7
Тупость и гениий
Оглянемся теперь на историю пятого поступата Евклида. Лобачевский сказал о ней: «Напрасные страны… в продолжение двух тысяч лет». Но какие страны! Множество математиков расточает их, и каких математиков! Среди них знаменитые имена: попытки открытия, возникло, Архимедом, прохождение через Омара Хайяма и подходят к завершению с Гауссом.
Попытки доказать пятый поступат были, как мы выяснили раньше, совершенное естественными. Но 2000 лет никто не договоравался, что доказательство невозможно. Никто не мог подумать, что возникна какая-то геометрия, отличная от привлечной евклидовой. Ее независная связь с нашим пространственным опитом и наглядным представлением, ее логическое совершенность и произношение, включающие ее изучения и, можно сказать, использование — все это делало геометрию Евклида непререкаемой, как бы абсolutно необходимой, присушей и миру, и разуму. Ее проискжение из практики затмевалось совершенным и ясностояю ее логики. И дошло, наконец, до того, что в 1781 г. великий философ Кант в своей «Критике чистого разума» счел геометрию априорной — неависимой от опыта — и основал на этом вывод об априорности самого пространства,
окончание. Начало — в предыдущем номере.
Геней
Но как раз в это же время из попыток доказать пятый поступат стали пробиваться проблемы.commеней. Уже в 1766 году у Ламберта безжит мысль, что отрицание пятого поступата «имеет место на какой-то минимой сфере», что, может быть, страные выводы, к которым приводит это отрицание, — не бессмыслица. Напряжение нарастает. Кантовское «априори» распространяется в умах, особенно после второго издания его «Критики» в 1787 г.
Но труд Ламберта выходит в 1786 г. Затем, из столже упорных, как и безупрежных попыток доказать пятый поступат, в первой четверти XIX века прорастает наконец обшая мысль о том, что, возможно, мыслима геометрия, отличная от евклидовой. Почти одновременно, хотя и с разной степенью определенности и ясности, эта идея появляется у нескольких человек — у Швейкарта, Тауринуса, Гаусса, Лобачевского и Больяи.
Дойти до мысли, проверяющей прививное, может быть само по себе генеральным. Но это еще не hayка, а только идея. Наука же требует превворения идеи в теории, как инженерия — превворения идеи в предмете, в осуществленном изобретении.
Геней — не только полет мысли, но также ее упорство — труд, приподнятий в доходовением, и в доходовение, подкрепленное трудом. Так, Коперник не только выразил мысль, что не Земля, а Солнце — в центре (мысль, кстати сказаь, не новую: ее выразил еще в III в. до н. э. Аристарх Самосский), но и построил «систему Коперника» — dal точное описание движения планет вокруг Солнца, согласно с наблюдениями. Точно так же Лобачевский не только выразил убеждание в возниклидовой геометрии, но и построил эту геометрию. И как от Коперника пошло новое развитие act-
8
рономии, дошедшее до современного взгляда на Вселенную с множеством «миров» — планетных систем, галактик и пр., так от Лобачевского пошло новое развитие геометрии, приведшее к созданию многочестава разнообразных «геометрий», самых разных геометрических теорий «воображаемых» пространств — топологических, римановых, финслеровых, рассловенных… — «им же неть числа». Недаром, когда в 60—70 гг. прошло века начал во всю силу разворачиваться этот пошедший с Лобачевского процесс преобразования геометрии, Лобачевский был назван «Коперником геометрии». Нельзя, конечно, забывать, что новую геометрию развил и обнародовал также Больяи, но преимущество отделется Лобачевскому, потому что он сделал это раныше и потом еще существенно продолжил свои исследования и публикации.
Лобачевский утверждался в мысли о недоказуемости пятого поступала и о возможности неевклидовой геометрии, исходя из физофских, теоретическо-позначательных убежданий. Это выражено уже в приведенных ранее (в первой части статьи) его словах из предисловия к «Новый началом геометрии…». «Истина, которую хотели доказать», то есть пятый поступал, не заключается «в самых понятях», а в применении к реальному пространству и подлежит проверке опитом, как физический закон. Этот отрицается кантовское «априори»: геометрия не независима от опыта, а подлежит проверке опитом*). В других сочинениях Лобачевский явно возражал против кантинства в общей форме, когда писал, например, что «понятия приобретаются опитом… вожденным не должно верить».
*) Собственное говоря, слово «геометрия» должно пониматься двойкой: как чисто математическая теория и как теория реальных пространственных отношений. В этом втором качестве она подлежит проверке опитом (современная физика доказала, что наше пространство не является точной ενклидовым). Но от чисто математической теории самой по себе требуется логическая стройность прежде всего и обязательно непротиворечность. В таком виде та или иная геометрия — это совокупность предложений, выводных из принятых посылок. А какие она находится приложения — это ее саму по себе не затрагивает.
Кстати, это стоит заметить научным способам, полагаюшим будто ним, ни наук вообще не нужно философское мышление. Все великие учены от Ньютона и Галилея, если говорить лишь о новом времени, были философскими мыслителями. Без философии наука не развивается: положение новых ее путей, когда они не оформились, и есть философское движение мысли. Вопрос только в том — какая это философия, связьается ли она с точной логикой и фактами опыта или с пребывающим в безвоздушном пространстве общими фразами априорности и чистого спекулятивного мышления. Галиле, Ньютон, Лобачевский не только высказывали философские суждения, но и, отправлясь от общих убежданий, строили задания научных теорий — прочные основания целых общирных областей науки.
Появление неевклидовой геометрии было началомреволюнного преобразования геометрии. Но также, что характерно для революции, вместе с названием ее сил, росла и реакция. Именно тогда, когда открытие новой геометрии уже приближалось, появился философия Канта с ее учением об априорности геометрии, о пространстве как априорной форме созерцания. Лобачая другая геометрия, кроме той, которая присула этой форме созерцания, казалась немыслимой.
Лобачевский явно выступает против этих воззрения. Появление новой геометрии определяет их и открывает невидимые, немыслимые равные пути развития науки — революция совершается. Геней — этореволюция,революция — это геней в действии.
Тупость
Как история пятого поступала и неевклидовой геометрии демонстрирует человека геней, так демонстрирует она и неповоротливость ума, если избегать грубого слова «тупость».
Начать с того, что можно попыток доказать пятый поступать было основано на ошибках. Авторам
9
этих доказательств только казалось, что они нашли доказательство. Так было даже в начале XIX века. Только немногое понимали, что опираются на дополнительные предположения, равносильные пятому постулату, и явно их формулировали. Ошибки были психологически обусловлены тем, что автору очень хотелось пятый постулат доказать, отказ от него был невообразимым, а положение, приятое открыто, на которое автор опирался, казалось само собой очередным иускольazo от того, чтобы его явно формулировать.
Очень характерен пример Саккери: при всей глубине и тонкости его выводов, относится к неевклидовой геометрии, он в конце все же заключет, что ему удалось «вырвать с корнем» гипотезу, отрицающего пятый постулат, и очистить Евклида от пятен.
И Ламберт, далек разивший неевклидовый геометрию, только «почти» сделал вывод о ее выполнимости, и Гауссс мучительно долго «все более приходил» к убежданию о невозможности доказать пятый постулат.
Когда же неевклидова геометрия была открыта и обнаружена и вступло вопрос о ее реальном смысле, то тут неообразительность показала себя в полную силу.
Гауссс еще в 1827 г. развил основы общей теории геометрии на поверхности, в котором роль прямолинейных отрезков играют кратчайшие линии, расположенные на поверхности. У него был получен, в частности, вывод, что на некоторых поверхности (поверхности отрицательной кривизны) сумма углов треугольника (стороны которого кратчайшие линии) меньше 180°. Он знал вместе с тем, что в неевклидовой геометрии верно то же. Но он не сопоставил эти два вывода, неогдаался, что неевклидова геометрия должна осуществлять на некоторых поверхности. Если бы он допумался до этого, то доказательство не представило бы для него, при его исключительной силе математика, особого труда (этот вывод был получен инальянским математиком Белтрами только 40 лет спустя).
Веряяно, мысли Гауса в неевклидовой геометрии, с одной стороны, и в теории поверхностей, с другой, шли как бы параллельно, не пересекаясь. Явление довольно обобщное. Людмал сплошь и рядом не приходит в голову сопоставить вещи, которые каждуся совершеннялись, но при ближайшем рассмотрении оказываются тесно связанных или даже совпадающих. Так былает и у одного человека, когда он знает обе «вещи», но не сопоставляет их. Так же былает и в группе людей, когда они знают одно, другие — другие, да не сопоставляют.
Именно так и было дальше с неевклидовой геометрией и геометrien на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Миндинг, найда формулы триgonometрии на этих поверхности, — а они такие же, как в геометрии Лобачевского — не заметил этого, хотя работа Лобачевского была уже опубликована. Двумя годами ranble в том же журнале! Да и Лобачевский, который как геометр-профессional мог бы прочитать работу Миндинга, не сделал этого сопоставления!
Так путешественики, подошедшие к горному хребту или подплившие к острову с разных сторон, могут не сообщать, что открыли одно и то же.
Работу Миндинга развил в 1857 г. Кодации, но и он не сообщил со-
10
поставить свои выводы с неевклидовой геометрией. Да он, возможно, о ней и не знал, хотя часть работы Лобачевского была опубликована по-французски и по-немецки, а работа Больши еще в 1832 г. вышла на латинском языке.
И только в 1868 г. Белтрами, отправлясь от работ Миндинга и Кодаци, делает наконец нужное сопоставление и подробно доказывает, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны выполяняется геометрия Лобачевского.
В промежутке, в 1859 году, Кэли создает теорию расстояния, содержащую модель геометрии Лобачевского, но не понimed этого, так как не сопоставляет свою теорию с этой геометрией. Хотя позже, в 1861 году, он публикует работу по геометрии Лобачевского!
И только в 1871 году Клейн делает это сопоставление — приходит к той простой модели в круге, о которой мы расссказали вначале. Указанием на эту элементарную модель решения вопрос о недоказуемости пятого поступата. Вот к чему, можно сказать, свелось то, над чем более 2000 лет были умы математиков!
История неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди доходят до вещи, которые, когда они наконец ухвачены и понятны, оказываются простыми, и как люди зачастую не понимают, что делают и что лежит у них под руками. Ни Гayсс, ни Лобачевский не поняли то, что было у них почти в руках. Далее Гayсс и Лобачевский.
В нашей время все еще находится люди, занимающиеся «доказательством» пятого поступата и осаждающие математиков этих своих «трудами». Но так как вопрос о пятом поступате решен и решение это с помощью модели в круге нетрудно понять как дому, называемые «доказательства» и «труды» относится уже не к неевворотливости ума, а к глупости или даже к сфере медицинны. Глупость — это совсем не то, что тупость — неевворотливость ума; напротив, у друга может быть «легкость в мысли необыкновенная», ум его может поворачивать с головокружительной быстротю, да без только не имеет никакого отношения к той неповоротливости ума, свойственной даже гениям, которое так ярко показывает трудная история пятого поступата и неевклидовой геометрии.
Характер
Гayсс, Больши, Лобачевский — три математика, открывших неевклидовую геометрию. При человека — три характера.
Фридрих Гayсс — математик чрезвычайной силы, о котором говорят «великий Гayсс», «princeps mathematicorum» (то есть король математиков), «старшина математиков»*).
Но Гayсс при всей его математической силе была свойственная интеллектуальная осторожность, нерешительность, которая проявилась в частиности, в том, что он более 30 лет занимался теорией параллельных, прежде чем решился выразить даже самому себе и в частиных письмах творое убеждание в правомерности неевклидовой геометрии. Дальше следовала уже иная осторожность — трудность, которая не дала ему выступить со своим выводами из опасения «крика безопасцев»…
Полной противоположностью Гayсс представляет перед нами Янош Больши — самый молодой из трех: когда он допумался до неевклидовой геометрии, ему было всего 23 года (соответственно Гayсс — 47, Лобачевскому — 31). Лобачевский выступает публично в 32 года, Больши — в 30, Гayсс — никака. Работа Больши по неевклидовой геометрии написана блестяще, разве что уж слишком кратко. Блеск его талант соответствовал остальным чертом его пылкой натуры. Он был гусарский офисер, один из знаменитых венгерских гусар, дузлант. Как-то ему пришлось встреться в дузле на шпагах с несколькими противниками; схватки следовали одна за другой, и он овогорил себе право в перерывах играть на скрипке, чтобы восстановно…
*) О Гayссе можно прочитать в «Кванте», 1977, № 8, с. 2 или в брошюре С. Г. Гиндикина «Рассказы о физике и математике» (М., «Наука», 1981).
11
вить гибкость кисти. Он приколл (не до смерти) всех своих противников.
Но гуарское самолюбие погубило Больяи. Не тем, что его самого убили на дузли, а тем, что его самолюбие распространялось у него в области математики.
Гаусс прислал его отцу, своему старому знакомому, положительный отзыв о работе Яноша, написав, что очень хвалить его достижения не может, так как этим он хвалил бы сам себя, потому что те же результаты известны ему давно. Янош же решил, что Гаусс попросту присвоил себе его открытия. Позже, когда появился немецкий перевод одной из книг Лобачевского, он решил, что подпсевдомим Лобачевского скрывается Гаусс, украший его, Больяи, результаты. Кроме открытия неевклидовой геометрии Больяи выполнил еще одну работу по математике, где содержались идеи, операционные его времени, но не достаточно тщательно оформленную. В последние годы жизни сознание его помрачилось. Он умер в 1860 г., на 58 году жизни.
Лобачевский решительно отличался от Гаусса и от Больяи, соединяя смелость с упорством и основательство, силу теоретической мысли с силой воли. Его открытие не встретило признания, и его считали даже немного сумасшедшим, как говорил о нем, например, Чернышевский. Признание, идущее от Гаусса, пришло позднее. Но Лобачевский не смущался и продолжал свои «сумасшедшие» исследования по «сумасшедшей» геометрии, публикуя вслед за первой обширной работы 1829—30 гг. следующее. Ослепнуть к старости, своего последнего книг «Пангеометрия» он дисковал.
Деятельность Лобачевского была не только научной: 18 лет он был
12
ректором Казанского университета, прошив на этом посту выдающийся энергию, административное уменение и понимание задачоспитания юношества. Его энергичная и умела деятельности в тяжелое время хлерной эпидемии 1835 года может показаться даже страной у человека, который занимался воображаемой геометрией, одной из астрактнейших области абстрактнойшей из наук — математики. Но, может быть, этому не следует особенно удивляться. Воля, необходимая для решительных действия в трудных условиях, также необходима для того, чтобы развить и отстаивать научные убеждания и истину вопроси всем «крикам безопасности».
Талант, гений — это не только специализные способности, но и характер. Как Магеллану и Нансену была нужна решимость, чтобы отправиться в неизведанное плавание, так теоретику нужна интеллектуальная решимость, чтобы подумать «невероятное» и развивать его вопросы не только устоявимся взглядам и традициями, но нередко и вопросы собственным сомнением. Но мало убедиться в своих идеях для самого себя — их нужно передать другим людям. А это тоже может требовать решимости, потому что люди могут не понять, отбросить и даже подвергнуть насмешкам и поруганию новые идеи и выводы. Это могут сделать в первую очередь свои же коллеги — учены, убеждающие в незыблемости своих взглядов в своей академической непогрешимости,— мешане в академических креслах и на профессорских кафедрах, те «беотийцы», которые побоялись противоставить себя Гауссс.
В недавнее время, да возможность и по сюю пору, с легкой руки Бертольда Бреxtа принято было поносить Галилея за представство истинны — за то, что он отрекает с своих научных убежданий. То, что отрекается от истинны дурно, еда ли нуждается в особых обязываниях. Но в момент суда инквизции Галилея был 68-летим стариком, через 3 года он ослеп, а ему грозили пыткой, заточнем, перед ним стоял образ сохраняного на костре Джордано Бруно.
Остановитесь, читатель, и постановесь представить себе, что вас жутт на костре или вздергивают на дыбе. После этого мы продолжим разговор оверности истинне — о ней так легко рассудать, когда вам нерозят ни костер, ни пытки, ни заточение.
В действительности, Галилея, хотя и отрекаces словенно, но истинны не предал. Ослепший старец, узник инквизции, он дискутет свое главное научное сочинение и издает его за границей — в Голландии. Галилей исполнил свой долг ученого. По-видимому, на самом деле он не сказал инквизитом знаменитые слова: «А все-tаки она верится!». Но он сказал то же, хотя и менее эфективно, но более весом — своим научным трудом, своей книгой, написанной после суда инквизции. Поэтому легенда, приписывающая ему те слова, справедлива по существу. Поэтому правильно он остался в памятии народы верным истинне, верным своим научным убежданием.
Но Гауссс ничего нерозил, кроме разве неlectных судений коллег, а он скрыл свои научные убеждания, скрыл истинную. Он поступил мудро с точки зрения мешанства, одинаково — прошлого или современного, подвигающегося в науке или всякого другого.
Охотно морализуя по поводу «отречения» Галилея или тех, кто когда-то «калялся в грехах мендelmизма-морганизма», мешанн будет делать все, чтобы «не испортить отношения» с тем следует. Он не будет ни отрекаться, ни каяться. Потому что ему неотчего отрекаться и не в чем каяться. у него все в порядке, все как полагается.
Этот конформизм, этот подый двух приспособления противен настоящей науке, потому что она требует готовности подвергнуть сомнению и переместить любые научные взгляды, научные положения, как бы ни казались они прочно установлены. Она требует деревости мысли и деревости в том, чтобы открыто выступить с деревкой мысли, как это было с открытием неевклидовой геометрии.
(Окончание см. на c. 15)