Как решается основная задача механики?

24

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Как решается основная задача механики?» предназначена восемиклассиком, «Дизлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы» — девятиклассик и «Фотоэлектрический эффект и кванты» — десятиклассик. Материалы подготовили И. К. Белкин.

Как решается основная задача механики?

Основная задача механики, как неоднократно указывается в учебнике «Физика 8», — определять положение (координаты) движущего тела в любой момент времени. Это механика обязает должа «уметь», иначе она не может быть наукой о движении. Законы движения, открыты Ньютоном, и преждевшего второй закон Ньютона (основной закон диамки) $\vec{F} = m\vec{a}$, как раз и позволяет решать эту задачу.

Второй закон Ньютона связывает силу, приложенную к телу, и вызывает силу ускорение. Но ускорение — это быстрое изменение скорости, а скорость, в свою очередь, — быстрое изменение перемещения тела. Поэтому, решив уравнение, выраженное основной закон диамки, мы узнали о быстрое изменении координат тела, а значит, и о самом координатах в любой момент времени. Для этого кроме силы нужно знать еще начальные условия — начальные координаты и начальную скорость тела.

На первый взгляд кажется, что уравнение второго закон Ньютона очень простое и что решается оно тоже просто. Однако надо помнить, что уравнение $\vec{F} = m\vec{a}$ — векторное. Это значит, что за ним «скрываются» три скалярных уравнений для проекции сил и ускорения на оси координат:

$$F_x = ma_x,$$
$$F_y = ma_y,$$
$$F_z = ma_z.$$

Эти уравнения в самом деле решаются легко, но только в том случае, когда проекции силы $F_x, F_y$ и $F_z$ построены, то есть когда их значения одинаковы при любых значениях координат точки, а значит, и в любой момент времени. Тогда постоянны и значения проекций ускорения $a_x, a_y$ и $a_z$, движение тела, следовательно, равную скорению, и координаты $x, y$ и $z$ определяются равенствами

$$x = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2},$$
$$y = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2},$$
$$z = z_0 + v_{0z} t + \frac{a_z t^2}{2}.$$

Здесь $x_0, y_0$ и $z_0$ — начальные координаты, а $v_{0x}, v_{0y}$ и $v_{0z}$ — соответствующие проекции начальной скорости на оси координат.

В школьном курсе физики рассматриваются только такие задачи, когда силы построены. Значительное решение основную задачу механики, если сила и ее проекция зависит от координат. В действительности обычно имеются так и выше. Как решается задача в таком случае?

Конечно, и теперь нужно начать начальные условия и силу. Но теперь «знать силу» — значит знать, как она изменяется при изменении координат тела.

Пусть, например, на тело действует сила $F$, которая определяется (и известным) образом зависит от координаты $x$. Для определения координаты $x$ тела в любой момент времени прежние формулы непргиодны, потому что если сила $F_x$ изменяется от точки к точке, будет изменяться и ускорение $a_x$ тела. Будем решать задачу постепенно, так сказать, шаг за шагом.

Сначала рассмотрим движение нашего тела в течение малого промежутка времени $\Delta t$, начиная с момента, который мы условиями считать начальным. В этот момент $(t=0)$ координата $x$ тела. Равна $x_0$