«Закон нечетных чисел» для свободного падения тел

Физика 8, 9, 10

Публикуемая ниже заметка «Закон нечетных чисел» для свободного падения тела преобразования восмиллассикам, «Теорема, позволяющая решать основные задачи электростатики» — девятиклассикам, «Что такое радуга?» — девятиклассикам.
Материалы подготовил И. К. Белкин.

«Закон нечетных чисел»
для свободного падения тела

Движение свободно падающих на Землю тел — это, как известно, движение с постояннымускорением $g = 9,81 \text{ m/c}^2$. В случае, если тело в начальной момент поконтся относительно Земли, закон свободного падения математически выражается уравнением

$$h = \frac{gt^2}{2},$$

(1)

где $h$ — перемещение тела (по вертикали), $t$ — время, отсутстваемое от начала падения.

Оказывается, формула (1) приводит к одному любопытному следствию, о котором в учебниках физики обычно не говорится, но о котором знал еще Галилей, открывший закон свободного падения: Оно само по себе может считаться законом, и им можно пользоваться при решении конкретных задач.

О каком же следствии идет речь?

Формула (1), очевидно, позволяет вычислить перемещение тела за любое время, в том числе и за время $t = n\Delta t$ секунд (здеся $n = 1, 2, 3, \dots, \Delta t = 1$ с). Мало того, с помощью этой же формулы можно определить перемещение не только за все $n$ секунд, но и за каждую из $n$ секунд — за период, вторую и т. д.

В самом деле, если за $n$ секунд свободно перемещение $h_n$, а за $(n-1)$ секунд — $h_{n-1}$, то за $n$-ю секунд (здеся $n$) перемещение $h(n)$, естественно, равно разности $h_n$ и $h_{n-1}$ (здеся $n$ — число секунд):

$$h(n) = h_n - h_{n-1} = \frac{g(n\Delta t)^2}{2} - \frac{g((n-1)\Delta t)^2}{2} = \frac{g}{2}((n\Delta t)^2 - ((n-1)\Delta t)^2) = \frac{g(\Delta t)^2}{2}(2n-1).$$

Из формулы (2) видно, что перемещение $h(1)$ за первую секунд ($n=1$) равно

$$h(1) = \frac{g(\Delta t)^2}{2}.$$

Аналогично можно найти, что в последующей секунды тело совершает перемещения:

$$h(2) = 3 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \quad h(3) = \dot{5} \frac{g(\Delta t)^2}{2},$$

$$h(4) = 7 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \quad h(5) = 9 \frac{g(\Delta t)^2}{2},$$

$$h(6) = 11 \frac{g(\Delta t)^2}{2}, \dots, \quad h(n) = (2n-1) \frac{g(\Delta t)^2}{2}.$$

Таким образом, перемещения за последовательные равные промежутки времени длительного в 1 секунду относится друг к другу как 1:3:5:7:9:11:…:(2n-1), то есть как нечетных чисел (заметим, что величина $(2n-1)$ при любом значении $n$ является нечетным числом).

Интересно, что Галилей формулировал закон свободного падения тела именно в этой форме. Словами самого Галилея: «Пространства, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относится между собой последовательные нечетные числа».

Не следует думать, что «закон нечетных чисел» относится исключительно к случая свободного падения тела. Он, разумеется, справедлив для любого равновесного движения без начальной скорости. Ведь эта закономерность есть прямое следствие того, что перемещение тела при таком движении пропорционально квадрату времени. Не нужно также думать, что этот «закон» верен только тогда, когда промежутки времени, для которых вычислются перемещения, равны одной секунду. Он, конечно, верен для любых равных промежутков времени, как это и отмечено Галилеем.

В заключение предлагаем читателям выяснить самостояльно, как выглядит «закон нечетных чисел» в случае равновесного движения.