Закон Бернулли

33

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон Бернулли» предназначена восмилкасксикам, «Токи смешения» — девятикласксикам и «Антицелляция и роздение пар» — девятикласксикам.
Материалы подготовили И. К. Белкин.

Закон Бернулли

В учебнике «Физика 8» расссказывается о зависимости давления $p$ жидкости от скорости $v$ ее движения. Выведем формулу, связывающего эти величины количественно.

Будем считать, что труба, по которой течение жидкости, имеет широкий и узкий участки. Труба расположена горизонтально, так что потенциальная энергия жидкости в поле тяжесте при течение не меняется. Выделим объем жидкости, ограниченный сечениями $S_1$ и $S_2$, где скорость жидкости равна $v_1$ и $v_2$ соответственно (см. рисунок). Этот объем при течение жидкости перемешается вправа. Через промежуток времени $\Delta t$ он займет положение между сечениями $S'_1$ и $S'_2$, показанным на рисунке штиховыми линиями.

Так как жидкость несжимаема, уменьшение объема жидкости в широком участке трубы равно его приращению в узком участке:

$$S_1v_1\Delta t = S_2v_2\Delta t,$$ или $S_1v_1 = S_2v_2$.

Но что значит — жидкость несжимаема? Когда так говорят, имеют в виду только то обстоятельство, что изменения объема жидкости относительно мали. Небольшие деформации жидкости имеют всегда, и именно они приводят к возникновению сил давления — упругих сил скатия жидкости.

На выделенный объем жидкости действуют силы давления с двух сторон — со стороны жидкости, следующего за ним, и со стороны жидкости, находящейся вперед. При перемещении этого объема силы давления совершают работу. Согласно теореме о кинетической энергии, полная работа сил давления равна изменению кинетической энергии жидкости:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Подсчитаем работу $A$ сил давления. В сечении $S_1$ давление жидкости равно $p_1$, и сила давления $F_1 = p_1S_1$. За время $\Delta t$ это сечение перемещается вправо на расстояние $v_1\Delta t$, и, следовательно, сила $F_1$, направленная вдоль перемещения, совершает работу

$$A_1 = F_1v_1\Delta t = p_1S_1v_1\Delta t.$$

В сечении $S_2$ действует сила давления $\vec{F}_2(F_2 = p_2S_2)$, направленная противоположно перемещению. Работа этой силы отрицательна:

$$A_2 = -F_2v_2\Delta t = -p_2S_2v_2\Delta t.$$

Полная работа сил давления

$$A = A_1 + A_2 = (p_1v_1S_1 - p_2v_2S_2)\Delta t.$$

Вот эта работа и равна уравнению кинетической энергии жидкости.

Теперь найдем разность кинетических энергий выделенного объема жидкости до и после перемещения. Очевидно, что энергия жидкости между сечениями $S'_1$ и $S_2$ не изменяется. Поэтому общее изменение энергии будет таким, как если бы часть жидкости, заключенная между сечениями $S_1$ и $S'_1$, заняла место жидкости, заключенной между сечениями $S_2$ и $S'_2$.

Kинетическая энергия массы жидкости $m_1$, протекающей за время $\Delta t$ через сечение $S_1$ (то есть жидкость в объеме между сечениями $S_1$ и $S'_1$), равна

$$E_{k1} = \frac{m_1v_1^2}{2} = \varrho v_1\Delta t \cdot S_1 \frac{v_1^2}{2},$$

где $\varrho$ — плотность жидкости. Для сечения $S_2$ кинетическая энергия соответствующего равна

$$E_{k2} = \varrho v_2\Delta t \cdot S_2 \frac{v_2^2}{2}.$$

Следовательно, за время $\Delta t$ кинетическая энергия выделенного объема жидкости изменяется на величины

$$E_{k2} - E_{k1} = (\varrho v_2S_2 \frac{v_2^2}{2} - \varrho v_1S_1 \frac{v_1^2}{2})\Delta t.$$