Задачи-оценки

26

Задчи-оценки

Кандидат физико-математических наук
Г. В. МЕЛЕДИН

В жизни каждого прикладки, оценки: успею ли добраться, хватит ли денег, намного ли надо подвести регулятор часов, сумме ли удержать груз и т. п.

В деятельности исследователь оценки необходимы профессионально. Грубая прикладка, оценка по порядку величины — почти обязательный этап подготовки эксперимента, проектирования установки, теоретической разработки. Они незаменимы в процессе обсуждения новых идей и проектов. Иногда оценки подсказывают путь точного решения задачи, дают возможность установить границы области применения точного решения и понять, какие изменения потребуют при постановке и решения задачи вне пределов этой области.

Умение делать прикладки, наряду с.intuцией, весма существно в творческой работе. Неслучайно поэтому, что в последнее время задчи-оценки стали встречаться и наступительных экзаменах вузы. Например, уже несколько лет в каждом варианте письменного экзамена по физике для поступающих на физический факультет Новосибирского государственного университета есть задача-оценка. В формулировке такой задачи нет или почти нет необходимых для решения численных значений физических величины; предполагается, что каждый сам может их выбор и задать.

Физическая постановка задачи, выбор и построение простейшей физической модели явления — наиболее важный и вместе с тем трудный этап решения задач-оценок. Нужно правильно отбрать физические параметры, наиболее существенные для задачи, определяющие ее физику, и пренебречь параметрами, слабо влияющими на интерсушение нас явление. Для установления связи между различными параметрами существенно правильное использование основных физических законов и определений. Иногда можно ограничиться не очень строгими определениями или качественной трактовкой физических законов.

Прежде чем перейти к конкретным задачам, сделаем два небольших замечания. Во-первых, договоримся, что именно мы будем понимать под словами «оценка по порядку величины». Два численных значения какой-либо физической величины считаются отличующимся на порядок, если их отношение примерно равно 10, на два порядка, если оно равно 10², и т. д. С этой точки зрения число 89 должно считаться числом порядка 10², а число 15 — порядка 10. Если же два значения отличются, например, в 1,3 раза, их нужно считать величины одного порядка. То же самое относится к случае, когда имеет отличие в 2,3 или даже в 5 раз. При грубых оценках также отличия от точного результата не существует.

Во-вторых, условия об обозначениях. Наряду со знаком равенства «=» или знака приближенного равенства «≈» мы будем употреблять знаок «~». Obviously он использует для записи факта пропорциональности двух величины. Мы же этим значком будем обозначать равенство по порядку величины, подчеркивая, тем самым, что безразмерные коэффициенты пропорциональности в наших формулах — числа порядка единицы. Еще раз подчеркием, что отличие коэффициентов «истинных» и «оценочных» в нескольких раз для наших неисуществного.

27

Теперь рассмотрим несколько сравнительно несложных задач-оценок. Почти все они взяты из вариантов вступительных экзаменов на физический факультет НГУ.

Начнем с задач, в которых физика является предмето ясна и нужно лишь разумно выбрать конкретные значения соответствующих физических величины.

Задача 1. Оцените давление шариковой ручки на бумаду при письме.

Чтобы сделать такую оценку, воспользоваться неопределенным давлением: $p = F/S$. Теперь надо подумать о том, каковы численные значения силы и площади, входящих в это определение. Каждый линей, который мы рисуем на бумаге во время письма, состоит из отдельных точек. Точку можно считать кругком, диаметр которого равен ширине слева $d$, оставляемого на бумаге: $S = \pi d^2/4$. Причем $d \sim 0,2$ мм (что достаточно правдо-побно). Усиление $F$, прилагаемое к ручке, тоже оценим «на глазок»: оно не превышает веса кисти руки, но заведomo больше веса ручки. Возьмем $F \sim 1$ Н. Тогда

$$p = \frac{F}{S} \sim \frac{4F}{\pi d^2} \sim 3 \cdot 10^7 \text{ Pa}.$$

Для того чтобы почувствовать, много это или мало, полезно сравнить полученное значение с каким-либо другим. Представьте себе, что на столе стоит гиря массой 1 кг. Ее диаметр в нижней части порядка 4 см, так что гиря оказывает на стол давление порядка $8 \cdot 10^3$ Pa. Значит, при письме шариковой ручной давление на бумагу в несколько тысяч раз превышает давление килogramмов гири, стоящей на столе.

Задача 2. Оцените скорость струи пара, выходящо из носика кипящого чайника.

Пусть мощность нагреваателя $W$, а удельная теплота парообразования воды $L$. Введем еще один параметр — долю мощности $\eta$, иушую на образование пара. Тогда $\eta W/L$ — это масса пара, образующшего в каждой единицу времени. Очевидно, сколько пара образовалась, столко же и выходит из чайника:

$$\frac{\eta W}{L} = \varrho v S.$$

Здесь $\varrho$ — плотность пара при кипении, $v$ — скорость вытекания пара, $S$ — площадь сечения носика чайника. По закону Менделеева—Клапейрона плотность пара $\varrho = p\mu/(RT)$, где $p$ — давление, $\mu$ — молярная масса воды, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура пара. Окончательно получаем

$$v = \frac{\eta W}{L\varrho S} = \frac{\eta WRT}{Lp\mu S}.$$

Если мощность нагреваателя $W \sim 1$ кВт, $\eta \sim 0,5$, $S \sim 1$ см$^2$, $T \sim 373$ К, $p \sim 10^5$ Pa (так как давление насыщенного пара при температуре кипения равно атмосферному давлению), а постоянные величины равны, соответствующей $R = 8,3$ Дж/(кг·К), $L = 4,2$ кДж/кг и $\mu = 18 \cdot 10^{-3}$ кг/моль, то

$$v \sim 2 \text{ м/с}.$$

Задача 3. Оцените, во сколько раз в положий солнечный день светлее, чем ночь в пололуние.

Прежде всего заметим, что Луна лишь отражает свет, падаюший на нее от Солнца. Будем считать,

28

чито освещенность, создаваемая Солнцем на Земле и на Луне, примерно одна и та же и равна $E_C$. На Луну попадает световая мощность $E_C \pi R^2$ (здесть $R$ — радиус Луны). Луна создает на Земле освещность $E_\pi = E_C \pi R^2 k / (2\pi l^2)$, где $k$ — коэффициент отражения света от поверхности Луны, $l$ — расстояние от Луны до Земли (считаем, что Луна равномерно «отбрасывает» отраженный свет внутри телесного угла, равного половине максимального). Теперь найдем относение освещенности:

$$\frac{E_C}{E_\pi} = \frac{2}{k} \left( \frac{l}{R} \right)^2 = \frac{8}{k} \left( \frac{2R}{l} \right)^{-2},$$

где $2R/l$ — угловой размер Луны, равный по порядку величины 0,01 радиана.

Возьем $k \sim 0,2$, тогда окончательно

$$E_C/E_\pi \sim 4 \cdot 10^5.$$

Задача 4. Оцените, на сколько дальше уnadет граната, если спортмен будет бросать ее с разбеза.

Предположим, что при полете гранаты она поднимается на максимальную высоту $H$. Тогда время полета гранаты равно $2\sqrt{2H/g}$. Если в начальной момент горизонтальная проекция скорсти гранаты увеличится на $v$, а вертикальная проекция остanetся практически без изменения, то время полета не изменится, а дальность полета возрастет на $l = 2v\sqrt{2H/g}$.

Разумно считать $H \sim 5$ м, а $v \sim 8$ м/с (вспомните, например, что спритеры пробегают стометровку за время порядка 10—12 с); следовательно, $l \sim 20$ м.

Полученная оценка достаточно разумна.

Задача 5. Оцените время разрядаки металлического заряженного шара, соединенного с Землей через резистор с известным сопротивлением.

Пусть потенциаль заряженного шара $\varphi$, а заряд $Q = C\varphi$, где $C = 4\pi\varepsilon_0a$ — емкость шара ($a$ — радиус шара). После соединения с Землей и потенциаль шара, и его заряд станут равными нулю. Во время разрядаки по цепи поддет ток $I$, который с течение временой будет, конечно, изменяться, но для оценки этим фактором мы пребрежем. Тогда получаем

$$I \sim \frac{Q}{t} \sim \frac{\varphi}{R},$$

где $R$ — сопротивление резистора, $t$ — время разрядаки. Отсюда

$$t \sim \frac{QR}{\varphi} = CR = 4\pi\varepsilon_0aR.$$

При $a \sim 1$ м, $R \sim 1$ МОм и $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \Phi/\text{м}$

$$t \sim 10^{-4} \text{ с.}$$

В «Занимательной физике» Я. И. Перельмана есть рассказ, который называется «Сухим из воды». Он начинается так: «Положите монету на большую плоскую тарелку, налейте столко воды, чтобы она

29

покрыла монету, и предложите гостям взять ее прямо руками, не замочив пальцев.

Эта, казалось бы, невозможная задача довольна просто решается с помощью стакана и горяшей бумажки. Зажигите бумажку, положите ее горяшей внутрень стакана и быстро поставьте стакан на тарелку влизи монеты вверх дом. Бумажка погаснет, стакан наполнится белым дымом, а затем под ним сама собой соберется вся вода с тарелки. Монета же, конечно, оставется на месте, и через минуту, когда она обсохнет, вы сможете взять ее, не замочив пальцев».

Давайте в связи с этим рассказом решим такую задачу.

Задача 6. Оцените минимальную температуру, до которой должен нареться стакан, чтобы в него после остыания оказалась вянутой вся вода из тарелки.

Решим сначала задачу точно (кочечно, в рамках некоторых предположений, о которых позже скажем). Когда стакан подносит к поверхности воды, давление воздуха в нем равно атмосферному давлению $p_a$, а его температура $T_x$ не известна. Когда стакан остынет и в него оказется вянутой масса воды $m$, давление воздуха в нем будет $p$, температура стакан равной температуре $T$ окружающей воздуха, а объем уменьшится на величины объема воздуха воды, то есть стакан равным $(S_l - m/Q)$, где $S$ и $l$ — площадь секения стакана и его высота, $Q$ — плотность воды. Согласно закону Менделеева—Клапейрона,

$$\frac{p_a S_l}{T_x} = \frac{p S (l - m/(\varrho S))}{T}.$$

Из условия равновесия столбка воды следует, что $pS + mg = p_aS$, тогда

$$T_x = T \frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} \frac{1}{1 - \frac{m}{\varrho l S}}.$$

Укажем теперь неявные допущения, которые мы сделали при решении. Мы считали, что температура воздуха в стакане совпадает с температурой его стенок; что стакан ставится на воду медленно, так что начальное давление в нем совпадает с atmosферным; что давлением водыных паров в стакане можно пренебречь; что капитлярные эфективы пренебрежимо малы.

Интересно, что в полученную формулу для $T_x$ учет изменения давления (обусловленного вошедшим в стакан водяным столбком) и учет изменения объема воздуха в стакане воды в виде независящих компонентов. Поэтому их влияние можно исследовать разделно.

Преобразуем первыйсомжитель из правой части указаанной формулы:

$$\frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} = \frac{1}{1 - \frac{p_{BO}}{p_a}} \approx 1 + \frac{p_{BO}}{p_a}.$$

Atmosферное давление соответствует давлению водыного столбка высотой 10 м, а в нашем случае ясно, что высота водышего в стакан столбка воды не может превышать высоту стакана, то есть приблизительно 10 см, поэтому разумно давление водыного столбка пренебречь и считать этот множитель приближенно равным единице:

$$\frac{1}{1 - \frac{mg}{p_a S}} \approx 1.$$

Второйсомжитель связаан с изменением объема воды в стакане. Объем воды и объем стакана уже не различаются столбculo, как давления, поэтому объем воды пренебречь нельзя.

Таким образом,

$$T_x \approx \frac{T}{1 - \frac{m}{\varrho l S}}.$$

31

Задание 8. Оцените время, через которое вы услышите этом после вспышки молнии, если известно, что молния ударила в дерево, находящая от вас на расстоянии около 3 км.

Поскольку свет распространяется со скоростью $\approx 3 \cdot 10^5$ km/c, вспышку молнии можно будет увидеть через время $\sim 10^{-5}$ с. Звук же идет гораздо дольше. Попробуем оценить скорость распространения звуковых колбаний в воздухе. Воспользовемся для этого методом размерностей.

Очевидно, что скорость $v$ звука зависит от параметров, характеризующих эту среду. Пусть для воздуха это будет давление $p$ и плотность $\rho$. Предположим теперь, что $v \sim p^x \rho^y$,

где $x$ и $y$ — неизвестные показы. Если подобная формула действительно существует, то размерности ее левой и правой части должны быть, конечно, одинаковы.

Условия размерности физической величины $A$ обозначают [A].

Тогда

$$v = m \cdot c^{-1},$$

$$p = \Pi a = \kappa \Gamma \cdot m^{-1} \cdot c^{-2},$$

$$\rho = \kappa \Gamma \cdot m^{-3},$$

и можно записать

$$m \cdot c^{-1} = (\kappa \Gamma \cdot m^{-1} \cdot c^{-2})^x (\kappa \Gamma \cdot m^{-3})^y.$$

Это равенство выполняется при условии, что

$$x + y = 0,$$

$$-x - 3y = 1,$$

$$-2x = -1.$$

Отсюда

$$x = \frac{1}{2} \text{ и } y = -\frac{1}{2},$$

позетом получаем

$$v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}}.$$

Численный коэффициент в этой формуле из сообщений размерностей определять нельзя. Предположим, что он порядка единицы (вобше говоря, это нужно было бы как-то проверить).

Для оценки скорости звука давление воздуха применяем нормальное атмосферному давление: $p \sim 1$ атм $\sim 10^5$ Pa, а плотность воздуха будем считать равной плотности при нормальных условиях: $\rho \sim 1,3$ кг/m³. Тогда скорость звука

$$v \sim \sqrt{\frac{p}{\rho}} \sim 300 \text{ м/c},$$

и время, через которого наблюдаются условия гром,

$$t \sim \frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{300 \text{ м/c}} \sim 10 \text{ с}.$$

Это время на шесть порядков больше времени разространения света, что в полне разумно с точки зрения нашей жизниенного опыта.

В заключение предлагается еще несколько задач-оценок. Предыдущие, не заглядывая в ответ, получить необходимые оценки самостоятельно.

Задание для размышления

1. Оцените, как изменится давление атмосферы, если в вода в океанах испарится.
2. Оцените скорость опускания парашюта с раскрытым парашютом.
3. Оцените среднюю плотность Солнца.
4. Оцените, сколько оборотов (кувырков) совершит автоматически, на полной скорости свободно улавший в климетровую пропасть.
5. Оцените успешное спортемена при толкании ядра.
6. Оцените силу натяжения цепи вlosсипеда при езде в гору.
7. Оцените, с какой скоростью летела капля воды, если при ударе о неподвижную стенку она оказывает на нее среднее давление порядка $10^6$ Pa.
8. Оцените силу натяжения ремней безопасности, удерживающих человека в автоматике, если автоматиль, движущийся со скоростью порядка 30 км/ч, столкнулся со столбом, в результате чего у автоматила получила вмятина глубиной порядка 30 см.
9. Оцените, на сколько отключются рассстояния уровней мирового океана до центра Земли на полюсе и на экваторе.
10. Оцените, на каком расстоянии человека в яркой одежде, уходя в сосновый лес, потеряется из виду. (Подлеска нет.)