Избранные школьные задачи

24

Найдите отношение площади этого параллелограмма к площади основания примыды.

5. Основание примыды $SABCD$ — квадрат, каждое из боковых ребров вдвое больше стороны основания. Найдите угол между прямыми SM и BN, где M и N — середины ребер AB и SC.

6*. Приемые a и b пересекаются в точке O. Из произвольной точки M, отличной от O, опущены перpendикуляры MA и MB на прямые a и b. Из точек A и B опущены perpendикуляры $AA_1$ на прямую b и $BB_1$ на прямую a. Доказайте.

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. При каких натуральных n сократима дробь $\frac{8n+71}{5n+46}$?

2. Решите уравнение $x^2 + \frac{9x^2}{(x+3)^2} = 16$.

3. В окружности радиуса R проведены два диаметра, угол между которых равен a. Доказите, что расстояние между основаниями perpendикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на эти диаметры, не зависит от положения точки на окружности, и найдите его.

4. Доказите, что число $n^2+5n+16$ ни при каком натуральном n не делится на 169.

5. Построите квадрат, если данные 4 точки: по одной точке на каждой из прямых, содержащих стороны квадрата.

Девятый класс
6. Разложите на множители выражение $(1+x+x^2+x^3+\dots+x^n)^2-x^n$, где n — натуральное число, n ≥ 3.

7. Высоты треугольника пересекаются в точке H. Известно, что $|HC|=|AB|$. Найдите угол при вершине C.

8. В пространстве данных две скрещивающиеся прямые a и b. Проведите прямую, пересекающую обе данные прямые и: a) прохождение через данную точку M, не лежащую на a и b; b) параллельную данной прямой l. В каком случае решение возможно?

9. a) При каком условии прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ perpendикуляры?

6. Найдите кратчайшее расстояние от точке парабoles $y=x^2-8x+16$ до прямой $y=-2x+1$.

10. В пространстве данных две скрещивающиеся взаимно perpendикуляры прямые a и b. Найдите множество середин отрезков AB данной длины d таких, что A ∈ a, B ∈ b.

Дессятый класс
11. Как нужно разместить в пространстве правильный tetraedр, чтобы его ortогональная проекция на данную плоскость имея набольшую площадь? Найдите значение этой плоскости, если ребро tetraedра имеет длину a.

12. Решите уравнение $\log_2^2(x+y)+\log_2^2(xy)+1=2\log_2(x+y)$.

13. Доказите формулу Симпсона: пустылощадь сечения тела плоскостью $P_x$, проведенной perpendикулярно координатной оси Ox через точку этой с координатой x, выражается при $x \in [a; b]$ многочленом от x не выше третьей степени (тело заключено между плоскостями $P_a$ и $P_b$); тогда объем тела V можно вычислить по формуле

$$V = \frac{h}{6} (S_a + 4S_{cp} + S_b),$$

где h = b - a, $S_a = S(a)$, $S_b = S(b)$, $S_{cp}$ — площадь «среднего» сечения — сечения плоскости $P_{(a+b)/2}$, соответствующего координатне $x_0 = (a+b)/2$.

14. Дан прямуюольный параллелипед, основание которого — квадрат $ABCD$ со стороны 10, боковое ребро $AA_1$ имеет длину 40. Пусть P — середина AB, Q — середина CD, E — точка, принадлежащая PQ и удаленная от стороны AB на расстояние 1. Найдите длину кратчайшего пути, проходшего по поверхности этого параллелипеда и соединяющего точку E с точкой F, симметричной точке E относительно центра параллелипеда.

15. Решите уравнение $\sqrt{a-x}+\sqrt{b-x} = \sqrt{a+b}-2x$.

Публикацию подготовил В. М. Ивлев

Уголок коллекционера

Нильс Бор и филателя

Существуют десяти матрики и почтовые блоки, посвященные Альберту Эйнштейну. «Филателистическая судьба» другого выдающегося физика XX века — Нильс Бор с Бора сложилась иначе. Единственная марка с портретом Бора вышла на его родине, в Дании, в 1963 году, к патидесятилюно созданной основкой теории строения atomов. На ней изображена также схематическая модель atomа водорода и приведена формула для определения энергии излученных фотонов: $hv=E_2-E_1$.

Мы воспроизводим здесь эту марку.

В. Р.