Задачи М811—М815; Ф823—Ф827

43

Задачи

M811—M815; Ф823—Ф827

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указаем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задания публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 30 сентября 1983 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 7—83» и номера задачи, решения которых вы посылаете, например, «M811, М812» или «Ф823». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задчи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задчи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задча по физике» или «…новая задча по математике»).

В начале каждого письма просим указать номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

M811. Пусть $h_a, h_b, h_c$ — высоты, а $m_a, m_b, m_c$ — медианы остругольного треугольника (проведенные к сторонам $a, b, c$), $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружности. Докажите, что

$$\frac{m_a}{h_a} + \frac{m_b}{h_b} + \frac{m_c}{h_c} \leq 1 + \frac{R}{r}.$$

Д. М. Милошевич

M812. Докажите, что при любом натуральном $n$

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}} < 2.$$

С. И. Майзус

M813. Даны отрезки $OA, OB$ и $OC$ одинаковой длины (точка $B$ лежит внутри угла $AOC$). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь кривolineного треугольника, ограниченного двумми этих окружностей и не содержащого точку $O$ (см. рис. 1, с. 44), равна половине площади (объчного треугольника $ABC$).

В. В. Прасолов

M814. Отметим в натуральном ряде числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Средние чисел встречаются тройки последовательных чисел, например

$$72 = 6^2 + 6^2, 73 = 8^2 + 3^2, 74 = 7^2 + 5^2.$$

a) Объясните, почему не могут встретиться последовательных отчечных числа.

Докажите, что средние чисел встречаются бесконечно много 6) пар, в*) троек последовательных чисел.

Л. Д. Курляндчик

M815*. На окружности расставлены $4k$ точек, занумерованных в произвольном порядке числа 1, 2, …, $4k$.

a) Докажите, что эти точки можно соединить $2k$ попарно непересекающимся отрезками так, что разность чисел в концах каждой отрезка не превышает $3k-1$.