении вверх и вниз по впадинам и выпуклостям дниша проискодило взаимное превращение kinетической и потенциальной энергей, но при этом часть энергии терялась на работу против треня. В конце концов общий запас механической энергии стал настолько малым, что шарику его не хватило, чтобы выбрать из очередной лунки, и он оставился на ее дне. В этом положении вся оставшаяся у шарика энергия — потенциальная и равная минимальным значению, возможноу в этой лунке. Для примера на рисунке 3 показаны два возможных положения равновесия шарика в двух соседних лунках разной глубины. Каждый из равновесных положений отвечает свой минимум энергии, причем $E_{n\min 1} < E_{n\min 2}$ (для премещения шарика из положения 1 в положение 2 нужно затратить положительное работу).

Итак, мы пришли к еще одному определению равновесия (точнее — устойчивого равновесия):

устойчивому равновесному положению тела всегда отвечает минимальное значение его потенциальной энергии.

Или, как говоря в таком случае, — в положении устойчивого равновесия тела находится в потенциальной яме.

Разобранный нами пример прост и нагляден: потенциальная яма для шарика оказывается ямой и в буквальном, житейском смысле. Тепер перейдем к объекту, для которогоникаой реализной ямы представить себе нельзя, а потенциальная яма, тем не менее, существует и определяет его равновесное состояние.

Мыльный пузьрь

Любому ребенку известно, что обыкновенный мыльный пузьрь всегда сферическую форму. Почему это так?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить о поверхностном натяжении. Мыльный пузьрь, с физической точки зреня, — это жидкая плена, ограничивающая полость, заполненную газом. Если посмотреть на эту пленку в более крупном масштабе, то можно увидеть, что она состоит из двух поверхностных слоев (внешнего и внутреннего) и жидкости, заключенной между ними. Молеклы на поверхности находится в особых условиях по сравнению с объемными молеклами. Каждый из молекул внутри жидкости пребывает в окружении себе подобных, и результатирующая всех сил прияжения равна нулю. На поверхности молекул с одной стороны действия молекулы нежидкости, а газа, имеющего значительное меньше плотность. Поэтому равновесную силу прияжения на поверхности всегда направлена во внутрень, в объем. Следовательно, молеклы, для того чтобы выйти на поверхности, должны совершить работу против

18

этих сил прятяжения. А это означает, что молекуры на поверхности жидкости обладают большей энергейей, чем внутри. Эту дополнительную потенциальную энергию называют поверхностной энергейей. Чем больше площадь поверхности S, тем больше поверхности энергия Eₙ₀ₑ:

$$E_{пов} \sim S, \text{ или } E_{пов} = \sigma S.$$

Коэффициент пропорциональности и есть поверхности натяжение. Этот коэффициент изменяется относением работы A, необходимой для увеличения площади поверхности на ΔS, к величины ΔS. Для каждого жидкости он свой.

Когда мы надваем пузырь, размер полости (а значит, и поверхности пленки) увеличивается, но количество жидкости в пленке, естественно, остается постоянным. Ясно, что увеличение поверхности возможно только за счет выхода новых молекул из объема в поверхности слой, то есть за счет совершения работы и увеличения поверхности энергии жидкости.

Тепер мы можем ответить на вопрос, почему же мыльный пузырь имеет форму сферы, а не, к примеру, яйца, эллипсона или многогранника. Дело в том, что сфера обладает замечательным свойством: из всех геометрических фигур, ограничивающих данный объем, она имеет наименьшую поверхности. Поэтому, если мы попытаемся придать пузырю неферическая форму, то мы будем вынуждены увеличить площадь поверхности слоя, то есть совершить дополнительную работу по выводу молекул на поверхности, а значит — и дополнительно увеличить поверхности энергию жидкости.

Иными словами,
сферический форму пузыря отвеяет минимум потенциальной энергии пленки, образующей его оболочку.

Спрашивается, кто же здесь находится в потенциальной яме? Ясно, что это не отдельная часть, поскольку сама природа поверхности натяжения связана не с отдельными молекулами, а с их взаимодействием. Нельзя даже сказает, что в потенциальной яме находится молекулы поверхности слоя, так как при изменении радиуса пузыря происходит переход молекул из объема на поверхности или наоборот (да и при постоянных размерах пузыря, благодаря темповому движению, имеет место непрерывный объем молекулами между объемом и поверхности).

Таким образом,
в потенциальной яме находится всего поверхности энергии жидкости.

А ввести понятие потенциальной ямы нам удалось только получить потенциальной ямы, отвечающей сферической форме пузыря (рис. 4). Уменьшить площадь молекулы сжав пузырь, то есть совершить дополнительную работу по скатанию газа, находящемся внутри полости. Соответствующое возрастание энергии системы в этом случае показано на рисунке 4 штиrxовой линей. Так что в действительности в потенциальной яме находится сложная система «поверхности молекулы жидкости + объемные молекулы жидкости + молекулы газа внутри полости».

Ионный кристалл

Рассмотрим, наконец, последний пример системы, находящаяся в потенциальной яме. Для такой системы вид потенциальной ямы можно установить с помощью точных, но весма грамодиких вычислений, а можно и приближенно, буквально в нескольких

20

В кристалле ситuation, конечно, более сложная. Кроме ближайших соседей с зарядами противоположного знака у любого она имеется следующие, одноменно заряженные, соседи, за ними — еще и так далее. Хотя размеры кристалла и ограничены, число соседей можно считать бесконечно большим. Действительно, возьмем для примера соль «Экстра» самого мелкого помола. Ее кристаллики имеют размеры ~0,1 мм, а постоянная решетки $a \sim 10^{-8}$ см, так что на ребре такого кристаллика уменьшается ~10^6, на грани — 10^12, а в объеме ~10^18 одинаковыхонов.

Расчет полной энергии взаимодействия столбцового числаонов, на первый взгляд, представляет собой безумно сложную задачу. Однако с помощью острумного приема, основанного на функментальных физических сообщениях, расчет можно выполнить действительно в несколько строк. Подробно об этом будет расссказано в Приложении II в конце статьи, здесь же мы лишь приведем окончательный результат. Оказывается, суммарная энергия взаимодействия всехонов в кристалле имеет вид

$$W_{\text{кр}}(a) = -\frac{Ae^2}{a} + \frac{B}{a^n},$$

где $A$ и $B$ — неокотые постоянные. Графические она представляет собой кривую с минимумом, описывающего потенциальную яму, в котором находится кристалл в целом. Это означает, что в состоянии равновесия相互作用 решетки принимает такое значение $a_0$, которое соответствует минимуму потенциальной энергии.

Мы рассмотрели три, на первый взгляд, совершенное различных объекта и убедились в том, что для каждой из них потенциальная энергия изображается кривой с минимумом. В общем случае вид потенциальной ямы может быть более сложным, в частности — зависит не от одного параметра, а от нескольких, но общий принцип всегда один и тот же:

в состоянии устойчивого равновесия любая система имеет минимальную потенциальную энергию, или, других словами, пребывает на дине потенциальной ямы.

Приложение I

Вычислим потенциаль $\varphi_1$, создаваемый в точке 1 с координатой $r_1$ электронским зарядом + $e$, находящимся в начале координат (рис. 7). Как известно, этот потенциаль равен работе электронского поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Поместим в точку 1 пробный положительный заряд $q$. По закону Кулона на него состоит заряд $e$ действует сила $F = qe/r_1^2$ (в абсциссной системе единиц). Найдем работу $A_{1-2}$ по перемещению заряд $q$ из точки 1 в ближайшую точку 2. При этом расстояние $r_2 - r_1$ выберем настолько малым, чтобы на всем участке 1-2 силу можно было считать постоянной и равной $F_1 = qe/r^2 = qe/(r_1r_2)$. Тогда

$$A_{1-2} = F_1(r_2 - r_1) = \frac{qe}{r_1r_2}(r_2 - r_1) = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right).$$

Аналогично можно вычислить работу $A_{2-3}$ по перемещению заряд $q$ из точки 2 в ближайшую точку 3:

$$A_{2-3} = F_2(r_3 - r_2) = \frac{qe}{r_2r_3}(r_3 - r_2) = qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Очевидно, что работа поля на участке 1-3 равна сумме работы 1-2 и 2-3:

$$A_{1-3} = A_{1-2} + A_{2-3} = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) + qe \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_3}\right).$$

Продолжая рассуждение, можно убедиться в том, что промежуточные точки нижкой полей не играют, и в выражение для работы входят только координаты начальной и конечной точки. Поэтому работа поля по перемещению пробного заряд $q$ из точки 1 в бесконечность ($1/r_\infty = 0$) равна

$$A_1 = qe \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_\infty}\right) = qe/r_1.$$

Тогда окончательно для потенциаль в точке 1 получаем

$$\varphi_1 = \frac{A_1}{q} = \frac{e}{r_1}.$$

Te, кто знаком с интегрированием, легко могут получить этот результат в одну строку…