Заочная физико-техническая школа при МФТИ

52

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (3ФТШ) при Московском Ордена Трудового Красного Знаменни физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся восемилетних и средних школ, расположенных на территории РСФСР, в 8, 9 и 10 классы на 1985/86 учебный год.

Цель этой школи — помощь ученикам в самостоятельных занятиях по углублению своих знаний по физике и математике. Вот почему при приеме в 3ФТШ предопочтение отделяется учащимся, проживающим в сельской местности и рабочих поселках, где такая помощь особенно необходима.

Обучение в школе бесплатное.

Кроме отдельных учащихся, в 3ФТШ принимаются физико-технические кружки, которые могут быть организованы в любой общеобразовательной школе двумя преподавателями — физики и математики. Руководители кружка набирают и зачисляют в них учащихся, успешно выполивших вступительное задание 3ФТШ. Кружок принимается в 3ФТШ, если директор школа сообщит в 3ФТШ фамилии руководителя кружка и помененный список членов кружка (по классам, с указанием итоговых оценок за вступительное задание 3ФТШ). Все материалы по организации кружка следует выслать в адрес 3ФТШ до 25 мая 1985 года.

Учащие 3ФТШ и руководителя физико-технических кружков будут получать задания по физике и математике в соответствии с программой 3ФТШ, а также рекомендуемые 3ФТШ решения этих заданий. Задания содержат теоретический материал и разбор характерных задач и примеров по теме, а также 10—14 задач для самостоятельного решения. Это и простые задания, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Работы учащихся-законников проверяют в 3ФТШ или ее фильпах, а работы членов кружка проверяют его руководителя.

С учащимся Московsproductя оценивание по физике и математике (по программе 3ФТШ) два раза внеделю в вечерних консультанционных пунктах (в ряде Московских школа). Набор в эти группы произвольится или по результатам выполнения вступительного задания 3ФТШ, или по результатамочного собеседования по физике и математике (справки по телефону 408-51-45).

Вступительное задание по физике и математике каждой учащик выполняет самостоятельное. Работу надо аккуратно переписать (на русском языке) в одну школьную терраду. Порядок задания должен быть тот же, что и в задании. Терраду перешлите в большом конверте простой бандеролью (только не сворочивайте в трубку). Вместе с решением обязательно вышлите справку из школа, в которой вы учитель, с указанием класса. Справку наклейте на внутреннюю сторону обложки терради. Без этой справки решение рассматривается не будет. На внешнюю сторону терради обложки наклейте лист бумаги, заполненный по образцу:

1. Область (край или АССР)
2. Фамилия, имя, отчество
3. Класс
4. Номер и адрес школа
5. Профессия родитель и занimaемая должность:
   отец
   матЬ
6. Подробный домашний адрес

Курская обл.
Гончаров Олег Витальевич
восьмой
Курчатовская средняя школа № 2

слесарь
машинист колебных установок
307239, Курская обл., г. Курчатов, ул. Космонавтов, д. 10, кв. 76.

ВНИЗУ НАЧЕРТИТЕ ТАБЛИЦУ ДЛЯ Оценок ЗА ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ:

№
Ф.
М.

В терраду воложите конверт с написанным на нем вашим адресом (с казанием класса). В этом конверте вы получите ответ из 3ФТШ.

Срок отправления решения — не позднее 1 марта 1985 года (по почтовому штемпелю места отправления). Вступительные работы обратно не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 1985 года.

Терраду с выполненными заданиями (обязательно и по физике, и по математике) присылайте по адресу: 141700, г. Долгопрудный Московской обл., Московский физико-технический институт, 3ФТШ.

Учащие Архангельской, Вологодской, Калининской, Калининградской, Кировской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской и Псковской области, Карельской и Коми АССР высылают работы по адресу: 198904, г. Старый Петерф, ул. 1 Мая, д. 100, ЛГУ, филиал 3ФТШ при МФТИ.

Учащие Амурской, Иркутской, Камчатской, Сахалинской и Читинской области, Красноярского,

55

Рис. 10.
лых. К победе приводит лишь обозначение (создание угрозы 4×3) в пункте 1.

10. Самая легкая из задач второго типа.

11. Бросающийся в глаза выигрыш созданием двойного обозначения в пункте 2 (вилки 4×3 в пунктах Б и В) не проходит из-за зашиты белых в пункте А. Этот красный, и

Рис. 11.
порой единственный, способ зашиты называется контризахом. Его надо иметь в виду и при атаке. Здесь кратчайший выигрыш достается последовательными обозначениями 1 и 3. Если же белые делают второй ход в пункте Б, то черные выигрывают ходами Г и В.

12. Очень сложная задача. В этой позиции практическим невозможно проследить развитие атаки до конца, и лишь хорошо интупция, основанная на большом опитегры, может

Рис. 12.
подсказать сильный ход. Подмеченная многоими участниками конкурса симметрия не является полной из-за разной удаленности краев docки. Поэтому ход 1 является единственным, которое не только значительно успливает позицию черных, но и обеспечивает им пространство для дальнейшего развития атаки. Популярный среди участников конкурса ход в пункте А опровергается зашитой в пункте Б.

Н. Н. Александров,
А. Г. Сокольский

Ответы, указаны, решения

Сколько площадей у многоугольника?

1. Примените подобные треугольники.
2. Предложение профессора Honсена не годится, так как написанные равенства, вообще говоря, не верны. Достаточно проверить их ложность для одного какого-нибудь треугольника (например, для треугольника со сторонами 3, 4 и 5).
3. Примените теорему о равенстве углов с соответственно параллельными сторонами.
4. Нужно проверить, что величины полученного угла не зависит от выбора точки, через которой проверяется прямые, параллельные данные. Проверка основана на той же теореме, что и 3.
5. Примугольник со сторонами 34 и 13 закрыт не полностью: между фигурами остатятся щелки.
6. Пусть проведены оба разрезания (показанные на рисунке 1 сним и красным). Тогда многоугольник разрезан на кусочки, из которых можно сложить треугольники как первого, так и второго способа. Сумма площадей этих кусочков равна каждой из сумм, о которых шла речь. Позному эти суммы равны.
7. Формулу (1) можно доказать индукцией по числу самопересечений контура. Совершая индукционный шаг, мы берем одно самопересечение, разрезаем в этой точке провода и соединяем их иначе, так что получится два многоугольника (рис. 2). Из физических соображений ясно,

что и сумма потоков вектора $B$ через эти два многоугольника равна потоку через первой многоугольник.
8. Можно применить тот же прием, что в 7.

Теорема Виета и вспомогательный многочлен Задания
5. $u^8 + \frac{1}{u^8} = 1154$. Указание: число $u = 1 + \sqrt{2}$ является корнем квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 1$, поэтому $u - \frac{1}{u} = 2$; $u^2 + \frac{1}{u^2} = 6$, $u^4 + \frac{1}{u^4} = 34$, $u^8 + \frac{1}{u^8} = 1154$.
10. $(1, 2, \frac{1}{2}), (1, \frac{1}{2}, 2), (2, 1, \frac{1}{2}), (2, \frac{1}{2}, 1), (\frac{1}{2}, 1, 2), (\frac{1}{2}, 2, 1)$. Указание и е: полагая $x + y + z = a$, получим:
$P(t) = (t - x)(t - y)(t - z) = t^3 - at^2 + at - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1 - at)$.
позному из корней равен 1.
13. $x_1 = x_2 = \dots = 1$. Указание и е: положим $P(t) = (t - x_1)(t - x_2) \dots (t - x_n) = t^n + a_1 t^{n-1} + \dots + a_n - 1 t + a_n$; тогда $0 = P(x_1) + P(x_2) + \dots + P(x_n) = n + n a_1 + n a_2 + \dots + n a_n = n P(1)$, значит, одно из чисел $x_1, \dots, x_n$ (скажем, $x_1$ равно 1. Телерь для $x_2, x_3, \dots, x_n$ получаем аналогичную систему, и т. д.

Упражнения

1. Указание: $\varphi^2 + \varphi - 1 = 0$, $\varphi^4 = (1 - \varphi)^2 = 1 - 2\varphi + (1 - \varphi) = 2 - 3\varphi$, $\varphi^8 = 4 - 12\varphi + 9\varphi^2 = 4 - 12\varphi + 9(1 - \varphi) = 13 - 21\varphi$.
2. 1 см, 8 см, 15 см. Указание: три измерения $x, y, z$ параллелепипеда удовлетворяют системе уравнения $4(x + y + z) = 96, 2(xy + yz + zx) = 286, xyz = 120$, то есть являются корнями уравнения $t^3 - 24t^2 + 143t - 120 = 0$.
3. $(1, 1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1)$. Указание: из двух первых уравнений и формул

56

Виета следует, что числа $x, y, z$ являются корнями многочлена вида $t^3 - t^2 - t + r = 0$ ($xy + yz + zx = ((x + y + z)^2 - x^2 - y^2 - z^2)/2 = -1$). Отсюда, аналогично решением задачи 3 и 4, получаем, что $t^5 = (3 - r)t^2 - (2 - r)t - 2r$ при $t = x, y, z$. Складывая эти три равенства и используя треtte уравнение исходной системы, найдем, что $r = 1$, то есть числа $x, y$ и $z$ — корни многочлена $t^3 - t^2 - t + 1 = (t - 1)^2(t + 1)$.

4. $5(x - y)(y - z)(z - x)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)$. Указаны ие: рассмотите многочлен с корнями $u = x - y, v = y - z, w = z - x$, и используя соответствие $u + v + w = 0$, действuye аналогично решению задачи 8.

5. Указаны ие: если $P(t) = (t - x)(t - y)(t - z) = t^3 + pt^2 + qt + r$, то $-r > 1$, $-p < q/(-r)$. Подставляя $t = 1$, получим: $P(1) = 1 + p + q + r > 1 + p + pr + r = (1 + p)(1 + r) > 0$, то есть $(1 - x)(1 - y)(1 - z) > 0$.

Где ошибись Петя и Вова?

Оба ученика не правы. Пусть имеется система уравнения
$$\begin{cases} j_1(x, y) = g_1(x, y), \\ j_2(x, y) = g_2(x, y). \end{cases}$$

Петя получил систему
$$\begin{cases} j_1(x, y) = g_1(x, y), \\ j_1(x, y) j_2(x, y) = g_1(x, y) g_2(x, y). \end{cases}$$

Системы уравнения (1) и (2), вообщше говоря, неравносильны. Ясно, что любое решение системы (1) является решением системы (2). Обратное в обшем случае неверно: любое решение системы $j_1(x, y) = g_1(x, y) = 0$ — решение системы (2), но может не быть решением уравнения $j_2(x, y) = g_2(x, y)$, а, следовательно, и решение системы (1).

Аналогичную ошибку сделал и Вова. Если бы ребята сделали проверку, то получили бы верный ответ: $(1; 0)$.

Друганные и трехгранные углы

1. Расмотитеечение двумгранного угла любой плоскостью, перpendикулярной его ребру и примените соответствующее свойство биссекtrисы угла на плоскости.

2. a) Поверните двумгранный угол на $180^\circ$ вокруг оси $l$.

3. a) Докажите, что (либые) две биссекторные плоскости пересекаются и что любая точка линейных пересечения равноделена от всех трех граней угла и потому лежит на третьей биссекторной плоскости. 6) Пусть $A, B, C$ — такие точки на ребрах трехгранного угла, что $|SA| = |SB| = |SC|$, тогда линейные пересечения расматриваемых плоскостей с треугольником $ABC$ — медианы этого треугольника. b) Каждый из расматриваемых плоскостей есть множество точек, равноделенных от каких-то двух вершин треугольника $ABC$ из указания к п. 6).

4. Ответ: нет. Решение. Расмотрим трехгранный угол $SABC$, у которой плоские углы $BSA$ и $CSA$ — прямые, а $BSC < 60^\circ$, и предположим, что треугольник $ABC$ — правильный (рис.3). Тогда $|AB| = |AC|$, поэтому $|BS| = |CS|$. Далее, $|BC| < |CS|$, поскольку $BSC < 60^\circ$, а $|CS| < |CA|$ (катет менше гипotenузы). Получили противоречие: $|BC| < |AC|$ в правильном треугольнике $ABC$.

5. 1. Пусть $SA_1B_1C_1$ — полярный угол к углу $SABC$, тогда ребро $SA$ перpendикулярно к плоскости $SB_1C_1$, так как $SB_1$ и $SC_1$ по определению полярного угла perpendикулярный к плоскости $SAC$ и $SAB$. 2) Вечение двумгранного угла при ребре $SA$, проходящем через $S$ и perpendикулярном к этому ребру, получится картина, показанная на рисунке 4: ребра $SB_1$ и $SC_1$ лежат в плоскости сечения и соответственно perpendикулярный сторонам угла $PSQ$ — линейного угла двумгранного угла при ребре $SA$, причем углы $B_1SQ$ и $C_1SP$ — тупые. Отсюда следует, что $\alpha + \hat{A} = B_1\hat{SC}_1 + \hat{PSQ} = \pi$. Соотношение (5) следует из (4) и свойства 1).

6. Ответ: a) $]0; 2\pi[; 6]$ $]\pi; 3\pi[$. Указаны ие: a) неравенство $\alpha + \beta + \gamma < 2\pi$ доказано в стате; то, что любое значение суммы от 0 до $2\pi$ возможно, видно из рассмотрения угла при вершине правильной треугольной прямой при ребре $SA$, причем углы $B_1SQ$ и $C_1SP$ — тупые. Отсюда следует, что $\alpha + \hat{A} = B_1\hat{SC}_1 + \hat{PSQ} = \pi$. Соотношение (5) следует из (4) и свойства 1).

7. a) Воспользовитесь второй теоремой косинусов.

8. a) Воспользовитесь второй теоремой косинусов; показите, что $\sin^2\hat{A} / \sin^2\alpha = (1 - (\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma) + 2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma) / \sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma$.

9. Все эти прямые perpendикулярны прямой $SH$ из решения задачи 3 в стате.

10. a) Воспользовитесь второй теоремой косинусов.

6. Ответ: нет.

XXV Международная математическая олимпиада

1. Из того, что числа $x, y, z$ положительных, а их сумма равна 1, следует, что каждое из них не превыходит 1. Поэтому $xy + xz + yz - 2xyz = xy(1 - z) + xz(1 - y) + yz \ge 0$. Можно считать, что $x \leq y \leq z$; тогда нетрудно показать, что $x \leq \frac{1}{3}, y \leq \frac{1}{2}, z \geq \frac{1}{3}$. Из очевидного точекства
   $$xz = \frac{1}{3}(x + z - \frac{1}{3}) + (x - \frac{1}{3})(z - \frac{1}{3})$$
   вытекает, что $xz \leq \frac{1}{3}(x + z - \frac{1}{3}) = \frac{1}{3}(\frac{2}{3} - y)$, так как $x - \frac{1}{3} \leq 0$, а $z - \frac{1}{3} \geq 0$. Используя это неравенство и неравенство $y \leq \frac{1}{2}$, получаем
   $$xy + xz + yz - 2xyz = (x + z)y + xz(1 - 2y) \leq \frac{1}{3}(y + z)y + \frac{1}{3}(2\frac{3}{2} - y)(1 - 2y) = \frac{2}{9} - \frac{2}{9}y - \frac{1}{3}$$
   ≤ $(1 - y)y + \frac{1}{3}(\frac{2}{3} - y)(1 - 2y) = \frac{2}{9} - \frac{2}{9}y - \frac{1}{3}$

57

$$\frac{y^2}{3} = \frac{7}{27} - \frac{1}{3} \left( y - \frac{1}{3} \right)^2 \leq \frac{7}{27}.$$

2. Решение задачи M897 см. в одном из следующих номеров «Кванта».
3. Рассмотрим все окружности радиуса меньше 1 с центром $O$. Поскольку их бесконечно много, а число цветов, в которых они раскрашены — конецно, среди них найдет две окружности, радиусов $r$ и $s$ ($0 < r < s < 1$), окрашенные одинаковыми наборами цветов (набор цветов — тоже конечное число). Возьмем на окружности радиуса $r$ точку $Y$, для которого $a(Y) = r(s-r)$ (очевидно, $0 < a(Y) < 1$), тогда $C(Y)$ — это вторая из наших окружностей $(r + r(s-r))/r = s$. Следовательно, $Y$ — искомая точка (в набор цветов окружности $C(Y)$ входит и цвет точки $Y$).
4. Решение задачи M896 см. в одном из следующих номеров «Кванта».
5. Левая часть неравенства может быть переписана в виде:

$$\frac{p}{n} < \frac{d}{n(n-3)/2}.$$

Это утверждение можно прочесть следующим образом: среднее арифметическое длин стороны выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей, что повторяет формулировку задачи M846, решение которого помещено в «Кванте» № 7 за 1984 год на с. 53.

Докажем вторую часть неравенства. Сначала рассмотрим случай нечетного числа сторона: $n = 2k + 1$. Заметим, что длина диагонали, страгиюшей две вершины, стоящие через одну, меньше суммы длины сторона с концами в этих трех вершинах. Отсюда $d_2$ — сумма длины таких диагоналей,— меньше, чем $2p$, $d_3$ — сумма длины диагоналей, страгиюших вершины, лежащие на перimetре многоугольника через две,— меньше $3p$, …, $d_k < kp$. Но сумма $d_2 + d_3 + ... + d_k = d$, а сумма $2p + 3p + ... + kp = (k + 2)(k - 1)p/2$. Учитывая, что $n = 2k + 1$, получаем $(k + 2)(k - 1)p/2 = \left( \frac{n}{2} \right) \left( \frac{n+1}{2} \right) - 2)p/2$. Тем самым неравенство доказано.

В случае $n = 2k$ возникот «диаметральные» диагонали, по одному и другую сторону от которых находится по $k-1$ вершин. Нужно заметить, что длина каждой из них меньше $p/2$ и поэтому $d_k < kp/2$. В то же время $d_2 + d_3 + ... + d_k < p(2+3 + ... + (k-1)) = (k-2) \times (k+1)p/2$.

Окончательно получаем

$$d < \frac{kp}{2} + \frac{(k-2)(k+1)p}{2} = \frac{p}{2} \left( \frac{n}{2} \right) \left( \frac{n+1}{2} \right) - 2).$$

Решение Ф. Назарова, за которое он получил специальный приз жюри, основано на легко установленном неравенстве для проекций сторона диагоналей на прямую заданного направления и последующого интерпрования этих неравенств по всем направлениям. Известно, что соответствующий интервал для одного отрезка равен удвоенной длине этого отрезка. Тем самым неравенство для проекций переносится на неравенство для самих отрезков.

6. Решение задачи M898 см. в одном из следующих номеров «Кванта».

58

Рис. 7.

где индекс «0» относится к поверхности Земли, индекс «1» соответствует температуре $T_1$, а «2» — $T_2$. Как следует из пункта 6),

$$n_0 = n_1 \sin a_{\text{крпт}} = n_1 L / \sqrt{L^2 + h^2},$$

тогда

$$T_0 = T_1 \frac{n_1 - 1}{n_0 - 1} = T_1 \frac{n_1 - 1}{((n_1 - 1)T_1/T_2 + 1)L / \sqrt{L^2 + h^2} - 1} \approx 329 \text{ K},$$

и или $t_0 \approx 56 \text{ °C}$.

Задание 2

Пусть $A$ — центр масс воемма в невозмущенном состоянии (рис. 7). Найдем его координаты $x_0$ и $y_0$ в начальной моментке колебаний, которые равны амплитудным значением:

$$x_0 = \frac{\omega a(\delta L/2)(L/3)}{\omega aLh} = \frac{\delta L}{6h},$$

$$y_0 = \frac{\omega a(2/3\delta)(\delta L/4)}{\omega aLh} = \frac{\delta^2}{6h}.$$

(Отсюда видно, что $x_0 > y_0$.) В процессе колебаний координаты центра масс изменяются по законом $x = x_0 \cos \omega l$, $y = y_0 \cos \omega l$, где $\omega$ — частота колебаний.

Согласно закону сохранения энергии, начальный запас потенциальной энергии системы равен запасу критического энергии при прохождении системы положения равновесия:

$$\omega g \frac{\delta^2 L}{6} = \frac{\omega aLh}{2} \left( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 \right),$$

или

$$\frac{g \delta^2}{3h} = \omega^2 \left( \frac{\delta^2 L^2}{36h^2} + \frac{\delta^4}{36h^2} \right).$$

Пребегая вторым слагаемым по сравнению с первым в правой части равенства, получим

$$\omega = 2 \frac{\sqrt{3gh}}{L},$$

откуда перiod колебаний

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}.$$

Эту формулу можно проверить, сравнивая значения $T_{\text{вычч}}$, вычисленные из нее, со значениями $T_{\text{экс}}$, данных в таблице. Легко заметить, что $T_{\text{экс}} = 1.1 T_{\text{вычч}}$. Для оценки $T_{\text{вычч}} \approx 3$ часа, следовательно, единица масштаба на диаграмме соответствует приближительно 2 часа. Были предложены и другие решения этой задачи. Например, предложив, что образовалась стоячая волна, и зная скорость распределения волн $v = \sqrt{gh}$, получаем $T = 2L/\sqrt{gh}$.

Можно было также весь водоем представить как большое число сообщающихся сосудов, в каждой из которых происходит колебания с периодом $T = 2L/\sqrt{gh}$. Этти, решения, предложенные советскими участниками олимпиды, оценивались одинаково с официальным решением.

Задание 3

Полное решение содержит 12 схем электронного фильтра (рис. 8), тогда как в официальное решение входило только 4 первых. Расмотрим одну из возможных схем (рис. 9) и построим для нее векторную диаграмму (заметим, что метод векторных диаграмм в наших школах не изучается). Из диаграммы найдем $U_1 = I_1R$, $U_2 = I_2\omega L$,

$$I_2 = \frac{\sqrt{U_1^2 + U_2^2}}{R} = I_1 \frac{\sqrt{R + \omega^2 L^2}}{R},$$

$$U_4 \cos \beta = U_2, U_4 \sin \beta = U_{\text{вых}}, U_{\text{вых}} = U_1 + U_{\text{вых}},$$

$$\frac{I_1}{\omega c} + \frac{I_2}{\omega c} \cos a = U_2 = I_1\omega L,$$

$$\cos a = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}}.$$

откуда

$$i = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{2}{L C}} = 5.6 \cdot 10^3 \text{ Гц},$$

$$U_{\text{вых}} = \frac{L}{R^2 C + L} = 0.138.$$

Аналогичные рассуждения можно привести и для всех остальных схем. Можно было решать задачу в общем виде (что и было сделано советскими участниками олимпиды). Обозначим сопротивления каждого элемента через $z_1, z_2, z_3$ и $z_4$, найдем искомое отношение направлений:

$$\frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вых}}} =$$

$$= 1 - \frac{z_1 z_2}{z_1 z_2 + z_3} + z_4 (z_1 + z_2 + z_3)$$

и представим его в виде

$$\frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вых}}} = \delta = 1 - \frac{1}{A + iB}.$$

Сдвига фаз между напряжениями не будет, если $B = 0$ и $\delta > 0$. Если же $\delta < 0$, $\varphi = \pi$. Преобразуем выражение для $\delta$:

$$\delta = 1 - \frac{1}{A + iB} = 1 - \frac{A - iB}{A^2 + B^2} =$$

$$= 1 - \frac{A}{A^2 + B^2} + \frac{iB}{A^2 + B^2},$$

$$\delta^2 = \left( 1 - \frac{A}{A^2 + B^2} \right)^2 + \left( \frac{B}{A^2 + B^2} \right)^2 =$$

$$= 1 - \frac{2A - 1}{A^2 + B^2},$$

откуда следует, что $\delta$ минимально при $B = 0$, поэтому

$$\delta = 1 - \frac{1}{A}.$$

При $f \rightarrow 0$ или $f \rightarrow \infty$ $\delta \rightarrow 1$ и $A \rightarrow \infty$. Это возможно, если: a) $z_1 \rightarrow 0$; b) $z_2 \rightarrow 0$; c) $z_3 \rightarrow \infty$, а

59

Рис. 8.

$z_2 \rightarrow \infty$; г) $z_4 \rightarrow \infty$, а $z_1$ и $z_2 \rightarrow \infty$. Учитывая еще, что δ должно быть больше 0, можно найти значения $f$ и δ для всех приведенных схем.

Экпериментальный тур

Задача 1
Собираем схему, указываю в условия задании. К выводам схемы и к конденсатору подключаем осцилограф и получаем две осцилографмы, изображенные на рисунке 10. От момента времеи $t_1$ до $t_2$ конденсатор заряжается от сети, а от $t_2$ до $t_3$ — разряжается через резistor. Согласно закону Ома для цепи, содержащей заряженный конденсатор и резистор,

$$\frac{q}{c} + q'(t)R = 0,$$

откуда

$$\ln \frac{q}{q_0} = -\frac{t}{RC}, \quad q = q_0 e^{-\frac{t}{RC}}.$$
или $U = U_0 e^{-\frac{t}{RC}}$.

Обозначим произведение RC через t и найти его значение из осцилографмы:

$$u_{t_2} = 0,3 \text{ B}, \quad u_{t_3} = 0,1 \text{ B}, \quad t_3 - t_2 \approx 1,8 \cdot 10^{-3} \text{ c},$$
$$\tau_1 \approx 1,65 \cdot 10^{-3} \text{ c}.$$

Нарисуем график зависимости $u = u(t)$ в полулогарифмическом масштабе (рис. 11), из которого видно, что от 3 до 5 мс график представляет собой прямую линию (значит, зависитность действительно экспоненциальная). Из графика найдем

$$\tau_2 = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \approx 1,55 \cdot 10^{-3} \text{ c}.$$

Можно считать, что

Рис. 9.

Рис. 10.

60

«Квант» для младших школьников
(cm. с. 27)

1. Еще 4 стаканчика.
2. Из рисунка 13 легко установить, что каждый из треугольников MNL и LKP равен треугольнику ABD. Отсюда следует, что AL — ось симметрии угла BAD, то есть его bicсектриса.
3. Ответ изобравен на рисунке 14.
4. На рисунке 15 приведены два возможных решения.
5. При нажатии кнопки звонит звонок и зажигается лампочка над этой кнопкой.

Рис. 11. Рис. 12.
$$\tau = \frac{\tau_1 + \tau_2}{2} \approx 1.6 \cdot 10^{-3} \text{ с.}$$
Тогда
$$R = \frac{\tau}{C} \approx 16 \text{ кОм.}$$

Теперь построим график зависимости $u^2$ от $t$ (рис. 12), с помощью которого найдем исходное средней мощности, выделяющейся в резисторе:
$$dQ = \frac{u^2}{R} dt, \quad P = \frac{\int_0^T dQ}{T}.$$
Здесь $\int_0^T dQ$ — количество теплоты, которое выделяется за период $T$. Оно равно численно площади под графиком зависимости $u^2(t)$. Полягая $T=5$ м, получаем
$$P = (50 \pm 2,5) \text{ мкВт.}$$

Задача 2
Для определения длины волны лазера воспользуемся объekt-микрометром как дифраクционной решеткой:
$$d_0 \sin \alpha_0 = n_0 \lambda_0.$$
Здесь $d_0=10^{-5}$ м — постоянная объekt-микрометра, $\alpha_0$ — угол, под которым наблюдается максимум $n_0$ порядка, $\lambda_0$ — длина волны лазера. Отсюда
$$\lambda_0 = \frac{d_0 \sin \alpha_0}{n_0}.$$
Проделаем то же самое для дифраクционной решетки и найдем ее постоянную:
$$\lambda_0 = \frac{d_1 \sin \alpha_1}{n_1}, \quad d_1 = d_0 \frac{n_1 \sin \alpha_0}{n_0 \sin \alpha_1}.$$
Теперь вычислим длину волны $\lambda_x$ желтой линии неона. Для этого закрепим лампу важиме, закроем ее линейкой, оставив только тонкую полоску, и будем смотреть на нее через дифраクционную решетку. Мы увидим несколько ее изобравен. Для любого из них можно записать
$$\lambda_x = \frac{d_1 \sin \alpha_2}{n_2}$$

Проведя соответствующие измерения и вычисления, для искомой длины волны было получено значение
$$\lambda_x = (5,9 \pm 0,2) \cdot 10^{-7} \text{ м.}$$

«Квант» для младших школьников
(cm. с. 10)

1. Имеется всего 6 двухначных чисел, являющихся точными квадратами: 16, 25, 36, 49, 64 и 81, но лишь одно из них — 16 после перестановки цифр образует простое число — 61. Таким образом, есть 4 номера телефона, удовлетворяющие условиям: 2-61-16; 3-61-16; 5-61-16; 7-61-16.
2. Если $S$ — площадь треугольника, то его высоты связываны со стороны соответствиями:
   $$h_a = \frac{2S}{a}, \quad h_b = \frac{2S}{b}, \quad h_c = \frac{2S}{c}$$
   Подставляя эти выражения в заданное соответствие для высоты, получаем, что $\frac{2S}{c} = \sqrt{\frac{2S \cdot 2S}{ab}}$, откуда $c = \sqrt{ab}$.
   В нашем случае $c = \sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{14}$, но $c > a - b$ в то

62

Миедал А. Б. Как создавалась квантовая теория

Статы по математике
Веселов А. П. Классификация пленок
Веселов А. П., Гиндикин С. Г. Элементарные функции
Воронин С. М., Кулаецин А. Г. Метод производаших функций
Гиндикин С. Г. Высокой геометрии начала…
Гомиров А. Б. Решетки и зоны Бриллюзна
Ершов А. П. На родине великого ученого
Комиссарик Э. А., Футер А. Л. Человек, ЭВМ и шахматный эндшпиль
Матулис А. Ю., Савукина А. Ю. «Ферзя — в угол», «изяныщицы» и числа Фибоначчи
Понтряzin Л. С. Кубическая парабола
Прихodbко Б. К. Решение уравнения на микрокалькуляторе
Проховов А. И. Золотая спираль Рождественский В. В. Умете ли вы считать?
Садовский Л. Е., Садовский А. Л., Садовская О. Л. Пять сетов
Самаров К. Л., Уровев В. М. Модель Пуанкаре
Тоом А. Л. Сколько площадей у многоугольника?
Усманов З. Д., Ходжцев И. Ал-Хорезми
Яелом И. М. Итальянский купец Леонардо Фибоначчи и его кролики

Статы по физике
Артеменко С. Н., Волков А. Ф. Синтетические металлы — новый тип проводников
Асдамазов Л. Г. Сверхпроводящие магниты
Ашкинази Л. А. Что такое электричский пробой
Бернитейн П. Б. От Солнца до Земли
Боровой А. А. Искусственная радиоактивность
Вошов Е. М. О гидравлическом удраре
Гринева Г. И., Розенберг Г. В. Дела и продавки фен Морганы Займовский В. А. Трешина — враг металла
Киконн И. К. Как вводятся физические величины
Кожущинер М. А. Перiodическая система элементов
Коротихин В. П. Зрimaя прочность
Крутоцин Д. Г., Леток Л. М., Морченко А. Т. Магнитная память ЭВМ Рузмайкин А. А. О природа космического магнитизма
Рытов С. М. Из предыстории радио Сандлер Ю. М. Если бы Следопит знал физку …
Франк-Каменецкий Д. А. Электрическое сопротивление — квантовое явление

Новости науки
Волны кристаллизации 4 16
Гало и лед 11 9
Доказательство гипотезы Мордельла 3 19
Еще один шаг на пути к абсолотному нулю 7 22
Зачем может попадиться нейтрано? 6 11
Кольца вокруг Солнца 10 6
Найка-83 4 17
Нейтронная звезда, черная дыра или …? 5 10
Новый вид радиоактивного распада 8 38
Стабилизированный одноатомный водород 1 7
Существуют ли планетные системы у других звезд? 9 18

Лаборатория «Кванта»
Боровой А. А. Цвета рассеянного света 3 20
Бутиков Е. И. Связанные магнитки 5 23
Варламов А. А. Из старых опытов 8 32
Гаврилов С. Л. Фонтаны в парках и дома 6 24
Дозоров А. А. Приицип относительнойности 10 18
Лапидес А. А. Несколько опытов с объективом 11 19
Медков И. А. Удивительная жидкость 1 21
Пальчиков Е. И. Почему «поет» водопровод? 7 30

Математический кругок
Балк М. Б., Болтянский В. Г. Центряжесте общегает решение 4 18
Болтянский В. Г. Экспонента 10 20
Гутенхар В. Л. Системы линейных уравнений 1 24
Дубровский В. Н. Момент инерции в геометрии 7 33
Ионин Ю. И., Плоткин А. И. Выбор модели 6 28
Курляндчик Л. Д., Фомин С. В. Теорема Виета и вспомогательный многочлен 12 14
Табачинков С. Л. Ошибки в геометрических доказательствах 3 23
Уровев В. М. Инверсия 5 26
Чан Куанд. Если массы заменить на площади … 8 35

Школа в «Кванте»
Ф изика 8, 9, 10
Ангигляция ирождение пар 5 35
Вращение Земли и ускорение свободного падения 1 32
Газ превращается в жидкость 11 25
Гармоническая колбанная. Сложение колбанная 9 21
Два вида электриччества 1 34
Движение заряженных частиц в электричском и магнитном полях 4 24
Диэлектрики, полупроводники, полуметаллы, металлы 2 25
Закон Бернулли 5 33
«Закон нечетных чисел» для свободного падения тел 12 17
Заряд atomного ядра и периодическая система элементов Мендлеева 3 31
Как «открыть» второй закон Ньютона? 11 24
Как решается основная задача механики? 2 24

63

Масса и количество веществ, или
Об одной «ошибке» Ньютона 10 26
Об агрегатных состояний веществ 9 20
Об одном стихотворении А. С. Пушкин 10 25
Постоянный и переменный электрический ток 10 28
Приципл Ферма 1 36
Работа, энергия и архимедова сила 3 27
Рентгеновские лучи 4 25
Столковенная тел 4 23
Теорема, позволяющая решать основные задачи электростатики 12 18
Токи смешения 5 34
Траектория, путь, перемещение 9 19
Уравнение волны 11 27
Фотоэлектрический эфект и кваенты 2 29
Что такое радуга? 12 20
Электрическое и магнитное поля 3 28
Математika 8, 9, 10
Где ошибка? 10 30
Где ошибись Петя и Вова? 12 22
Геометрия помогает решать уравнения 12 22
Двугранные и трехгранные углы 12 23
Еще один примем самоконтроля 10 30
Кто же прав? 9 27
Надо ли делать проверку? 10 31
Об одном способе решения некоторых уравнений 11 29
Простой примем в непростых задачах 9 25
Таблица составных чисел 9 24
Три решения одной задачи 11 29

---

Избранные школьные задачи 4—6, 9—11
Дифференцирование сложной функции 4 26
Задание-матрешки 3 33
Непослушные задачи 5 36
Школа без dockи имена 2 31

Наш календарь
Космологическая взгляды Джорданов Бруно 6 18
Лев Андреевич Арцимович 2 22
Мон встречи с Дебаем 12 43
Пьер Кюри 5 22
Спектральный анализ 11 23
Эффект Эдисона 9 47
Яков Ильич Френкель 2 23

«Квант» для младших школьников» 1—12
Задание в картинах 5, 6, 10, 11
Колмодоров А. Н. Решено Эратосфена 3 35
Кэрролл Л. Вниз по кроличей норе 7 39
Кэрролл Л. Море слез 8 40
Родина Н. А. Как мы пемчай 12 28
Родина Н. А. Такая знакомая и такая удивительная вода! 2 34
Розенфельд Б. А. Откуда произвольная геометрическая фигура? 4 30
Розенфельд Б. А. Откуда произвольная извввяная звезд и созвездий 10 36
Савин А. П. В уме и на пальцах 1 40
Стасенко А. Л. Закон Архимеда 9 30

Заданиеник «Кванта»
Задание М841—М900; Ф853—Ф912 1—12
Решения задания М826—М883; Ф837—Ф893 1—12

Победители конкурса «Квант» 3 36
Список правильно решенных 3,6,9,12
Энфиджян Р. Л. Электроемкость — свойство проводника 12 40
Из письм читателей 3 47

Геометрическая страница
Видимые контуры 1 30
Перспектива 2 38
Эволюта 5 38
Эвольвенты 6 46

Практикум абитриента
Горнуша П. П. Сведем неравенство к известному 9 49
Данилин В. А. Передача электроэнергии на расстояние 10 53
Козел С. М., Шеронов А. А. Теллюмкость идеального газа 4 46
Можаев В. В Магнитное поле и магнитные силы 3 51
Самарский Ю. А. Движение по окружности 6 48

Варианты вступительных экзаменов
Задачи вступительных экзаменов в различных.by в 1983 году 6 54
Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена 4 56
Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова 4 53
Ленинградский политический институт им. М. И. Калинина 4 55
Московский архитектурный институт 5 57
Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана 5 56
Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина 1 59
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 2 53
Московский инженерно-физический институт 3 55
Московский институт стали и сплаvos 3 56
Московский институт электронного машиностроения 1 57
Московский физико-технический институт 1 56
Московский энергетический институт 3 57
Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола 5 54

Оlimппады
XXV Международная математическая оlimппада 12 44
XV Международная физическая оlimппада 12 46
ХVIII Весоозная оlimппада: Оlimппада по математике 11 45
Оlimппада по физике 11 49
Экспериментальный тур оlimппады по физике 11 52
Х Всероссийская оlimппада школьников 10 56
Задачи Московской городской математической оlimппада школьников 10 60
Избранные задания 50-й ленинградской городской оlimппады по математике 9 54
Ленинградская городская оlimппада по физике 9 55
Ленинградским оlimппада — 50 лет 8 56
Первая математическая оlimппада 9 52

64

Информация

Вечерняя физическая школа при МГУ 8 60
Заочная физическая школа при МГУ 4 52
Заочная физко-техническая школа при МИСиСе 1 54
Заочная школа при НГУ 8 59
Ижевскому НОУ — 5 лет 5 53
МАН «Искатель» 6 52
VI Московский турир юных физиков 9 57
Новый прием во Всесоюзную заочную математическую шкалу 1 53
Новый прием на заочное отделение Малого механика 1 54
Игры и головоломки 2 4-я с. обл. 11 »
Бялко А. В. Цепочка с бегущим колыцом 4 42
Климанов А. И. Оригами 8 61
Климанов А. И. Стереоскопические чертежи 7 45
Рэндзю — итоги конкурса 12 54
Спрашивайте — ответаем 3 22
Уголок коллекционера 5 4-я с. обл. 4 »
День космонавтики 4 »
Марки, посвященные Д. И. Менделееву 7 8
Наша обложка 4,8
Кроссворды 1,9,12
«Квант» улыбается 2 52
Вот такие мысли 4 45
Гидропанника кисинуса 9 48

Главный редактор — академик И. К. Кикоин

Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: Л. Г. Асламазов, В. А. Лешковцев, Ю. П. Солловев
Редакционная коллекция: М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко, В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков, А. Р. Зильберман, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант
Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Б. Б. Буховцев, Е. П. Великов, И. Я. Верченko, Б. В. Возвивженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erмолаева, А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, Л. В. Канторович, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патри-keeва, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:

А. Н. Вилленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, В. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Номер оформили:

М. Б. Дубах, А. И. Климанов, А. Я. Коршунов, И. Е. Смирнова, Е. К. Тенчурина, П. Э. Чудновский, Е. С. Шабельник
Фото представили:
Л. Д. Шварц

Заведующая редакцией Л. В. Чернова

Редактор отдела художественного оформления
Э. А. Смирнов
Художественный редактор Т. М. Макарова
Корректор Т. С. Вайсберг

Из вступительных работ в ВЗМШ 11 44
«За науку» в гостях у «Кванта» 10 34
«Квант» в гостях у «Кванта» 12 51
Комментарии излишни 7 49
Микроистории 6 45
Оценка за получение 3 50

Смесь

Гармоническая ряд 7 32
Две задания о числах Фибоначчи 7 14
Задания для исследований 2,4,5,10

Задания наших читателей 8 34
Из старых задач ВЗМШ 2 32
Катастрофа на эквatore 1 13
Об одном свойстве параболы 4 50
Сколько воды в колбах? 3 35
Спиечный коробок и экстремум 4 51
Туринр памятки Ф. А. Бартенева 8 58

Шахматная страница

«Бермудский треугольник» в центре доски 5 3-я с.обл.

Каспаров — победитель матчей претензентов 8 »
Перегрузка фигур 2 »
Перекрытие 3 »
Последняя тренировка 9 »
Рентген 1 »
Учены — гроссейстеры по композиции 7 »
Четвертый черпиной среди ЭВМ 4 »
ЭВМ против гроссейстера 10 »
ЭВМ против черпиной мира 6 »
Этюды Каспаряна 11 »
Матч века 12 »

Номер подготовили:

А. Н. Вилленкин, В. Н. Дубровский, А. А. Егоров, В. М. Ивлев, Т. С. Петрова, А. В. Сосинский, В. А. Тихомирова

Сданное на набор 18.10.84
Подписано к печати 22.11.84
Печать офсетная
Бумага 70×108 1/16. Усл. кр.-отт. 23,80
Усл. печ. л. 5,6 Уч.-изд. л. 7,77 Т-21369
Цена 40 коп. Заказ 2807 Тираж 172 768 экз.

Ордена Трудового Красного Замени
Чеховский полиграфический комбинат
ВО «Соозполиграфром»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
г. Чехов Московской области