Электроёмкость — свойство проводника

40

Электроимость — свойство проводника

(к решению задачи Ф891)

Известно, что заряд, сообщенный проводящему телу, располагается на его поверхности. При этом распределение заряда по поверхности таково, что направленность электрического поля внутри проводника в любой точке равна нулю. Проводник представляет собой эквивпотенциальную область (любая поверхность, лежащая целиком внутри проводника, является эквивпотенциальной). Линнина направленности электрического поля перепределения проводника.

Электрическое поле, создаваемое проводником с зарядом $q$, в любой точке пространства определяется суперозицией полей, создаваемых отдельными заряженными участками проводника. Каждый такой участок имеет заряд $\Delta q_i = \sigma_i \cdot \Delta s_i$, где $\Delta s_i$ — площадь участка, $\sigma_i$ — поверхностная плотность зарядов на данном участке проводника. Что произойдет, если проводник сообщить заряд в $n$ раз больший (или меньший), чем $q$? Плотность заряда в любой точке проводности проводника изменится в $n$ раз. Это означает, что элементарная работа, совершаемая электрическим полем над единичным положительным зарядом, на любом участке изменится в $n$ раз. Во столбко же изменится работа электрических сил, действующих на единичный положительный заряд при перемещении его от поверхности проводника до бесконечности — то есть потенциальное состояние неизменным. Величину

$$C = \frac{q}{\varphi}$$

называют электроимость (или просто емкость) удаленного проводника. Чем больше заряд можно сообщить проводнику при заданном потенциале, тем больше емкость проводника. Можно сказать, что электроимость характеризует способность проводника накапливать заряд при данном потенциале. Для данного проводника (проводника с емкостью $C$) существует единственное значение заряд $q$, который нужно сообщить проводнику для того, чтобы его потенциаль был равен $q$.

Электроность однозначно определяется формулой проводника, его размерами и электрическими свойствами окружающей среды.

Если размеры проводника подобно уменьшить в $n$ раз, то и емкость проводника уменьшится в $n$ раз. Покаем это.

Пусть на удаленном проводнике $N$ с емкостью $C$ имеет заряд $q$; потенциаль проводника равен, очевидно, $\varphi = q/C$. Сообщим проводнику дополнительно небольшой заряд $\Delta q$,

$$\Delta A = -\varphi \cdot \Delta q = -\frac{q}{C} \cdot \Delta q = -\Delta \left( \frac{q^2}{2C} \right).$$

Эта работа идет на изменение потенциальной энергии проводника. Следовательно, с добавлением заряда $\Delta q$ потенциальная энергия проводника изменяется на

$$\Delta U = -\Delta A = \Delta \left( \frac{q^2}{2C} \right).$$

Но это значит, что потенциальная энергия проводника с емкостью $C$, которая сообщена заряд $q$, равна

$$U = \frac{q^2}{2C}.$$

Можно сказать, что эта энергия обусловлена силами отталкивания, действующих между одномименю заряженными отделными участками проводника и представляется собой потенциальную энергию взаимодействия одномименых точных зарядов, распределенных по поверхности проводника. Два элементарных участка проводности проводника $N$ (рис. 1, а) вносят в полную потенциальную энергию вклад

$$\Delta U_{12} = k \frac{\Delta q_1 \cdot \Delta q_2}{R_{12}},$$

где $\Delta q_1$, $\Delta q_2$ — заряды этих участков, $R_{12}$ — расстояние между ними.

А теперь обратимся к уедининому проводнику $N'$, линейные размеры которого в $n$ раз меньше, чем $u$ проводника $N$. Что можно сказать об электроимости $C'$ этого проводника?

Пусть проводник $N'$ имеет тот же заряд $q$, что и проводник $N$. Расмотрим два элементарных участка проводности проводника $N'$ (рис. 1, б), подобные участкам 1 и 2 проводника $N$. Вклад, которой дает взаимодействие зарядов этих участков в полную потенциальную энергию, равен

$$\Delta U_{12}' = k \frac{\Delta q_1' \cdot \Delta q_2'}{R_{12}'}.$$

Из подобия линейных размеров проводников $N'$ и $N$ следует, что площади участков $I'$ и $I'$ и 2 связанных соотношениями $\Delta s_1' = \Delta s_1/n^2$, $\Delta s_2' = \Delta s_2/n^2$. Из теоремы единственности можно получить между плотностями зарядов на этих участках: $\sigma_1' = \sigma_1 n^2$, $\sigma_2' = \sigma_2 n^2$. Следовательно, $\Delta q_1' = \sigma_1' \cdot \Delta s_1' = \Delta q_1$ и $\Delta q_2' = \sigma_2' \cdot \Delta s_2' = \Delta q_2$. А поскольку $R_{12}' = R_{12}/n$, $\frac{\Delta U_{12}}{R_{12}} = \frac{1}{n}$, то есть $\Delta U_{12}' = n \cdot \Delta U_{12}$. Следовательно, и полная потенциальная энергия проводника $N'$ больше потенциальной энергии проводника.