Висячие мосты

22

Висячее
мосты

Ю. С. ПЕТРОВ

Висячее мосты… Они поражают смелостью замысла, чистотой и совершенством линей. Тонкие вертикальные тросы, спускаясь с изящно изогнутых провисающих канатов, легко удерживают в воздухе многоотоную acфальтированную полосу, по которой торопливо снуют автоматизны. Взгляните на рисунок — какое ощущее воздействие и легкость! Но за этой легкостью скрывается чудоизна направенноь всех звенев конструкции, а величественная неподвижность места, парящего над речной глазью, — следствие равновесия огромных невидимых сил, укрошенных разумом конструктов.

Прежде чем воплотиться в законченное сооружение из стали и бетона, мест проектируется и тщательно расчитывается большим количеством инженеров-строителей. Но проектировке конструкных местов предшествует разработка их общей математической теории, решения многих прициппальных и частных математических задач. Одна из этих задач прямо-tаки направается, когда смотршь на висячий мост: какой должа быть кривая, определенная форму провисающих канатов, чтобы обеспечить их равновесие?

Обычно на поставленный вопрос уверенно ответ-

23

векторами *). Этому решению и посвязывана настоящая заметка.

Несущая часть высшего места состоит из канатов и подвесных стержней, которые мы будем предполагать вертикальными, находящимися на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагруженными (см. рисунок). Мы будем пребегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно некоторой вертикальной прямой и что он абсолотно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за координатную плоскость, прямую ее пересечения с плоскостью места, которая предполагается горизонтальной — за ось Ox, а ось симметрии — за ось Oy. Обозначим через a расстояние между стержнями и через (x_k, y_k) — координаты вершины M_k (см. схему). Допустим, что натяжение горизонтального звена

*) О скользывах векторов можно прочитать в статье Ю. П. Соловьева и А. Б. Сосинского в этом номере журнала. Для понимания настоящего заметки, однako, нет необходимости подробно разбиать всю эту статю.

Несущая часть места:
канат — ломанная
… M₀M₁M₂M₃ …
подвесные стержни — отрезки
… M₁P₁, M₂P₂, M₃P₃, …

23

24

но в противоположном направлении.
По сообщениям симметрии достаточно рассмотреть лишь одну половину каната (скажем, ту, которая имеет положительные абсциссы). Вершина $M_1$ находится в равновесии под действием трех сил: $T_0$, $F_1$ и $T_{12}$, откуда

$$tg a_1 = \frac{|F_1|}{|T_0|} = \frac{p}{T_0}.$$

Вершина $M_2$ находится в равновесии под действием сил $T_{21}$, $F_2$ и $T_{23}$, откуда $tg a_2 = 2p/T_0$. Аналогично, $tg a_k = kp/T_0$.

Тепер мы в состоянии вычислять координаты $(x_k, y_k)$ вершины $M_k$. координаты вершины $M_1$ равны $(a/2, b)$, где $b$ — расстояние от горизонтального звена до оси $Ox$. координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам

$$x_k = x_{k-1} + a, \quad y_k = y_{k-1} + a \ tg a_{k-1}.$$

Следовательно,

$$x_k = \frac{a}{2} + (k-1)a,$$

$$y_k = b + \frac{ap}{T_0} [1 + 2 + \ldots + (k-1)] = b + \frac{k(k-1)ap}{2T_0}.$$

Формула для $y_k$ может быть получена и иначе. Для ее вывода достаточно заменить, что внешние силы, приложенные к части $M_1 M_2 \ldots M_k$ каната, образуют систему векторов, эквивалентных нулю, следствие чего сумма их моментов относительно точки $M_k$ равна нулю.