Решения задач М750—М758; Ф768—Ф777

21

enclose an unstamped self-adressed envelope — we shall use it to send you the correction results. At the end of the academic year we sum up the results of the Kvant problem contest. If you have an original problem to propose for publication please send it to us under separate cover, in two copies (in Russian or in English), including the solution. On the envelope write “NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS)” with the horizontal plane and the angle $\varphi$ with the line $AB$ (see Pис. 1). For what minimal initial speed will the body move without detaching itself from the tube’s surface?

S. Krotov

P789. A detail with flat bottom, shaped on a lathe, is placed inside a receptacle, into which water is poured. The figure Pис. 2 shows how the force $F$ with which the detail presses on the bottom depends on the water level $H$ in the receptacle (no water seeps under the detail’s bottom). Use the graph to determine the area of the detail’s bottom, its volume and the density of the material out of which it is made. Make an approximate sketch of the detail. At what height is the area of its horizontal section equal to that of its bottom?

D. Belov

P790. A bar of mass $m$ is attached to a wall by means of a spring of rigidity $k$. A second bar of the same mass lies at a distance $d$ from the first one (figure Pис. 3). What minimal speed must the second bar be given in order to make the first bar return to its initial position after the bars collide with each other? The friction coefficient of the bars on the surface does not depend on velocity and equals $\mu$; the collision may be assumed perfectly elastic.

V. Peterson

P791. A cylindrical receptacle closed by a piston contains 1 mole of ideal monoatomic gas. The piston’s mass is $M$, its area is $S$. What quantity of heat must be supplied to the gas in unit time to make the piston move uniformly upward with velocity $v$? The atmospheric pressure is $p_0$. There is no friction between the piston and the walls of the receptacle.

D. Podlesnyi

P792*. A two-wire telephone line links Moscow and Leningrad. The resistance of one meter of the wire is $r = 0.05$ Ohm. Because of imperfections in the insulation, the resistance between the two wires is $R = 10^7$ Ohm per meter of the line. A source of tension $U = 100$ v is switched on to the ends of the wire in Moscow. What will the voltmeter reading be a) at the ends of the line in Leningrad? b) in the middle of the line?

Z. Rafailov

Решения задач

M750—M758; Ф768—Ф777

В решении мы многоократно использовем «приицип Дирекле»*.

a) Этот пункт — частный случай следующого.

b) Рассмотрим горизонтальную полосу бумаги ширины $lN$ (рис. 1). Она состоит из бесконечного числа столбцов высоты $lN$. Средние них найдется $m$ одинаково окрашенных столбцов (общее число разных раскрасок конечного). Проведем через эти столбцы $m$ вертикальных прямы.

Так как каждый из выбранных столбцов окрашен в $N$ цветов, найдется цвет, который встретиется в одном (и, стало бы, в любом) из них не меньше $l$ раз (иначе высота столбца меньше $lN$). Через клетки этого цвета проведем $l$ горизонтальных прямы.

b) Пусть клетки окрашены в красный и синиый цвет. Рассмотрим целочкупно не пересекающих квадратов $3 \times 3$, расположенных по «динагонали» (рис. 2).

*) См., например, статью В. Болтянского в «Кванте», 1977, № 2.

22

ди них найдуться два одинаково раскрашенных квадрата (число способов раскраски квадрата 3×3 в 2 цвета конечно). На диагонали каждой из квадратов есть по 2 клетки одного цвета (на рисунке 2 это красные клетки). Расмотрим клетки, получающейся в пересечении вертикальных и горизонтальных полосок, проходящих через эти красные клетки. Если хотя бы одна из них красная — задча reшена. Если нет, то все они синнего цвета, и из них легко выбрать такие три, что их центры образуют равнобедренный прямогольный треугольник.

г) Будем рассудать аналогично с решением пункта в). Расмотрим бесконечную цепочку достаточно больших квадратов, расположенных по диагонали (что значит «достаточно большой» — выяснить ниже). Среди них всегда найдуться два одинаково раскрашенных. Пусть сторона большого квадрата настолько велика, что вдоль его диагонали можно помещить большие квадратов 4×4, чем число способов раскраски квадрата 4×4 в 3 цвета. Тогда на диагонали каждой из двух выбранных нами одинаковых больших квадратов будет по крайней мере по 2 одинаково раскрашенных квадрата 4×4 (рис. 3). На диагонали каждой из них найдуться как минимум по 2 одинаково окруженных (и одинаково расположенных) клетки — на рисунке 3 их центры помещены красными точками; одинаковый цвет имеет и 4 соответственные клетки этих квадратов с синними центрами, а также 2 соответственные клетки больших квадратов с желтыми центрами. Если цветка каких-то двух из указанных трех групп клеток совпадает, то, очевидно, один из треугольников, выделенных на рисунке 3, будет искомым. В противном случае можно считать, что цвета всех этих клеток совпадают с цветами их центров. Тогда в какой бы из трех цветов — желтый, синний или красный — ни была окружена клетка с черным центром (см. рис. 3), один из трех равнобедренных прямогольных треугольников с общей вершиной в этом центре и двумя другими вершинами или в желтых точках, или в крайних синих, или в крайних красных будет «одноцветным».

С. Бесплатных

Эта задача тесто связывана с так называемой «теоремой Ван-дер-Вардена о прогрессиях», о котором мы раскажем в одном из ближайших номеров.

М 751. На окружности отмеченны 3k точек, разделяющих ее на 3k дуе, из которых k дуе имеет длину 1, если k дуе — длину 2, и остальные k дуе — длину 3. Доказите, что среди отмеченных точек найдуться две диаметрально противоположные.

Рис. 1.

Поделим образователься на окружности дуги длины 2 и 3 на равные части длины 1 и пометим эти k+2k=3k точек деления черным цветом, а данные по условию 3k точек — красным. Всего будет отмечен 6k точек — вершины правильного 6k-угольника (рис. 1). Далее будем рассудать от противного.

Предположим, что утверждение задачи неверно, тогда каждой точке данной окружности L0 диаметрально противоположна отмеченая черная точка. Поэтому против каждой из k дуе длины 1 с красными концами лежит дуга длины 1 с черными концами, то есть средняя часть одной из k дуе длины 3 с красными концами (см. рис. 1). Вырежем из окружности L0 две такие противоположные единичные дуги и из двух оставшихся больших дуг сделаем новую окружность L1 (рис. 2); она будет состоять из 6k—2 единичных дуг, концами которых служат 3k—1 красных и столько же черных точок. При этом диаметрально противоположные точки окружности L0 перейдут в противоположные точки окружности L1, поэтому против каждой точки будет по-прежнему расположаться черная. Красные точки разделят L1 на участки длины 1, 2 или 3, причем единичных участков будет k—1 — на 1 меньше, чем было до перестройки, двойных будет k+1 — на 1 больше, а тройных, как и единичных, — на 1 меньше.

23

Рис. 2.

М752. Квадратная таблица $n \times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отлично от других не больше, чем на 1. Доказите, что хотя бы одно число встречается в таблице:

a) не менее чем $|n/2|$ раз ($|a|$ — целая часть $a$);
b) не менее чем $n$ раз.

Рис. 1.

Рис. 2.

$k-1$ — на 1 меньше, чем было до перестройки, двойных будет $k+$ — на 1 больше, а тройных, как и единичных,— на 1 меньше.

Эту операцию выбрасывания двух друг длины 1 можно проделать и с $L_1$, затем — с полученной окружностью $L_2$ и т. д., всего $k$ раз (столько, сколько имеющих первогоально единчных — и противожащих им тройных — друг с красными концами). В итоге получится окружность $L_k$, составленная из друг длины 1, концами которых служат $2k$ красных и $2k$ черных точек, причем против каждой красной точки будет, как и равше, расположаться черная. С другой стороны, участков длины 1 или 3 с красными концами на $L_k$ уже не остаются (на каждом шагу число тех и других уменьшалось на 1), то есть красные точки будут разбиать $L_k$ на $2k$ участков равной длины (длинны 2). Поэтому против каждой красной точки должна оказаться красная.

Требуемое противоречие получено.

Точно так же доказывается аналогичное утверждение для окружности, разбитой на $k$ единичных, $l$ двойных и $k$ тройных друг, где $k+l$ — четное число.

В. Дубровский

Нам понадобится следующая

Лемма. Пусть дана цепочка из $N$ клеток таблицы (каждая клетка границит с предыдущей по общей стороне), в крайних клетках которой записаны числа $a$ и $b$ (рис. 1). Тогда $|a-b| \leq N-1$; 2) любое цепое число $x$, заключенное между $a$ и $b$, записано в одной из клеток цепочки.

Доказательство. Пусть $x_i$ — число, записанное в $i$-й клетке цепочки, тогда утверждение вытекает из того, что

$$|a-b| = |a-x_2 + x_2-x_3 + \ldots + x_{N-1}-b| \leq |a-x_2| + |x_2-x_3| + \ldots + |x_{N-1}-b|,$$

а разность двух соседних чисел не больше 1. При доказательстве второго утверждения будем для определения считать, что $a < x \leq b$. Двинимся по цепочке от первого клетки (с числом $a$) и найдем последнюю клетку, в которой еще записано число, не превысodiaщее $x$. Эта клетка — искомая: в ней записано $x$, поскольку и в следующей клетке было бы число, не превысodiaщее $x$ (ведь числа в соседних клетках отлично не больше чем на 1).

a) Пусть $M$ и $m$ — наиболее и наиболее числа в таблице. Поскольку любые две клетки можно соединить цепочкой не более чем из $2n-1$ клеток, из неравенства леммы следует, что $|M-m| \leq 2n-2$. Поэтому в таблице встречается не более чем $2n-1$ различных чисел, а значит, хотя бы одно из них записано не менее чем в $[n^2/(2n-1)]$ клетках. Но $n^2/(2n-1) > n/2$, откуда и следует утверждение a).

b) Пусть $M_k$ и $m_k$ — наиболее и наиболее числа в $k$-м столбце. Если найдется такое число $x$, что $m_k \leq x \leq M_k$ сразу при всех $k$ от 1 до $n$, то по второму утверждению леммы числа $x$ встречается в каждой столбце, то есть не менее $n$ раз. Если же такого числа нет, то для некоторых номеров $k$ и $l$ имеем $m_k \leq M_k < m_l \leq M_l$, то есть любое число $k$-го столбца меньше числа $l$-го столбца. Применив то же утверждение к числу $y$, заключенное между $M_k$ и $m_l$, и горизонтальным цепочкам между $k$-м и $l$-м столбцами, мы получим, что число $y$ записано в каждой строке, и значит, не менее чем $n$ раз.

Заменить в задаче 6) число $n$ на большее нельзя, как показывает таблица, изображенная на рисунке 2.

А. Берзинь

24

M753. Числа a, b, c лежат в интервале [0, π/2] и удовлетворяют равенства
cos a=a,
sin cos b=b,
cos sin c=c.

Расположите эти числа в порядке возрастания.

Ответ: b<a<c. Для доказательства заметим, что, поскольку sin x<x при всех положительных x, а cos x убивает в интервале ]0; π/2 [, при всех x∈]0; π/2 [ справедливо следующое двойное неравенство:
sin cos x<cos x<cos x.

Отсюда вытекает, что
b=sin cos b<cos b, cos c<cos sin c=c,
то есть
cos b-b>0=cos a-a>cos c-c.

Но функция y=cos x-x убивает в интервале ]0; π/2 [, следовательно, b<a<c.

С. Гесси

M754. a) Существуют ли многочлены
P=P(x,y,z),
Q=Q(x,y,z),
R=R(x,y,z)
от переменных x, y, z также, что выполено тождество
(x-y+1)³P+(y-z-1)³Q+
+(z-2x+1)³R=1?
6) Тот же вопрос для тождества
(x-y+1)³P+(y-z-1)³Q+
+(z-x+1)³R=1.

a) Ответ: не существует. Заметим, что система уравнений
x-y+1=0, y-z-1=0, z-2x+1=0
имеет решение (x,y,z)=(1,2,1). При подстановке этих значений переменных в рассматриваемое тождество многочлены при многочленах P, Q и R, а с ними и всяя часть, обращаются в нуль, и тождество нарушается, какие бы многочлены мы ни выбрали.

6. Ответ: существуют. Пусть f=x-y+1,
   g=y-z-1, h=z-x+1, тогда f+g+h=1 при всех значениях x, y и z. Возведя последнее тождество в седьмую степень, получим, что 1 представляется в виде суммы слагаемых вида f⁵·g⁵·h⁵, где k, l, m≥0 и k+l+m=7, а значит, хотя бы одно из чисел k, l, m не меньше 3. Таким образом, каждое из этих слагаемых делится или на f³, или на g³, или на h³. Группируя все слагаемые, делящиеся на f³, и вынося f³ за скобки, получим f³·P. Группируя те из оставшихся слагаемых, которые делятся на g³, получим g³·Q. Сумма остальных слагаемых равна h³·R (P, Q и R — какие-то многочлены от x, y, z). В итоге мы получим тождество нужного вида:
   f³·P+g³·Q+h³·R=1.

П. Гусятников,
Ю. Нестеренко

Отредакции. Эти задачи наводят на мысль, что верна общая теорема: если многочлены F₁, F₂, …, Fₙ (от одного или нескольких переменных) не обращаются одновременно в нуль, то найдет также многочлены P₁, P₂, …, Pₙ, что F₁P₁+F₂P₂+…+FₙPₙ=1. Такая теорема в самом деле верна, если учитывать не только действительные, но и комплексные значения переменных*). Более того, эта теорема — частный случай значений теоремы Гильберта о корнях: если многочлен G обращается в 0 при всех тех (комплексных) значениях переменных, при которых одновременно F₁=0, …, Fₙ=0, то существуют многочлены P₁, P₂, …, Pₙ и натуральное число r также, что

F₁P₁+F₂P₂+…+FₙPₙ=G'.

Возьемем на лучах, содействияющих точку M с вершинами данного тераэдра, точки A, B, C и D на расстоянии 1 от M. Очевидно, точки M будет находиться внутри нового тераэдра ABCD и его ребра видны из этой точки под теми же

*) О комплексных числах расссказываюсь в статьях Л. Понтрягина в «Кванте», 1982, №№ 3, 4.

25

углами, что и ребра данного tetraэдра. Поэтому, не теряя общности, можно заменить данный tetraэдр на $ABCD$.

Первое решение. Поскольку точка $M$ лежит внутри tetraэдра, луч $DM$ проходит внутри его трехгранного угла при вершине $D$ и потому пересекает плоскость $ABC$ в некоторой точке $P$, причем точка $P$ находится внутри треугольника $ABC$ (рис. 1). Допустим, что косинус углов $AMD, BMD$ и $CMD$ больше — 1/3 (инначе доказывается нечего). Тогда сами эти углы меньше $\varphi = \arccos(-1/3)$, а значит углы $AMP, BMP$ и $CMP$ больше чем $180^\circ - \varphi$. Отсюда вытекает, что длины отрезков $AP, BP$ и $CP$ больше sin $\varphi$.

Действительно, возьмем, например, отрезок $AP$. Если угол $AMP$ — острый, то sin $\overrightarrow{AMP} > \sin(\pi - \varphi) = \sin \varphi$. В то же время $|AP|$ не превысит расстояния от точки $A$ до прямой $MP$, которое равно $|AM| \cdot \sin \overrightarrow{AMP} > 1 \cdot \sin \varphi$ (см. рис. 1). Если угол $AMP$ — тупой или прямой, то $AP$ — наиболее сторона в треугольнике $AMP$ и $|AP| > |AM| = 1 > \sin \varphi$.

Поскольку точка $P$ лежит внутри треугольника $ABC$, один из углов $APB, BPC$ и $CPA$ не меньше $120^\circ$. Пусть $\overrightarrow{APB} \ge 120^\circ$, тогда

$$|AB|^2 = |AP|^2 + |BP|^2 - 2|AP| \cdot |BP| \cdot \cos \overrightarrow{APB} > \sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi - 2 \sin^2 \varphi \cdot \cos 120^\circ = 3(1 - \cos^2 \varphi) = \frac{8}{3}.$$

С другой стороны, полагая $\alpha = \overrightarrow{AMB}$, мы имеем

$$|AB|^2 = |AM|^2 + |BM|^2 - 2|AM| \cdot |BM| \cos \alpha = 2(1 - \cos \alpha).$$

Таким образом, $2(1 - \cos \alpha) > 8/3$; следовательно, $\cos \alpha < -1/3$.

Второе решение. Обозначим векторы $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}$ и $\overrightarrow{MD}$ через $e_1, e_2, e_3, e_4$ (рис. 2). Так как точка $M$ лежит внутри tetraэдра, никакие три из них не комплинаны. Разложим вектор $e_4$ по остальным трех:

$$e_4 = y_1 e_1 + y_2 e_2 + y_3 e_3.$$

Заметим, что коэффициенты $y_1, y_2$ и $y_3$ отличаются. В самом деле, расстояние, например, $y_3$. Вектор $e_4$ есть сумма вектора $y_1 e_1 + y_2 e_2 = \overrightarrow{MK}$, где $K$ — некооторая точка плоскости $ABM$, и вектора $\overrightarrow{KD} = y_3 e_3$, колlinearного вектор $e_3$ (см. рис. 2). Точка $M$ лежит внутри tetraэдра, поэтому точки $C$ и $D$ лежат по разные сторонам от плоскости $ABM$, а значит, векторы $\overrightarrow{MC} = e_3$ и $\overrightarrow{KD} = y_3 e_3$ противоположно направлены, то есть $y_3 < 0$.

Положим $x_i = -y_i$ при $i = 1, 2, 3$ и $x_4 = 1$, тогда полученное разложение вектора $e_4$ перепишется в виде

$$x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 + x_4 e_4 = 0,$$

причем все числа $x_i$ положительные. Пусть $x_1$ — наиболее числа (1) скалярно на вектор $e_1$:

$$x_1 + x_2 \cos \alpha_2 + x_3 \cos \alpha_3 + x_4 \cos \alpha_4 = 0,$$

где $\alpha_i$ — угол между векторами $e_1$ и $e_i$ ($i = 2, 3, 4$), и перегруппируем слагаемые:

$$\left( x_1 - \frac{1}{3} \left( x_2 + x_3 + x_4 \right) \right) + x_2 \left( \cos \alpha_2 + \frac{1}{3} \right) + x_3 \left( \cos \alpha_3 + \frac{1}{3} \right) + x_4 \left( \cos \alpha_4 + \frac{1}{3} \right) = 0.$$

Первое слагаемое влевой части неотрицательно, так как $x_1 \ge x_i$ при $i = 2, 3, 4$; поэтому хотя бы одно из остальных слагаемых неоположительно: $x_i \left( \cos \alpha_i + \frac{1}{3} \right) \leq 0$ для некооторая $i$. Но $x_i > 0$; следовательно, $\cos \alpha_i < -1/3$.

Сделаем два заменения. Во-первых, построенную — 1/3 в условиях уменшить нельзя, как показывает пример правильного tetraэдра $ABCD$ и его центра $M$. В этом случае

27

М758*. Какое наименьшее количество цесел необходимо вычернуть из последовательности 1, 2, 3, …, 1982, чтобы ни одно из оставшихся цесел не равнялось произведению двух других оставшихся цесел?

Ответ: 43 цесла; можно вычернуть цесла 2, 3, …, 44.

Если вычернуть указанные 43 цесла, то условие задачи будет выполнено, либо произведение любых двух из оставшихся цесел (исключая 1) будет больше чем $45^2 = 2025 > 1982$. Покажем теперь, что если вычернуть меньше чем 43 цесла, то останется 3 цесла, произведение двух из которых равно третьему.

Рассмотрим 43 тройки цесел
$(2, 87, 2 \cdot 87), (3, 86, 3 \cdot 86), ..., (44, 45, 44 \cdot 45)$.

Так как функция $x \cdot (89 - x)$ на отрезке [2; 44] возрастет, все вычисленные цесла различны и не превысают 44 · 45 = 1980 < 1982. Если вычернуть менее 43 цесла, то хотя бы одна из вычисленных троек останется, и условие задачи будет нарушено.

Л. Курляндчик

Ф768. По главному столу движется, быстро врачаясь воркут свое оси, волокок, имеющий форму конуса (см. рисунок). При какой скорости v поступательного движения волокок не ударится о край стола, сосочив с него? Ось волока остается вертикальной. Размеры волка указаны на рисунке.

Соскочив со стола, волокок будет двигаться по параболе (вращение лишь стабилизирует вертикальное положение оси волка). Горизонтальная проекция $v_x$ скорости волка будет равна скорости $v$ его поступательного движения по столе; вертикальная проекция будет меняться со временем по закону $v_y = gt^2/2$. Волокок не ударится о край стола, если за время $t$, за которое он сместится по вертикали на $H$, его смещение по горизонтали будет больше или равно $r$ (см. рисунок). Запишем это условие:

$$v_x\tau = v\tau \geq r, \quad \tau = \sqrt{\frac{2H}{g}}.$$

Таким образом, скорость поступательного движения волка должна удовлетворять условию:

$$v \geq \sqrt{\frac{r^2g}{2H}}.$$

А. Зильберман

Ф769. Массивный цилиндр радиуса $R$ опирается на две подставки одинаковой высоты (см. рисунок). Одна подставка неподвижна, а другая вызжает из-под цилиндра со скоростью $v$. С какой силой давит цилиндр на неподвижную подставку в тот момент, когда расстояние между точками опоры равно $R\sqrt{2}$? Считать, что в начальной момент подставки располагается очень близко друже к дружеу; трене между цилиндром и подставками отсутствует.

До тех пор, пока цилиндр не оторвется от опор, осылиndра будет всегда находиться точно посередине между опорами. Следовательно, горизонтальная проекция скорости оси цилиндра (точки $O$ на рисунке) равна $v/2$. Поскольку все точки оси движут по окружности с центром в точке $A$, полная скорость $u_t$ каждой точки оси направлена в любой момент времени перепедикулярно радиусу $OA$. Следовательно, все точки оси движут с центростремительным ускорением $a_t = u_t^2/R$.

Запишем уравнение движения точки $O$ в проекции на ось $Y$ (см. рисунок):

$$Mg \cos \alpha - N = Ma_t = M \frac{u_t^2}{R},$$

где $N$ — абсолотное значение силы реакции со стороны неподвижной опоры. По III закону Ньютона с такой же по абсолотной величины силой цилиндр давит на неподвиж-

28

нуло опор. Из уравнения (*) находится
$$N = Mg \cos \alpha - M \frac{u^2}{R}.$$
В тот момент, когда расстояние между опорами равно $|AB| = R\sqrt{2}$,

$$\cos \alpha = \frac{R\sqrt{2}}{2R} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Горизонтальная проекция скорсти точки $O$ равна $u_i$ cos $\alpha = v$, откуда $u = v/\sqrt{2}$. Таким образом, при $|AB| = R\sqrt{2}$

$$N = M \frac{g}{\sqrt{2}} - M \frac{v^2}{2R}.$$
Для того чтобы цилиндр не оторвался от опор до того, как $|AB|$ становится $R\sqrt{2}$, должно выполнять условие $\frac{g}{\sqrt{2}} > \frac{v^2}{2R}$, то есть $v < \sqrt{gR\sqrt{2}}$.

С. Кротов

Ф770. В теплозолюрованном цилиндре под легким поршнем находится смесь равных количеств воды и льда: $m_B = m_\pi = m = 1$ кг. Давление на поршень медленно увеличивается от начального значения $p_0 = 10^5$ Па до $p_1 = 2,5 \cdot 10^6$ Па. Определить, сколько льда при этом растает и какую работу совершит雯ня сила. Известно, что для уменшення температуры плавления льда на 1 градус нужно довести давление до $p = 14 \cdot 10^6$ Па.

1. Решите задачу, считая воду и лед несжимаемыми.

2. Оцените поправку, которую дает учет скимаемости.
   Известно, что для уменшення объема неокоторого количества воды на 1% давление нужно поднять до $p' = 20 \cdot 10^6$ Па. Сжимаемость льда примите для оценки равной половине скимаемости воды.
   Удельные теплозолюкости воды и льда — $c_B = 4,2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К), $c_\pi = 2,1 \cdot 10^3$ Дж/(кг·К); удельная теплота плавления льда $\lambda = 3 \times 10^5$ Дж/кг, плотность льда $Q_\pi = 0,9Q_B$, где $Q_B$ — плотность воды.

3. Сначала найдем уменшение температуры смеси в результате увеличения внешнего давления:

$$\Delta T = \frac{p_1}{p} \approx 0,17 \text{ K}.$$
Столь малое изменение температуры указывает на то, что растает малое количество льда, то есть $\Delta m \ll m_\pi$.
Запишем закон сохранения энергии:

$$A = \lambda \cdot \Delta m - (c_\pi + c_B)m \cdot \Delta T.$$
Оценим значение работы $A$ внешней силы. Изменение объема смеси в результате таяния массы $\Delta m$ льда равно

$$\Delta V = \frac{\Delta m}{Q_\pi} - \frac{\Delta m}{Q_B} = \Delta m \frac{Q_B - Q_\pi}{Q_B Q_\pi} \ll 0,1 \frac{m}{Q_\pi} \sim 10^{-4} \text{ m}^3,$$
следоватьно,

$$A \approx p_1 \cdot \Delta V \ll 2,5 \cdot 10^2 \text{ Дж}.$$
Количество тепла $\Delta Q$, необходимое для нагрева массы $m$ льда и массы $m$ воды на $\Delta T$ градусов, равно

$$\Delta Q = (c_\pi + c_B)m \cdot \Delta T \approx 1,1 \cdot 10^3 \text{ Дж}.$$
Видно, что $A \ll \Delta Q$; поэтому можно для оценки считать, что $\lambda \cdot \Delta m \approx \Delta Q$, откуда

$$\Delta m = \frac{\Delta Q}{\lambda} \approx 3,7 \cdot 10^{-3} \text{ кг}.$$
Изменение объема за счет таяния этой массы льда равно

$$\Delta V = \Delta m \frac{Q_B - Q_\pi}{Q_B Q_\pi} \approx 4 \cdot 10^{-7} \text{ m}^3.$$
Учитывая, что при медленном увеличении давления $\Delta V \sim \Delta p$, найдем работу внешней силы:

$$A = \frac{1}{2} p_1 \cdot \Delta V \approx 0,5 \text{ Дж}.$$
2) Прием во внимание скимаемость льда и воды. Изменение объема льда и воды будет равно

$$\Delta V' = \frac{p_1}{p'} \cdot 10^{-2} V_{\text{OB}} + \frac{p_1}{p'} \cdot 10^{-2} \frac{V_{\text{OI}}}{2},$$
где $V_{\text{OB}} = 10^{-3} \text{ m}^3$ и $V_{\text{OI}} = 1,1 \cdot 10^{-3} \text{ m}^3$ — начальные объемы воды и льда. Подставляя числовые данные, находим

$$\Delta V' \approx 2 \cdot 10^{-6} \text{ m}^3.$$

29

Работа $A'$ внешней силы, затраченная на скатные смеси, равна

$$A' = \frac{1}{2} p_1 \cdot \Delta V' \approx 2,5 \text{ Дж}.$$

Полная работа внешней силы равна

$$A_\pi = A + A' \approx 3 \text{ Дж}.$$

А. Буздин

Ф771. В схеме, приведенной на рисунке 1, диод Д и катушка с индуктивностью $L$ в момент времени $t=0$ при помощи ключа К подключаются к источнику переменного напряжения $u = U_M \cos \omega t$. Определить силу тока в катушка как функцию времени; построить график этой функции. Диод и катушка считать идеальным. Внутренним сопротивлением источника претенбрь.

Рис. 1.

Рис. 2.

напряжение на катушка будет меняться со временем по закону

$$u = U_M \cos \left( \omega t + \frac{3}{2} \pi \right) = U_M \sin \omega t.$$

Так в катушка будет меняться по закону

$$i = \frac{U_M}{\omega L} (1 - \cos \omega t)$$

(тут учтено, что при $t = t_2$ $I = 0$).

На рисунке 2 приведены графики $u(t)$ и $i(t)$.

В. Скороваров

Ф772. Междупленный кораль совершил мяскую посядку на Луну. Кораль имеет форму диска радиуса $r=4 \text{ м}$; его поверхность покрыта черной (неотражающей) красной. Можно ли обнаружить приложение кораль с помощью самого большого в мире светского телевиса БТА с

Вследствие диффрациции света на оправе объекта с помощью телевиса можно различить две точки на поверхности Луны, находящиеся на расстоянии не менее

$$R = \frac{\lambda}{D} L = 40 \text{ м}.$$

Объекты, размер которых меньше $R$, не отличны от точного объекта. Для того чтобы прочитать букву, нужно различать несколько ее элементов. Оценка числа этих элементов может быть сделана только приближенно. Для

30

диаметром объекта $D = 6\text{ m}$, если в фокальной плоскости установить фотопластику и сформировать участок поверхности Луны, в котором находится предполагаемое место приложения?

Приятить, что надежно разчитаемая контрастность изображения на фотопластике (то есть минимальная относительная разница в освещенности светлых и темных частей изображения) равна $k = 0,05$.

Расстояние от Земли до Луны $L = 4 \cdot 10^5\text{ km}$; фотопластирование ведется в свете с длиной волны $\lambda = 0,6\text{ мкм}$. Оценить, при каком размере букв, выложенных космонавтами на поверхности Луны, их можно прочесть при наблюдении с Земли с помощью телескопа БТА.

Ф773. На цереховатой наклонной плоскости с углом наклона $a$ лежит тело, к которой прирязана лежая нерастяжимая нить. Свободный конец нити пропущен через маленькое отверстие в плоскости. В начальной момент тело лежит на плоскости так, что нить горизонтальная (рис. 1). Нить начинают медленно вытяивать; при этом тело к моменту достижения отверстия описывает поливную окружность. Найти величины коэффициента треня тела о плоскость.

Ф774. Для многохвостев существуют такие значения температуры $T_{\text{tp}}$ и давления $p_{\text{tp}}$, при которых все три фазы этого можно попытаться, например, изобразать буквы цепочки соприкасающихся кругков. Число кругков в таких цепочках должно не меньше 5—6, чтобы буквы отличались друг от друга. Учитывая, что радиус этих кругков на поверхности Луны должно быть $R = 40\text{ m}$, мы получим оценку размена буква: $l \approx 400-500\text{ m}$.

При фотографировании освещенности любой точки изображения Луны в фокальной плоскости объекта создается за счет излучения всех элементов поверхности Луны, лежащих в пределах круга радиуса $R = 40\text{ m}$, то есть площади $S = \pi R^2$. Если часть площи этого круга будет закрыт черным (неотражающим) диском площи $s = \pi r^2$, то освещенность изображения точки приложения будет пропорциональна $(S-s)$, в то время как в других точках она пропорциональна $S$. Следовательно, контрастность изображения будет равна

$$k = \frac{S - (S - s)}{S} = \frac{s}{S} = \left( \frac{r}{R} \right)^2 = 10^{-2}.$$

Эта величины меньше заданной в условиях надежного различиной контрастности изображения $k_{\text{min}} = 5 \cdot 10^{-2}$. Следовательно, междупленный корпель обнаружить неудостяя.

С. Козел

◆ На рисунке 2 приведена траектория движения тела от начального положения до отверстия (плоскость рисунка совпадает с наклонной плоскостью). Точка $O'$ — центр полукружности, по которой движется тело.

Поскольку нить вытягаивает медленно, можно считать, что в каждой момент времени тело находится в состоянии равновесия. Запишем условие равновесия тела для момента, когда нить составляет угол $\varphi$ с горизонтальной $OO'$ (рис. 2).

В проекциях на ось $X$ —

$$f \cos \left( \frac{\pi}{2} - 2\varphi \right) = T \cos \varphi,$$

или $f \sin^2 \varphi = T \cos \varphi.$

В проекциях на ось $Y$ —

$$f \cos 2\varphi + T \sin \varphi = mg \sin \alpha.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

В проекциях на ось $Y'$, перpendикулярную наклонной плоскости (см. рис. 1), —

$$mg \cos \alpha = N.$$

Учитывая, что сила треня $f$ равна по абсцилотной величины $\mu N$, из (1)—(3) находится $\mu = tg \alpha.$

А. Зильберман

◆ На рисунке приведена диаграмма состояния вещества в координатах $p-T$.

Рассмотрим цикл $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow A$, который совершает над массой $m$ вещества в трейной точки. В этом цикле

31

вещества — газообразная, жидкая и твердая — нахождение в равновесии друже с другой точка. Для воды $T_{tr} = 0,0075^\circ C$, $p_{tr} = 4,58$ мм рт. ст; удельная температура в твердой точке равна $r = 595,8$ кал/г, удельная температура плавления — $\lambda = 79,7$ кал/г. Наути удельную температусу сублимции (прямоугольная из твердого состояния газообразное) воды выполнено тройной точке

$$rm + \lambda m - \theta m = 0,$$

где $\theta$ — удельная температура сублимции (работа системы за цикл равна нулю, приока теплла извне нет, полное изменение внутренней энергии системы также равно нулю). Следовательно,

$$\theta = r + \lambda.$$

Подставив числовые данные для воды, найдем удельную температусу сублимции воды:

$$0 = 675,5$$ кал.

В. Давыдов

◆ Изменения тока при переключении амператора малы. Значит, можно считать, что изменение тока в цепи при подключении амператора мало и пропорционально изменению полного сопротивления цепи, то есть $\Delta I = \alpha \cdot \Delta R_{06\mu}$, где $\alpha$ — коэффициент пропорционального. Но $\Delta R_{06\mu} = R_A$ ($R_A$ — сопротивление амператора). На разных пределах сопротивление амператора разное.

Если $I_0$ — ток в цепи до подключения амператора, то

$$\Delta I_1 = I_0 - I_1 = \alpha R_{A1},$$

$$\Delta I_2 = I_0 - I_2 = \alpha R_{A2},$$

где $R_{A1}$ — сопротивление амператора на пределе 10 мА, $R_{A2}$ — на пределе 3 мА. Учитывая, что $\frac{R_{A1}}{R_{A2}} = \frac{3}{10}$, из (*) получаем

$$\frac{I_0 - I_1}{I_0 - I_2} = \frac{3}{10},$$

откуда

$$I_0 = \frac{10I_1 - 3I_2}{7} \approx 2,97$$ мА.

А. Зильберман

◆ За одну минуту чайник оставает на $\Delta t_1 = 0,2$ градуса. Колчество теплла, «термяемое» за это время чайником, равно

$$\Delta Q_1 = cm \cdot \Delta t_1$$

(c — удельная темперакость воды). Если в минуту в чайник капают n капель, то количество теплла, передаваемое им воде в чайнике, равно

$$\Delta Q_2 = nm_k c (t_2 - t_1).$$

Условие построения температуры воды в чайнике — $\Delta Q_1 = \Delta Q_2$, то есть