22
Расправление контуров на плоскости
Кандидат физико-mатематических наук С. В. МАТВЕЕВ
Сделаем из тонкой проволоки окружность, плавано изогнем ее в пространстве, придавей более сложную форму, и бросим на плоскость, плотно прижав к ней (рис. 1). Можно ли полученный плоский проволочный контур расправить в окружность не отрывая его от плоскости?
Мы считаем, что толщина проволоки нульвая, так что и в тех точках, где один участок колца проходит над другим (в так называемых двойных точках), верхний участок также лежит на плоскости. Проволока очень гибкая, но не бесконечно гибкая — радиус закругления не должен обращаться в ноль, иначе проволока может слиматиться. В частности, запрещена операция затягивания петелек, изображенная на рисунке 2.
Разумеется, расправить наш контур в пространстве всегда можно. Ведь мы начинали с проволочной окружности: ее можно восстановить, выполив проделанные нами изгибания в обратном порядке. Начав с окружности, мы обошли все сложности, связанные с узлами: если бы мы начали с такого заузленного контура, как на рисунке 3, нам завершено не удалось бы его расправить в окружность не только на плоскости, но даже в пространстве (см. «Квант», 1981, № 3, с. 8). Вернемся к нашему вопросу. Сначала
Немного поэксперименту и подумаем
Начем с проволочного контура на рисунке 1. Повозившись немного с реальный проволочной (можно и с ниткой), вы легко убедитесь, что этот контур расправить можно (процесс расправления показан на рисунке 4).
А теперь попробуйте расправить контуры а — е, изображенные на рисунке 5.
Я найдюсь, что читатель сумел расправить контуры б, д, е. Бесплодность попыток расправить контуры а, в, е убеждает в существовании нерасправляемых контуров. Но как доказ-
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3
23
Зать, что какой-нибудь контур расправить нельзя?
Что бы доказать невозможность того или иного построения или процесса, математики часто пользоваться следующим примемом. С каждым состоянием рассматривается объект связьвается некоторое число, осталось неизменным в данном процессе (такое число называют инвариантом или преяствием); затем инвариант подсчитывает для начального и конечного состояния объект; если получаются разные числа, то процесс перехода от начального состояния к конечному невозможен: ведь инвариант в процессе изменяется не может, на то он и инвариант!
Попробуем и мы связать какое-нибудь число с каждым плоским проводочным контуром. Первое, что приходит в голову, — это число двойных точек контура. Увы! Это — не инвариант, как видно, например, из процесса расправления контура на рисунке 4. Однако рассматривая этот рисунок внимательно, можно заметить, что двойные точки появляются и исчезают парами. Это наводит на мысль, что четность числа двойных точек не меняется, то есть что остаток от деления числа двойных точек на два — инвариант.
Так оно и есть (мы к этому еще вернемся). Из этого утверждения
24
возможных направлений обхода. Будем дивигаться по контуру из точки А с единной скоростью в выбранном направлении, а вектор скорости будем откладывать от фиксированной точки А’. Тогда вектор скорости будет поворачивать вокруг А’, причем его конец будет дивигаться по единной окружности (с центром в точке А’). Так как в момент завершения обхода контура и возвращения в точку А вектор скорости займет исходное положение, общее число оборотов, которое он совершит вокруг точки А’, является целым. При этом обороты в положительной направлении (против часовой стрелки) считаются со знаком «+», в отличательном (по часовой стрелке) — со знаком «-».
Постотрите на рисунок 6. На нем путь конца вектора скорости помещен красной линей и для наглядности с движут с окружности. На самом деле, красная кривая плотно наматывается на окружность, а точки 1’ — 6’ совпадают. Всего вектор скорости совершает (-1) оборот: от точки 1’ до точки 2’ — один оборот, от точки 2’ до точки 3’ и от точки 5’ до точки 6’ оборота не совершается, а от точки 3’ до точки 4’ и от точки 4’ до точки 5’ совершается по одному обороту в отпечатальном направлении.
Обещанный нами инвариант (обозначим его V) равен modulo общего числа оборотов вектора скорости. Он не зависит, оченьindo, от выбора начальной точки A; не зависит он также от выбора направления обхода, так как при изменении направления обхода общее число оборотов меняет только знак. Например, для контура на рисунке 6 инвариант V равен 1.
Покажем (не привода подробного доказательства), что V действительно является инвариантом. В процессе расправления все положения векторов скорости меняются плавано, без скачков, поэтому число V тоже должно меняться непрерывно; однако V — всегда целое число, оно может превращаться в другое целое число только скачком, что противоречит непрерывности. Поэтому V остается неизменным, является инвариантом расправления.
Теперь мы можем разобраться с контуром 5, е. Для него V=3 (проверьте!), поэтому он не расправляется в окружности (для которого V=1).
Если вы действительно проверили, что для контура 5, е V=3, вы, наверное, заметили, что вычислить число оборотов вектора скорости на практике не очень удобно, легко совершить ошибку. Однако V можно найти проще.
Для этого выберем определение на плоскости, скажем — направление оси Oy (см. рис. 6), и отметим точки, в которых вектор скорости направлен так же, как ось Oy. Поставим около каждой отмененной точки число +1, если маленький содержащий ее участок контур находится слева от нее; и —1, если справа (если же контур в отмененной точке имеет перегиб — то есть лежит по обе стороны от вектора — мы никакого числа не ставим).
Тогда инвариант V равен modulo суммы поставленных чисел.
25
Рис. 7.
Например, около точек 1 и 2 на рисунке 6 следует поставить +1, около точек 3, 4, 5 — поставить (—1). Поэтому для контура на рисунке 6 инвариант V равен 1. Доказите самостояльно, что указаный способ действиялено позволяет сосчитать V для любого контура.
На рисунке 7 для каждой целого неотрицательного числа n изображен контур с инвариантом V=n. Напомним, что если контур расправляется в окружность, то его инвариант V обязаан равняться инварианту окружности, то есть единце.
Инвариант R
Равенство V=1 является необходимым условием расправляемости контур в окружность. Является ли это условие достаточно? Я полагаал, что ответ на этот вопрос положен. Однако безупречные попытки расправить собственный брючный ремень, положенный так, как на рисунке 8, a, убедили меня в обратном и одновременно натолкнули на важное наблюдение: поднять с пола ремень (рис. 8, б) оказался дважды перекрученным!
Заменним контур на ленту, лежащую на плоскости так, чтобы контур совпадал с ее средней линией (рис. 9, a). Расправив контур в пространстве (например, верну его в исходное положение до бросания на плоскость), получим перекрученную ленту. Число «перекруток» обозначим через R. Это и есть второй инвариант, равенство которого 0 необходимо для расправляемости контур в окружность. Следует уточнить, что число перекруток береется со знаком «+», если перекручивание ленты проискит так, как на рисунке 8, б, и со знаком «—», если лента перекручена так, как на
26
рисунке 8, в (вспомните различие между правой и левой резьбой).
Докажем, что число R действительно является инвариантом, то есть что оно не меняется при расправлении контур на плоскости. Для этого достаточно заменить, что расправление контура определяет расправление ленты на плоскости, а число перекруглителей не меняется не только при расправлении ленты на плоскости, но и при произвольном перемещении ленты в пространстве.
Можно доказать (мы на этом останавливаемся не будем), что инвариант R вычисляется следующим образом. Выберем на контуре направление обхода. Поставим около каждой двойной точки число +1, если нижний вектор скорости направлен влево от верхнего, и —1, если вправо (легко увидеть, что при другом направлении обхода получается те же числа). Инвариант R равен сумме поставленных чисел. Например, контур на рисунке 9, б имеет 3 положительные и 4 отрицательные двойные точки, поэтому его инвариант R равен —1. Следовательно, этот контур на плоскости расправить нельзя.
Необходимые и достаточно условия
Мы убедились, что условия V=1 и R=0 необходимы для того, чтобы контур можно было расправить в окружность. Достаточно ли эти условия? Другими словами, можно ли, подсчитав инвариants V и R и убедившись, что V=1 и R=0, заключить, что контур расправляется в окружность? Оказывается, да.
Основная теорема. Для того чтобы контур можно было расправить на плоскости в окружность, необходимо и достаточно, чтобы его инвариант V был равен единице, а инвариант R — нулю.
Эта теорема дает полный ответ на вопрос, поставленный в начале статьи. Описанные выше простые способы подсчета инвариants V и R позволяют быстро проверить формулированное в ней необходимое и достаточно условие. Предлагаю читателю в этом убедиться на