Новосибирский государственный университет имени Ленинского комсомола

54

Новосибирский государственный университет имени Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(факультеты механико-математической, физической, экономической)

1. Решите уравнение
   $$1 + 2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin x.$$
2. При каких значениях параметра $a$ среди решений неравенства
   $$\log_2 (x - 100) - \log_2 \frac{|x - 101|}{(105 - x)} + \log_2 \frac{|x - 103|}{(105 - x)} > a$$
   содержится единственное целое число?
3. Расстояние между центрами двух окружностей равно 5r. Одна из окружностей имеет радиус $r$, вторая — 7r. Хорда большей окружности касается малой окружности и делится точкой касания в отношении 1:6. Найдите длину этой хорды.
4. Дан куб $ABCD'B'C'D'$ с основанием $ABCD$ и боковыми ребрами $AA'$, $BB'$, $CC'$ и $DD'$. Поскольку $\alpha$ перpendicularна прямой $A'C'$, а плоскость $\beta$ параллельна прямой $CD'$. Какова наименьшая возможность величины угла между плоскостями $a$ и $b$?
5. Девятизначное целое число $A$, записанное в десятичной системе счисления, получается из целого числа $B$ перестановкой последней цифры на первое место. При этом известно, что число $B$ взаимно просто с числом 18 и $B > 22222222$. Найдите наиболее и наименьшее средние чисел $A$, удовлетворяющих этим условиям.
   Два натуральных числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от единицы.
   Вариант 2
   (факультеты геологическо-геофизической, естественных наук)
6. Решите уравнение
   $$\sin 2x \cos x = \tg 3x \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos 2x \sin x.$$
7. В треугольнике $ABC$ радиус вписяной окружности равен $\frac{10}{3}$, косинус угла $C$ равен $\frac{5}{13}$, а площадь треугольника равна 60. Найдите стороны треугольника.
8. По беговой дороге длиной 400 м от одной старовой линии одновременно стартовали два бегуна (разрядник и начинающий). Скорость разрядика на 200 м в минуту больше скорости начинающего 20 секунд. За это время начинающий обогнал разрядика. Какой могла бы быть скорость разрядика, чтобы не оставшуюся на остановку, он смог закончить дистанцию первым, если известно, что скорости бегунов во время движения неизменны и постоянны?
9. При каких значениях параметра $a$ для любого действияного числа $x$ выполняется неравенство
   $$\log_2 (a^2 - 2) [ (a^2 - 1)x^2 + 2x + 2] > 1?$$
10. Дан прямогольный параллелипед $ABCDA'B'C'D'$, в основании которого лежит квадрат $ABCD$ со стороны длины 3, боковые ребра $AA'$, $BB'$, $CC'$ и $DD'$ имеют длину 5. Равностоящий треугольник расположен в пространстве так, что одна его вершина совпадает с вершиной $C$ параллелипеда, а две другие разложены на прямых $BB'$ и $C'D'$ соответственно. Найдите длину медины этого треугольника.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Каждай варинант состоянии из пяты задач трех типов.
Первые три задачи — расчетные, различной трудности: от почты стандартных до сравнительно сложных, требующих смекалки, глубоких знаний, уменья разобраться в непrivibочной или условенной физической ситуации.
Четвертая задача — это задача-оценка. Для ее решения надо попытаться рассматривать физическое явление, формулировать простую (так как нужна только оценка) физической модель этого явления, выбрать результаты численные значения физических величины и, наконец, получить численный результат, более или менее соответствующий реальности. В тексте задачи поддерживают, что абитриент может сам выбрать необходимые для решения задачи физической величины и их численные значения.
Пятая задача — это задача-дemonстрация, в которой надо объяснить физическое явление, демонстрируемое в аудитории. Здесь важно попытаться явления и среды различных факторов выделить главный.
На решение задачи давалось пять часов, начиная с завершения демонстрации.
Ниже после текста каждой задачи в скобках указаан процент решивших ее.

Вариант 1

1. В конечской лунке с вертикальной осью симметрии и углом расстояния 2α прягает шарик, ударяясь о противоположные точки $A$ и $B$, расположенные на одной горизонтали, через одно и то же время $T$ (рис. 1). Ускорение свободного падения $g$. Найдите максимальный и минимальный скорости движения шарика. (57 %)
2. Между конусом, сделанным из стекла с показателем преломления $n$, и экраном, перpendикулярным оси конуса, помещили собственную линейную с фокусным расстоянием $F$, расположив ее на расстоянии $F$ от экрана (рис. 2). Главаная оптическая ось линейна совпадает с осью конуса. Вдоль оси конуса падает неширокий параллельный пучок света. Найдите форму изобравнения пучка на экране и определите максимальный размер изо-