Так ли прост евклидов мир?

14

Так ли просте ввклидов мир?

Кандидат физико-mатематических наук И. Х. САБИТОВ

Геометрию, изучаемую в школе, называют ввклидовой в честь древнегреческого ученого Евклида, сумевшего систематизировать эту наук на основе акисиатического метода. Среди акисиом геометрии, предложенных Евклидом, наиболее известность снискала пятая — акисиома паралельных. Эта акисиома (или «пятый постулат», как ее назвал Евклид в своих «Началах»), в существии, утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно проверсти единственную прямую, паралельную данной. Правда, в «Началах» Евклид формулировал это утверждение в другой (но эквивалентной) форме: «Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меняше двух прямых, то при неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меняше двух прямых».

Не геометрия Евклида — не единственная логическая возможность

Рис. 1. В геометриях Евклида, Лобачевского и Римана — разные акисиomy паралельных.

Рис. 2. В ограниченной части пространства непредседательно не видно, какая из акисиomy имеет место.

15

Так как же осуществить экспериментальную проверку аксиомы параллельных?

Сумма углов треугольника — пробный камень геометрии мира?

Оказывается, это, в принципе, возможность. Дело в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых равносильна утверждению, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° *), а в геометрии Лобачевского получается, что эта сумма меньше 180°. Поэтому Гаусс, использую геодезические измерения, решил вычислить сумму углов в треугольнике, образованном треяя высокими вершинами (Броккен, Хохенгаген и Инзельберг) в горном массиве Гари, отстоящими друг от друга приблизительно на 100 км. Лобачевский выбор для своих вычислений космические масштабы — он измерил сумму углов треугольника, вершинами которого были Земля, Солнце и смая яркая звезда северного полушария Сириус. Но в обихх экспериментах полученные отклонения от 180° были в пределах допустимой ошибки измерений, поэтому никакого вывода о геометрии реального мира они не дали.

Однако представим себе, что какому-нибудь наблюдается удалость с безукоризенной точностью установки, что сумма углов неокторого треугольника равна 180°. Значит ли это, что наша геометрия — евклидова?

Ответ утвердительный, если мы считаем верной теорему Лежандра. Эта теорема, разумеется, доказывает с использованием других аксиом Евклида. Но выполняются ли остальные аксиомы в реальном мире? Например, почему можно быть увеличным в том, что две прямы, пересекающие на лежащем перед нами листе бумаги, больше нигде в реальном пространстве не пересекутся,

*) Более того, французский математик А. Лежандр доказал, что аксиома параллельных следует из существования хотя бы одного треугольника с суммой углов 180° (см. доказательство в книге Энциклопедия элементарной математики, М., «Наука», 1966, т. V, с. 399).

как бы далеко мы их ни продолжали? Давайте поэтому относится ко всем аксиомам Евклида с одинаковой требовательностью — ни про одну аксиomy не будет заранее предполагать, что если она доступна проверке в ограниченной области, то она справедлива и во всем пространстве.

Тогда мы приdem к таким вопросу: предположим, что всюду в реальном пространстве все аксиомы евклидовой геометрии выполенены «в малом», то есть в пределах доступности для наших изменительных прибора (где бы ни находился наблюдаемый); верно ли тогда, что реализное пространство является евклидовым «в целом» (то есть все евклидово трехмерное пространство является правильно моделью всего физического пространства)? Этот важный (в существии, космогоническая) вопрос дает чисто математическую формулировку, которая и будет интересовать нас здесь.

Постановка задачи

Пусть в окрестности каждой точки пространства (скажем, в некотором шаре с центром в этой точке) выполенены все положения евклидовой геометрии. (Разумеется, сформированные так, чтобы они имели смысл в пределах шара; например, аксиома параллельных должны быть заменена на утверждение «Сумма углов треугольника равна 180°» и т. п.) Что тогда можно сказать о геометрии всего пространства?

Пространство со свойством евклидовости в окрестности каждой точки называется локально евклидовым.

Математически более точно определение локального евклидова пространства следует из существования хотя бы одного треугольника с суммой углов 180° (см. доказательство в книге Энциклопедия элементарной математики, М., «Наука», 1966, т. V, с. 399). Если между их точками можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее расстояния (это значит, что расстояние |ab| равно |a’b’| для любых точек a, b ∈ A, если a’, b’ — соответствующее точки из A’). Так вот, пространство называется локально евклидовым, если в нем определено расстояние между любыми двумя его точками и если каждая его точка имеет окрестность, изменчивую неокторому шару объкновенного евклидова пространства.

16

В данной статье мы не имеем возможность записать локальное всклидовыми пространствами трех измерений, а ограничимся рассмотрением локального всклидовых пространств только двух измерений. Мы будем их назвать локальное всклидовыми плоскости. Нашу задачу можно сформировать так: как устроены локальное всклидовы плоскости в целом?

Цилиндр и его развертка

Разумеется, простейший пример локального всклидовой плоскости — это сама всклидова плоскость. На ней мы останавливаемся не будем — тут все ясно, — а начнем со следующого по простоте примера — бесконечной цилиндрической поверхности (или, кратко, — цилиндра). На рисунке 3 она представлена как множество всех точек на горизонтальных прямых (образующих), проходящих через всевозможные точки единной окружности $C_0$ (направляющей), расположенной в вертикальной плоскости $a$.

Но пока у нас нет «геометрии» на цилиндре. Нам нужно определить расстояние между точками, выяснить, что полимать под «прямой» на цилиндре, и т. д. Чтобы это сделать, разрежем наш цилиндр $U$ по одной из образующих и развернем его на координатную плоскость $Oxy$ в виде бесконечной плоскости $P$, точки $(x; y)$ которой удовлетворяют неравенству $0 \leq y \leq 2\pi$ (рис. 4). Мы будем считать, что плоская полоса $P$ со «склеенныхми краями» (то есть полоса, у которой все пары точек $(b; 0)$,

Рис. 3. Бесконечный цилиндр.

(b; 2π) считаются совпадащими) и задает «геометрию» на цилиндре. Как говорят математики, мы отождествляем пары точек вида $(b; 0)$ и $(b; 2\pi)$ для всех $b$ и рассматриваем геометрию на полосе $P$, учитывая это отношение.

Проверим локальную всклидовость такой геометрии на цилиндре. Для этого возьмем произвольную точку $A(x; y) \in \Pi$. Если точка $A = A_1$ не лежит на краях полосы (см. рис. 4), то все очевидно: возьмем круг радиуса $r$, меньше, чем расстояние от $A$ до ближайшего края; этот круг циликом лежит в полосе $P$ и, разумеется, представляется собой общий всклидовокруг. Если же точка $A = A_2$ лежит на краю полосы (см. рис. 4), то ее координаты имеют вид $(b; 0) \equiv (b; 2\pi)$ и круговой окрестностью служит, например, объедининие двух (склеенных!) получгов единчного радиуса с центрами в точках $(b; 0)$ и $(b; 2\pi)$, а так как эти получgruги склеиваются по диаметром $MN \equiv M'N'$, после склейки получается общий единный всклидовокруг.

На цилиндре $U$, как на поверхности в пространстве, естественно задается расстояние между точками как длину кратайшей линии, идушей по $U$ и соединяющей эти точки. На основании этого на цилиндре тоже можно развитить некоторую геометрию. Вдумчий читатель спроектирует: будет ли эта геометрия совпадать с геометрией на полосе $P$ с отношением краями? Оказывается, что будет. Однако обоснование этого факта (относится к так называемой дифференциальной геометрии) выходит за рамки нашей статьи.

Геометрия на цилиндре

Мы установили, что локальное (в малом) геометрия цилиндра —

Рис. 4. Цилиндр (полоса со склеенными сторонами) — локальное-евклидово.

17

евклидова. А как выглядит геометрия на цилиндре (то есть, на полосе П с отношением краями) в целом? Как устроено «расстояние» на цилиндре? Какие на нем «прямы»? Какие аксимы на нем выполняются?

Прежде чем ответить на эти вопросы, разберем один несколько необъичный пример. Пусть в некоторой местности проходят две параллельные дороги, вдоль которых довольно часто расположены дорогные станции; из каждой станции идет одна линия телефонной связи — в симметрично станцию на другой дороге. Во внутренних пунктах местности телефонной связи нет, и сообщения передаются, скажем, бегунами. Примем за расстояние между двумя пунктами времени, требующей для передачи какого-либо сообщения. Тогда ясно, что для скорейшей передачи сообщения из пункта А в пункт В иногда гонцу лучше бежать не прямо из А в сторону B, а в противоположную сторону, к близкой телефонной станции.

Такого же рода необъичное расстояние имеет место на нашей полосе со склеенными краями. Действительно, рассмотрим точки А, B, C в полосе П. Для точек А и B (цы координаты $y_A$ и $y_B$ отличия меньше, чем на половину ширины полосы — π) расстояние обусловное, то есть — длина отрезка $AB$. А вот для А и C (для которых $|y_A - y_C| > \pi$) расстояние равно $|AK'| + |KC|$, где $A'$ получается из А с двумя отрезками $CA'$ с краем полосы и $KK' = -AA'$ (рис. 5). На языке «telefonного» примера выгоднее гонца послать из C в точку K, передать сообщение мгновенно по телефону в K’ и доставить его в A со вторым гонцом по отрезку $K'A$.

Задача 1. Докажите, что расстояние от точки $A(x_A; y_A)$ до точки $B(x_B; y_B)$ на полосе П со склеенными краями задается формулой

$$|AB| = \begin{cases} \sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2} \\ \frac{\varepsilon \left|y_A - y_B\right|}{\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (2\pi - |y_A - y_B|)^2}}, \\ \varepsilon \left|y_A - y_B\right| > \pi. \end{cases}$$

«Прямы», как и расстояния, в нашей геометрии необъичны — они бывают трех типов (рис. 6, а). Во-первых, прямой будет любая обчная прямая, параллельная краям полосы. Во-вторых, «прямой» будет любой отрезок (so склеенными концами), соединяющий края и перpendикularный им. И в-третьих, «прямой» будет совокупность периодических повторяющихся параллельных косых отрезков — таких, как на рисунке 6, а. На цилиндре в пространстве эти три прямых представляют собой, соответственно, образующие цилиндра, окружности, параллельные направляющей, и винтовые линии (рис. 6, б).

Что касается аксимом, заметим прежде всего, что аксима параллельных выполняется «в целом» (на всей поверхности)!

Задача 2. Найтиите (единистенные) «прямы», параллельные «прямы» KL, MN и ST, проходящие через точку A на рисунках 6, а и 6, б.

Не теперь уже нарушают другие аксимы. Далее такая: Через две точки проходят только одна прямая. Например, красная

Рис. 5. Кратчайшее расстояние между точками A и C равно $|AK'| + |KC|$.

Рис. 6. Три гипа «прямы» на цилиндре: винтовая линия ST, прямая KL, окружность MN.

18

(винтовая) «прямая» пересекается с черной (образушей)… бесконечное число раз (см. рис. 6)!

Задача 3. Описите те пары точек на цилиндре, через которые проходит только одна прямая.

Этим курьезы цилиндрической геометрии не исчерпываются. Читатель заметил, наверное, что «прямы» на цилиндре, параллельные направления, ограничены: максимальное расстояние между точками на такой прямой… равно π.

Задача 4. Приведите примеры, показывающие, что отрезок «прямой» не всегда является кратчайшим путем между концевыми точками, наклонная иногда короче перпендикулара, теорема Пифагора верна не всегда. Испледуйте, как выглядит «окружность» (то есть множество точек, равно удаленных от данной точки) при увеличении ее радиуса.

Таким образом, локальная выполнимость всех аксиомев включовой геометрии, и даже выполнимость «в целом» аксиомы о параллельных, не гарантирует, что мир, в котором разворачивается такая геометрия, обязательно будет неограниченной плоскостью. Возможно и строение такого мира в виде бесконечного цилиндра, а также, как мы сейчас увидим, в виде других геометрических образований.

Плоскийтор

Пусть на плоскости $Oxy$ дан прямойгольник $T$ с вершинами $A, B, C, D$ (рис. 7). Отождестим сторону $AB$ со стороной $CD$ так, что $A$ отождестляется с $D$, а $B$ — с $C$; далее отождестим сторону $BC$ — со стороной $AD$ так, что $B$ совпадает с $A$, а $C$ — с $D$ (при таком отождестлении окажется, что все вершины прямогогольника $T$ сливаются в одну точку). Определим «расстояние» между двумя точками прямогогольника как длину кратчайшего пути между этим точками, учитывая при этом указано выше согласно об отождествлении.

Например, вычислим «расстояние» между точками $M\left(-\frac{3}{4}a; \frac{1}{4}b\right)$ и $N\left(\frac{3}{4}a; b\right)$ (см. рис. 7). Прежде всего замещаем, что отрезок $MN'$, где $N'=\left(\frac{3}{4}a; -b\right)$, короче отрезка $MN$; следовательно, кратчайший путь от $M$ к $N$ надо искать среди путьей, соединяющих $M$ с $N'$ (так как $N'$ и $N$ — это одна и та же точка по условию отождествления). Правая отождестость стороны $AD$ — это одновременно правая отождестость стороны $BC$; поэтому, «приставив» положку $a \leq x < 2a$, $-b \leq y \leq b$ к стороне $BC$ (см. рис. 7), видим, что всякий другой путь из $M$ в $N'$, в том числе отрезок $MN'$, длинее, чем отрезок $M'N'$. Значит, самый короткий путь из $M$ в $N$ — это объединение отрезков $MM_1$ и $M'_1N'$ и «расстояние» между $M$ и $N$ равно $\sqrt{(a/2)^2+(3b/4)^2}$.

Задача 5. а) Укажите примеры пар точек прямогогольника $T$, «расстояние» между равно $\sqrt{a^2+b^2}$; б) показите, что «расстояние» между любыми двумя точками не больше, чем $\sqrt{a^2+b^2}$; в) показите, что для любой данной точки найдется единственная точка, отстоящая от данной на расстояние $\sqrt{a^2+b^2}$.

Рис. 7. Плоскийтор — склеенный прямоугольник. Кратчайшее расстояние между точками $M$ и $N$ равно $|MM_1|+|M'_1N'|$.

Рис. 8. Две «прямы» (красная и синия) на торе.

19

Прямогольник $T$ с отождествленными параметрами противоположных сторон и указаны выше правилом вычисления «расстояний» называется плоским тором.

«Прямы» на плоском торе определяются как и в полосе $Π$ — модели цилиндра. На рисунке 8 изображены две «прямы»: красная замкнутая «прямая» $AC$ состоит из одного ввклидова отрезка, синяя «прямая» состоит из многохотрезков — $M_{-1} = M_0) M_2 = M_1) M_4 = M_3)$ … и она, возможно, замкнется при дальнейшем ее продолжении.

Задача 6. Докажите, что «прямая» на плоском торе будет замкнутой в том и только в том случае, когда число $(a \ tg a)/b$ является рациональным, где $tg a$ — угловой коэффициент (относительно оси $Ox$) отрезков в $T$, составляющих эту прямую.

Мы утверждаем, что построенная таким образом геометрия на плоском торе — локальное ввклидова. Действительно, каждая внутренняя точка прямогольника $T$ имеет малую окрестность, где все введенные для плоского torа объекты и правила изменения — те же самые, что и в ввклидовой геометрии. Для точки $M_1$ на границе доказательство усматривается из рисунка 7. Для вершины этого видно из того же рисунка: все окрестности отождествления, и геометрия вокруг вершины тоже оказывась геометрией ввклидова кругга!

Итак, плоский тор представляет собой еще один пример локального ввклидова мира. На нем, как и на цилиндре, пятый постулат справедлив «в целом», однако строение torа «в целом» отличается от общий плоскости, и от цилиндра.

Задача 7. Докажите, что на плоском torе нет скольного больших расстояний, хотя есть скольного длины прямые. Исследуйте форму «окружности» на плоском torе при увеличении ее радиуса.

Есть еще одно важное отличие плоского torа от цилиндра: плоский тор нельзя с сохранением длины кривых представить в трехмерном пространстве в виде поверхности, на котором пары отождествляемых сторон — $AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$ — были бы действительно склеены вместе, как это происходит с краями полосы $Π$ при свертывании ее в цилиндр. Но это отличие уже называют внешним, так как оно проявляется лишь при попытке связать геометрию полосы $Π$ и прямогольника $T$ с геометрией некоторых поверхностей во внешнем по отношению к ним пространстве. Если прямогольник $T$ считать сделанным из резины и допускать растяжения, то из него можно склеить тор; более подробно об этом см. статью А. Землякова («Квант», 1979, № 9, с. 2):

Бесконечный лист Мёбиуса

Снова рассмотрим бесконечную полосу $Π : a \leqslant y \leqslant b, -\infty < x < +\infty$, но на этот раз проведем отождествленное краев полосы $Π$ по следующему закону: точка $(x; a)$ отождествляется с точки $(-x; b)$ (то есть прямая $y = b$ сначала отражается зеркальное относительное оси $Oy$ и лишь затем отождествляется с прямой $y = a$). Определения «расстояния» и «прямы» аналогичны случаем цилиндра и плоского torа. Полученная при этом локальное ввклидова плоскость называется «бесконечным листом Мёбиуса».

Рис. 10. Прямы на бесконечном листе Мёбиуса: черная (вертикальная), синяя (MN), красная (A’B).

2*

20

буса (объчный лист Мёбиуса является частью бесконечного, получаемый склейкой вертикальной полоски (рис. 9). На рисунке 10 нарисованы три «прямы»: черного цвета — замкнутая, синero цвета — параллельная краю полосы Π, красного цвета — наклонная, состоящая из бесконечного числа евклидовых отрезков. На примере точки B (см. рис. 9) показано, как закон отождествления порождает евклидову геометрию вблизи точки края полосы Π.

Задача 8. Исследуйте геометрию на бесконечном листе Мёбиуса. Показите, что каждая наклонная прямая пересекает себя бесконечное число раз. Верен ли пятый поступат «в целом»? Как выглядят окружности?

Плосая бутылка Клейна

Обратимся снова к прямогольнику на рисунке 7. Введем следующие правила отождествления: сторону AD отождествляем с BC с сохранением порядка следования точек, то есть точка (—a, y) ∈ AD отождествляется с точкой (a; y) ∈ BC, а сторону AB отождествим со сторону CD с изменением порядка следования точек, то есть точка (x: —b) ∈ AB отождествляется с точкой (—x: b) ∈ CD; в частиности, все вершины будут считаться за одну точку. «Прямы» и правила измерения «расстояний» введем как и выше. Можно проверить, что снова в окрестности каждой точки геометрия получается евклидова (проведите эту проверку для окрестности вершины прямого угольника). Эта модель локального евклидовой геометрии называется плоским односторонним горомили плоской бутылкой Клейна.

Рис. 11. Model бутылки Клейна (с саморесечением).

Задачка 9. Исследуйте геометрию на плоской бутылке Клейна.

Так же, как плоский тор, плоскую бутылку Клейна нельзя помещить в трехмерное пространство, не искажая расстояния на ней. Более того, ее можно помещить в пространство только с самопересечениями, даже если разрешать расстояния и скатия (без разрывов). Model бутылки Клейна с самопересечением показана на рисунке 11.

Заключение

Итак, принципи одинаковой требовательности ко всем аксиомам некомненно себя оправдал: мы обнаружили, что евклидова геометрия плоскости жива не единой аксиомой о параллельных, но что и другие аксиомы существенным образом определяют ее облик. Более того, оказалось, что даже евклидовость в окрестности каждой точки и выполнимость пятого пространства всуду не приводят еще к евклидовости в целом (пример: цилиндр и плоский тор). Значит, если даже во всех отдельно изследованных частях пространства геометрия оказывается евклидовой, то в целом строение такого мира вовсе не обязательны столь простым, как двумерная плоскость или трехмерное пространство.

В курсах высшей геометрии доказывается, что кроме перечисленных пятей примеров — плоскость, цилиндр, плоский тор, бесконечный лист Мёбиуса и плоская бутылка Клейна — других полных локальных «миров» нет. (Полнота, грубо говоря, ознакомает, что можно неограниченно продолжить каждой точкой «прямую», хотя бы и по самому себе.)

Что касается локального евклидовых пространств трех измерений, то их существенно отличаются от их существуют 18 типов. Из них мы упомяем лишь один пример: это слой пространства между двумя параллельными плоскостями, которые считаются отождествлеными по точкам, симметричным относительно средней плоскости в слое.