Задачи М836—М840; Ф848—Ф852

Квант 1983, №12 с. 35-36 Тег CSQP

Задачи

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментта основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наболее трудные задания отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 29 февраля 1984 года по адресу: 103006, Москва, К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № Г2—83» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M836, М837» или «Ф848». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения). Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учитесь.

Задачи M836—M840 предлагались на XXIV Международной математической олимпиаде (с. 46).

M836—M840; Ф848—Ф852

M836. Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух okружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ , $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — середины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих okружностей (рис. 1). Доказите равенство углов $O_1AO_2$ и $M_1AM_2$ .

И. Ф. Шарыцин

M837*. Пусть $a, b, c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Доказите, что наиболее из целых чисел, не представимых в виде

$xbc + yca + zab$

(где $x, y, z$ — неотрицательные целые числа), равно

$2abc - ab - bc - ca.$

M838. Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$ , разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$ . Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множества $E_1$ и $E_2$ найдется тройка вершин прямого треугольника?

M839*. Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$ , так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a, b, c$ , в которой $a + c = 2b$ )?

M840*. а) Доказите, что если $a, b, c$ — длины стороны треугольника, то выполено неравенство

$a^2b(a - b) + b^2c(b - c) + c^2a(c - a) \geq 0.$

Выясните, в каких случаях оно превращается в равенство.

б) Доказите, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполено неравенство

$a^3b + b^3c + c^3a \geq a^2bc + b^2ca + c^2ab.$

Ф848. По гладкому горизонтальном круговому желобу длины $l$ катается шарик. Скорость $v$ шарика известна с точностью $\varepsilon = \pm 5\%$ . При каких значениях $v$ можно точно утверждать, что через время $t$ после того, как шарик находится в точке $A$ (рис. 2), его нет в точке $B$ ?

E. И. Рабкин

Ф849. Сухой термометр нахождения в комнате исхрометра показывает температуру $t_1 = 18,0^\circ\text{C}$ , а влажный — $t_2 = t_1 - \Delta t = 15,0^\circ\text{C}$ . Не пользовать таблицей, определяйте относительной влажность воздуха в комнате. Давление насыщенного водяного пара при указанных температурах равно, соответственно, $p_1 = 15,5$ мм рт. ст. и $p_2 = 12,8$ мм рт. ст. Молярная температура испарения воды — $l = 4,07 \times 10^4$ Дж/моль; тепломкость воздуха — $c = 20,8$ Дж/(моль • град) (при постоянном объеме).

И. С. Солодовников

Ф850. На рисунке 3 показана экспериментальное полученная зависимость силы упругости пружины от ее длины. Найти перiod малых колебаний груза массы $m = 60$ г, подвешенного вертикального на этой пружине в поле тяжесте.

В. И. Комов

Ф851. Найти силу взаимодействия двух непроводящих половинок шара радиуса $R$ , каждая из которых равномерно заряжена по объему с плотностью $q_1$ и $q_2$ соответственно. Дизлектрическую пропищаемость материалов шара считать равной единице.

И. В. Гребнев

Ф852. По горизонтальной непроводящей плоскости без проскальзывания катится равномерно заряженное колью массы $m$ . После включения горизонтального магнитного поля с индикцией $\vec{B}$ , перpendикулярной плоскости колца (рис. 4), сила давления колца на плоскость уменьшалась вдвое. С какой скоростью катилось колью, если его заряд равен $q$ ?

Л. Г. Маркович