Задачи М776—М780; Ф788—Ф792

18

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи несандарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Задачи по математике из этого номера предлагались этим летом на XXIII Международной математической олимпiadе. Решения задач из этого номера можно отправлять не позднее 28 февраля 1983 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачник «Кванта» № 12 — 82» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M776, M777» или «Ф788». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

M776 — M780; Ф788 — Ф792

M776. На диагоналях AC и CE правильно шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, такие что

$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$

Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Найдите λ.

M777. Дано уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^3 = n$. Доказите, что a) если натуральное n такое, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решений;
6) при n=2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

M778*. Дан неравноведенный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1, 2, 3$), $M_i$ — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данной треугольник, и $S_i$ — точка, симметричная $T_i$ относительно биссертрисы угла $A_i$ треугольника. Доказите, что прямые $M_1S_1$, $M_2S_2$ и $M_3S_3$ имеют общую точку.

M779*. Расматривают последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условиям

$$1 = x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$$

a) Доказите, что для любой такой последовательности $\{x_n\}$ существует n, при котором

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} \geqslant 3,999.$$

6. Найдите такого последовательности $\{x_n\}$, удовлетворяющего указанному условиям, для которой любом n

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_{n-1}^2}{x_n} < 4.$$

А. Гришков

M780*. Дан квадрат K со стороны 100. Пусть L — несамопересекающая незамкнутая ло-