Московское высшее техническое училище имени Н. Э. Баумана

56

Московское высшее техническое училище имени Н. Э. Баумана

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Вычислите
   $$1 + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \dots + \frac{\pi}{6} + \dots$$
2. Решите уравнение
   $$2 \cos 2x \cdot \cos 5x = \cos 7x + \frac{1}{2}$$
3. Решите уравнение
   $$25^{-x} + 5^{1-x} = 50$$
4. Найдите область определения функций
   $$f(x) = \sqrt{1 + \log_3 \frac{1}{x}}$$
5. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Найдите радиус сферы, проходящий через вершины $A$ и $B_1$ и точки $K$ и $M$ на ребре $CC_1$ также, что $|CK| = |KM| = |MC_1|$.
   Вариант 2
6. Число 108 представить в виде произведения двух положительных чисел так, чтобы сумма куба одного из них с квадратом другого была наименьшей.
7. Решите уравнение
   $$\sin 5x - \cos \left(x + \frac{5\pi}{2}\right) = \sin \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$$
8. Решите уравнение
   $$\frac{4}{2^x - 3} = 2^x$$
9. Решите неравенство
   $$\frac{\log_3(4-x)}{x-2} < 0$$
10. На основании прямого кругового конуса лежат три шара радиуса $r$. На них лежит четвертый шар того же радиуса. Каждый из этих четырех шаров касается боковой поверхности конуса и трех других шаров. Найти площад боковой поверхности конуса.

Физика
Задание устного экзамена

1. Из градиентта (шланг с металлическим накоплением), расположенного около поверхности Земли, вырывается струя воды со скоростью $v_0 = 10$ м/c. градиент медленно выражается; вокруг вертикальной оси, одновременно с этим меняется угол его наклона к горизонту. Определите максимальный площад, который можно получить этим градиентом. Сопротивлением воздуха претенбрец. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/c².
2. Преграда массой $M = 10$ кг, имеющая цилиндрический раздиус $R = 0,2$ м, расположена на горизонтальной плоскости (рис. 1). Тело массой $m = 1$ кг с начальной горизонтальной скоростью $v_0 = 3$ м/c поднимается по цилиндрической поверхности паза. Определите скорость тела на высоте $R$. Тренем претенбрец. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/c².
3. На идеальном гладкой горизонтальной плоскости расположен брусок массой $M = 1$ кг, скрепленный с пружинами, жесткость каждой из которых $k = 30$ Н/m (рис. 2). На бруске лежит шайба массой $m = 0,5$ кг. Система брусок — шайба приводится в колбаательное движение. Определите максимальную амплитуду колбааний, при которой система будет двигаться как единое целое, то есть без прокальивания шайбы по бруску. Козффициент треня между бруском и шайбой $\mu = 0,4$. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/c².
4. Идеальная тепловая машина, работающая при нормальных условиях окружающей воздуха, который для нее является холодильником, поднимает груз массой $m = 400$ кг. Работее тело машины получает от нагреваляя с температурой $t = 200^\circ C$ количество теплоты $Q = 80$ кДж. На какую максимальную высоту поднимает груз эта тепловая машина? Тренем претенбрец. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/c².
5. В однородное горизонтальное электрическое поле с напряженной $E = 10^3$ В/m помещена система, состоящая из двух одинаковых и противоположно заряженных шариков, соединенных тонким изолирующим стержнем длиной $l = 0,1$ м. Система может только врашать в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Масса и модель заряда шарика равны $m = 5$ г и $q = 10^{-6}$ Кл. Система кратковременным воздействием выводится из состояния устойчивого равновесия и приводится во врашательное движение с начальной угловой скоростью $\omega_0 = 2$ с$^{-1}$. Определите максимальный угол повората этой системы. Массой стержня претенбрец. Шарики рассматриваются как материальные точки.
6. Источники тока, имеющие одинаковые внутренние сопротивления $r = 0,5$ Ом, подключены к резисторам, каждый из которых имеет сопротивление $R$ (рис. 3). ЭДС источников тока соответствующего равны $\varepsilon_1 = 12$ В и $\varepsilon_2 = 6$ В. Определите величины сопротивления $R$, при котором ток в цепи ABCD не течет.
7. Плоский замкнутый металлический контур площадью $S_0 = 10$ cm$^2$ деформаруется в однородном магнитном поле, индукция которой $B = 10^{-2}$ Tl. Площадь контрара за время $\tau = 2$ с равномерно уменшается (плосость контрара при этом остается перpendикулярной магнитному по-