Перспектива

38

Перспектива

Общенствие, что уходящие вдаль параллельные линии кажутся нам сходящимся и что это явление называется перспективой. Перспективой издревле пользовались художники для создания на плоском холсте иллюзии пространственного изображения. Иллюстрацией может служить картина Гонзаго, фотографию которого вы видите перед собой.

Нанболее доступное плоское изображение пространственных объектов — это фотографика. Можно считать, что фотографирование — это отображение, ставшее в соответствие каждой точке пространства (точнее, его части) неоктору точку листа бумаги следующим образом. Фиксируется точка — «фокус» Ф — и плоскость — «экран» Э (плоскость, параллельная задней стенке аппарата). Чтобы избежать проискодящего в реальном фотоаппарате переоравнения изображения, мы помещаем эту плоскость между фокусом и снимаемым объектом. После этого точке А фотографируем часть пространства в соответствие точке А’ пересечения экрана с прямой ФА (рис. 1).

Посмотрим, как изображаются на экране прямые, плоскости и углы.

1°. Отрезок прямой, не проходящий через Ф, изображается как прямолинейный отрезок (отрезок линей пересечения плоскости Э с плоскостью, проходимей через заданный отрезок и точку Ф; рис. 2).

2°. Уходящий в бесконечность кусок прямой l, не параллельной Э и не проходящий через Ф, изображается как конечный интервал, кончающийся в точке пересечения плоскости Э с прямой, параллельной l и проходимей через Ф. Эта точка называется изображением бесконечного удаленной точки прямой l (см. рис. 2).

3°. Изображения бесконечного удаленных точек параллельных прямых (не параллельных Э) совпадают («параллели сходятся на бесконечности!»).

40

с $M$ и $C_1$ с $K$. Продолжение линей $AA_1$ и точка $L$ попадается нам в части 6), красные линей — в части в).

6. На рисунке 6, 6 черные линей изображают требуемый план, сине — дополнительные построения; красные линей нужны для части в). Построение использует длины сторона, а также следующие пропорции (мы пользовемся обозначениями рисунков 6, а и 6; прямые $\Phi K', \Phi M'$ на рисунке 6, 6 параллельны сторонам дома): $l_2:l_1=AA_1:BB_1; l_3:l_1=AA_1:CC_1; K'L':L'M'=KL:LM$. (Построение по этим данным проводится без труда и многими разными способами; например, можно начать с того, что направить в заданном масштабе затрихованный прямогольник, а затем найти на нем точку $E$.)

в) Проделаем на рисунках 6, а и б следующие построения (они показаны на них красным цветом): проведем перпендикуляр $\Phi P'$ к отрезку $K'M'$, отметим на отрезке $KM$ точку $P$, такую, что $KP:PM=K'P':P'M'$, и построим точку $Q$, такую, что $PQ \perp KM$ и $KQ \perp QM$. Тогда

$$AA_1:AL:PQ=h:H:l_1,$$

(1)

где $h$ — высота дома и $H$ — высота точки съемки. Поскольку $l_1$ мы можем найти из рисунка 6, 6, этого достаточно для нахождения $h$ и $H$ (по нашим измерениями, $l_1 \approx 50,7$ м, $h \approx 24,5$ м, $H \approx 40,9$ м). Докажем пропорцию (1). В точке местности, соответствующей точке $P'$ нашего плана, соорудим вертикальную мачту и отметим на ней две точки: первую — на уровне точки съемки, вторую — ниже первой, так, чтобы отрезок между первой и второй точками был виден из фокуса под углом $45^\circ$ (вторая точка оказылась у нас ниже уровня земли). Длина этого отрезка равна расстоянию от фокуса до мачты, то есть $l_1$, а на фотографию его изображением служит отрезок $PQ$ (в силу утверждения $8^\circ$ угол $KQM$ должен быть прямым). Теперь пропорция (1) следует из утверждения $6^\circ$.

Задание к следующему вынуждению геометрической страницы

На чертеже изображены три кривые: красным — эллипс, синим — «вывернутая восемерка» и черным — полукубическая парабола. Сведения каждой из этих кривых на отдельный лист (можно с увеличением, но обязаательно точным!), возьмите на них достаточно части послеовательности точки на примерно одинаковых расстояний и проведите в этих точках нормали к кривым (нормаль — перпендикуляр к касательной в точке касания); не забудьте, что перпендикуляр располагается по обе стороны от прямой, к которой он восстанавливает). Каждый из трех ваших чертежей будетгуто разлинован прямыми, ищущими в различных направлениях. Вы увидите, что эти прямые не равномерно заполют чертеж (на одном из них будет даже совершенню пустой кусок). Более того, на каждом из чертежей можно будет различать кривую, к которой прямыеGruшются осененно сильно. Попытайте проследить ход этих кривых.