О больших числах

40

О больших числах

Кандидат физико-mатематических наук
А. П. САВИН

Однажды в одном пionерском лагере мне довелось пистворвать на вечере вопросов и ответов под названием «А кто самый…?» Много было разных вопросов: «У кого самый длинный хвост? Какая звезда самая близкая к Земле?» Но вот одна девочка спросила:
— А какое число самое большое?
Вместо ответа я ей предложил сыграть в такую игру.
— Вот конфета,— сказал я,— кто назовет больше число, тот получает эту конфету. Назови свое число!
— Сто тысяч миллионов,— выпали девочка.
— Нет такого названия,— ответил я.

— Нет есть,— настанвала девочка.
— Ладно, тогда я загадал двести тысяч миллионов. Сыграем еще?
Остальные ребята зашумели, начали говорить, перебивая друг друга.
— Тихо,— сказал я,— давайте говорить по очереди, а то ничего нельзя понять. Из десята ребят, тут же поднявших руку, я выбрал невисокого мальчика в очках.
— Игра нечестная,— сказал он— какое бы число ни назвала Маша, Вы назовете число на единицу больше и вышегаете. И вообше, нет наиболее числа: к любому числу единичку можно прибавить.
Маша, продолжавшая стоять около стола, спросила меня:
— А как называются числа большие миллиона?
Судя по лицам ребят, этот вопрос заинтересовал многих из них. Я стал расскажать.
— В пределах первой тысячи, как вы знаете, название имеет единица каждого размера: единица, десять, сто, тысяча. Следующее единица, имеющее собственное название.

41

ние, идут через три разряда, то есть каждый очередная именованная единица содержит тысячу предыдуших именованных единиц:
1 000 000 — миллион,
1 000 000 000 — миллиард или биллон,
1 000 000 000 000 — триллюон,
1 000 000 000 000 000 — квадраillon,
далее идут квитиллюон, секстиллюон, centиллюон, октиллюон, нониллюон, дeuциллюон.

Прицели построения называют неиспользовуются. Астрономы, физики и другие специалисты, имеющие дело с большими числами, предпочитают записать числа с помощью степеней числа 10. Так, число 460 000 000 физик записет либо как $46 \cdot 10^7$, а чаше, как $4,6 \cdot 10^8$. Если это число нужно прочесть, то он и прочетет его как «четыре и шесть десятих на десять в восемой».

— А что делать, если на конце не будет нулей? — спросил меня один из мальчиков.

— Дело в том,— сказал я,— что при физических и других измерениях, как правило, верными бывают только первые две-три цифры. Чтобы получить большие количества верных знаков для каждого числа, например, массы планеты или расстояния до нее, требуется применять особые предосторожности и специальные очень точные приборы. Поэтому в больших числах, получаемых из обычного эксперимента, оставляют лишь первые две-три цифры, а остальные заменяют нулями.

— А с каким самым большим числом приходилось иметь дело на практике? — раздался вопрос с последнего ряда.

— Такое число можно даже называть,— ответил я,— физики считают, что во всей Вселенной количество элементов частиц, из которых состоит atoms находится в ней вещества, не больше, чем $10^{88}$. Поэтому нет практической необходимости пользоваться числами, большими, чем $10^{100}$. Для этого числа придумано специальное название — учелол. Каждый можно представить себе такую градиницу. Но все таки попробуем.

Представьте себе табло из 400 лампочки, расположенных в виде квадрата $20 \times 20$. Это представить себе легко, подобные табло встречаются в крупных эропортах и на вокзалах, там с помощью загорашихся лампочки вывечиваются объявления о прибитии и отправления поездов или самолетов. А теперь подумаем, сколько разных способов существуют, чтобы зажчь табло $20 \times 20$.

Начнем считать количество состояний нашего табло. Для порядка занумерцем лампочки числами от 1 до 400. Первая лампочка может быть в двух состояниях: потушеной и зажженной. Две лампочки могут быть уже в четырех состояниях. Если использовать для обозначения потушеной лампочки знаок о, а для зажженной знаок +, то эти четыре состояния можно перечислять: 00, +0, 0+, ++0, 00+, +0+, 0++, +++. Количество состояния удовлетворяющей для первых двух лампочки при потушеной третьей лампке, плюс то же самое количество состояния при зажженной третьей. Нетрудно заметить, что при добавлении четырех лампочных состояний вновь удовлетворяя и становится равным $2^4 = 16$, при пятей лампочных состояний будет $2^5 = 32$, при десяти — уже $2^{10} = 1024$, а при 400 лампках — $2^{400}$. Покажем, что это число больше гугола. Обратим внимание, что $2^{10} = 1024 > 10^3$, поэтому $2^{400} = 2^{10 \cdot 40} > 10^3 \cdot 40 = 10^{120}$. Итак, с помощью нашей нехитрого табло мы смогли превзойти гугол.

Сколько же времени понадобится для того, чтобы реализовать все имеющиеся возможности? Пусть у

42

нас есть электронное решение, которое меняет состояние табли со скоростью 100 раз в секунду. Поскольку в каждом часе 3600 секунд, в сутках 86 400 секунд, а в году 31 536 000 секунд, то за год таблиет сделать 3 153 600 000 миллиный или 3,1536 · 10^9. Разделив 10^120 на это число, получим около 3 · 10^110 лет — число, в миллиарды раз больше гугола. Вот так табли!

Может быть, мы сделали великое открытие в науке? К сожалению, нет. То, что количество состояний системы во много раз превоздит количество ее элементов, люди поняли очень давно. И очень часто трудно бывают из всего многообразия вариантов выбрать наиболее лучший. Например, где размещить заводы по производству какого-то нового типа изделия? Какие мощности выбрать для этих заводов? Если сделать немного крупных заводов, то стоимость производства будет невелика, это изделия придется дальше. Если же сделать много мелких заводов, то возить изделия придется меньше, но стоимость изготовления изделия на небольших предприятиях возрастает. Чтобы решать такие и подобные задачи, имеющие больше народноозязательное значение, непрерывно работают тысячи электронных вычислительных машин, перебирающих тысячи вариантов в секунду.

— А можно еще вопрос? — руку поднял первой мальчик в оках.
— Да, пожалуйста.
— Но математикам, наверное, приходится операровать еще большеими числами?
— Те, кто думает, что математики только то и делают, что складывают, умножают и делят числа, очень далеко от истинны. Лишь в одной ее области → теории чисел — ученые часто имеет дело с конкретими целыми числами. И здесь действительное появляется очень больше числа. Например, долго время шло совершение — кто назовет больше простое число. Проство — значит, имеющее лишь два различных делителя: себя и единицу. Потом стали искать лишь такие простые числа, которые имеют вид:

2^n — 1. Эти числа называются простыми числами Мерсенна, в частности французского ученого Марена Мерсенна, математика, акустика, теоретика музыки, одного из основателей Парижской Академии наук. Числа Мерсенна интересны тем, что если число 2^n — 1 — простое, то число 2^n−1 (2^n — 1) равно сумму всех своих делителей, кроме самого числа. Такие числа древние греки называют совершенными. Укажем три первых совершенных числа:

6 = 2 · 3 = 2(2^2 — 1) = 1 + 2 + 3,
28 = 2^2 · 7 = 2^2(2^3 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
496 = 2^4 · 31 = 2^4(2^5 — 1) =
= 1 + 2 + 4 + 8 +

• 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Интересно, что число 2^n — 1 будет простым только в том случае, если число n — простое. К концу прошло века было известно 12 простых чисел Мерсенна: для n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127. Для n=127 простое число Мерсенна равно — тут я достал из кармана записную книжку, и на доске переписал: 170141183460469231731687303715884105884105727

— Это число все меньше гугола, — продолжил я. — Но теперь за дело взгляс электронные вычислительные машины. Они нашли, что число 2^n — 1 будет простыми при n=521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 44497.

После нее число 2^44497 — 1 имеет уже более 13 тысяч цифр. Затем, что гугол имеет «всего» 100 цифр.

После этого последовали новые вопросы: «Какая ЭВМ считает быстрое всех? Какой звёрь бегает быстрое всех?»

Вечер вопросов и ответов продолжали…