Токи смещения

34

Приравняем эту разность работе $A$:

$$\frac{q v_2 S_2}{2} - \frac{q v_1 S_1}{2} = p_1 v_1 S_1 - p_2 v_2 S_2.$$

Так как произведение площади сечения на скорость в любом сечении труды одно и то же, написанное равенство можно сократить на величины $S_1 v_1 = S_2 v_2$. В результате получаем

$$p_1 - p_2 = \frac{q v_2^2}{2} - \frac{q v_1^2}{2}.$$

Пересеcem члены, относится к сечению $S_1$, в одну сторону, а к сечению $S_2$ — в другую:

$$p_1 + \frac{q v_1^2}{2} = p_2 + \frac{q v_2^2}{2}.$$

Это равенство и выражает связь между давлением и скоростью жидкости. Оно называется законом Бернулли. Согласно этому закону, там, где скорость течение жидкости больше, давление меньше и наоборот. Заметим, что величана $\frac{q v^2}{2}$ — это кинетическая энергия единицы объема жидкости. Таким образом, в любом месте труды сумма давления и кинетической энергии единицы объема жидкости одна и та же.

Токи смещения

В разделе «Школа в «Кванте» в заметеке «Электрические колбания. Колбательный контур» (см. «Квант», 1983, №11) уже говорилось о том, что приной возникновения магнитного поля могут быть не только движущие электрические заряды (tokи), но и переменное электрическое поле. Этот второй источник магнитного поля Максвелл называют смещения. Существование токов смещения относится к числу основных законов электродинамики. Поэтому рассмотрим этот вопрос подробнее. Покажем на конкретном примере, когда возникают токи смещения и какова их величины.

Diagram of magnetic field around a cylinder

Представьте себе, что пространство между двумя концентрическими проводящими сферами, заряженными одинаковыми по модели, но противоположными по значку зарядами (сферической конденсатор), заполнен проводящей средой (см. рисунок). Тогда в этой среде вдоль радиусов текут токи, и конденсатор разряжается. Как «устроено» возниккашее при разряде конденсатора магнитное поле?

В этой задаче нет никакого выделенного направления и нарушовать систему магнитных линей, удовлетворяющего условиям симметрии, не удаться. Что же это означает? Только то, что магнитное поле при разряде сферического конденсатора вообще не возникнет. Как же так — токи текут, а магнитного поля нет? Значит, есть еще один «источник», созданный магнитное поле, компенсирующее поле, создаваемое токами.

Подсчитаем силу тока, приходящую на единицу площади поперечного сечения, то есть плотность тока, на расстоянии $r$ от центра сфера. Полный ток $i$ равен скорости изменения заряда конденсатора:

$$i = \frac{\Delta Q}{\Delta t}.$$

Этот ток равномерно распределяется по площади сферы радиуса $r$; следовательно, плотность тока

$$j = \frac{i}{S} = \frac{1}{4\pi r^2} \frac{\Delta Q}{\Delta t}.$$

Как при разряде конденсатора изменяется электрическое поле? Между обкладками сферического конденсатора поле также же, как поле точного заряда $Q$, помещенного в центр сфера, поэтому на расстоянии $r$ от центра поперечной поле определяется формулой

$$E = k \frac{Q}{r^2} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}.$$

Тогда скорость изменения направности равна

$$\frac{\Delta E}{\Delta t} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 r^2} \frac{\Delta Q}{\Delta t}.$$

Сравним формулы (1) и (2). Как видно, плотность токи и скорость изменения электрического поля пропорциональны друг другу. Если предположить, что переменное электрическое поле, так же, как и обычный ток, создает магнитное поле, то можно объяснить отсутствие магнитного поля в конденсаторе взаимной компенсацией магнитных полей. Введем понятие плотности