Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

56

Практикум абитурента

Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов вузы в 1982 году.

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен

На выполнение работы было предоставлено 5 часов.

Вариант 1
(механико-mатематический, физический и экономический факультеты)

1. Решите уравнение
   $$14x - 2x^2 = |x - 7|.$$

2. Решите уравнение
   $$4 + 2\cos^2 x = 7\sin 2x.$$

Найдите все корни уравнения, принадлежшие отрезку $$\left[ \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{2} \right].$$

3. Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R описана около треугольника ABD и проходит через центр окружности, вписанной в треугольник CBD. Определите площадь ромба.

4. Найдите все значения a, при каждом из которыхровно один корень уравнения $x^2 + 2(a - 1)x + 3a + 1 = 0$ удовлетворяет неравенству $x < -1$.

5. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1. Точка M — середина ребра CD, N — середина ребра BC, точка P принадлежит ребру AB, причем $|AP| = 3|BP|$. Сфера касается плоскостей ABC и ACD, причем точки ее касания с плоскостями лежат, соответствно, на прямых NP и AM. Найдите радиус сферы.

Вариант 2
(геолого-геофизический факультет и факультет естественных наук)

1. Найдите область определения и множество значений функций $f(x) = \sqrt{6x - x^2} - 5$.

2. Решите неравенство
   $$\log_2(4x^4 + 3x^2 + 6) + \log_2\left(\frac{x^2 + 1}{2}\right) \geq \log_2(3x^2 + 6).$$

3. Угол между векторами $\vec{a} = \left( \alpha; 1; \sqrt{\frac{6}{5}} \right)$ и $\vec{b} = \left( 3; 1; 0 \right)$ равен $$\frac{\pi}{4}.$$ Найдите α (базис прямогольный).

4. Решите уравнение
   $$\sin \left( 4x + \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin 6x = \sin \left( 10x - \frac{\pi}{4} \right).$$

5. В основании треугольной парамиды SABC лежит правильный треугольник ABC со стороны 1, плоскости граней SAB и ABC перпендикулярны, $|SA| = |SB|$, высота парамиды равна 1. На ребре SA выбрана точка M так, что $|MA| = 2|SM|$, точка N — середина ребра SC. Плоскость α проходит через точки B, M и N. Найдите расстояние от точки A до плоскости α.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет

Каждай варниант состоит из пяты задач трех типов. На решение задач давалось пять часов.

Первые три задач — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительных сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, умения разобраться в непривычной или условенной физической ситуации.

Четвертая задач — это задача-оценка. Для ее решения надо понять рассматриваемое физическое явление, сформировать простую (так как нужно только оценка) физического модели этого явления, выбрать разумные численные значения физических величины, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующейrealности. В тексте задачи подвергивалось, что абитриент, хорошо представляя явление, может сам выбрать необходимые для решения задачи физические величины и их численные значения.

Пятая задач — это задача-демонстрация, в котором надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно понять существующие явления и среди различных факторов выделить главный.

Работа оценивания в зависимости от суммы набранных баллов (за сумму от четырех до двенадцати баллов ставилась оценка «три», от тринадцати до двадцати одного «четыре»). Ниже после текста каждой задачи указаны балл за ее полное решение и процент решивших ее (при этом задач считалась решенной, если за нее было поставлено не менее половины полного количества баллов).

Вариант 1

1. Схема состоит из конденсатора емкости C, диодов D1 и D2 и катушек с индуктивностью L1 и L2, собранных, как показано на рисунке 1. Найдите период колесенной направления на конденсаторе в этой схеме. (4 6.; 64%)

2. Закрытый с торцов теплопроводной цилиндр массы m перегороден подвижным поршнем массы M. С обеих сторон от поршня находится по одному молю идеального газа, внутренняя энергия которого U = cT. Коротким ударом цилиндр сообщают скорость v, направленную вдоль его оси. На сколько изменится температура газа после затухания колесенной поршня? Треня между поршнем и цилиндром нет. (7 6.; 40%)