Решения задач М926—М930; Ф938—Ф942

34

in sequence? How much water must be used when one heater of power $P=100$ Wt is working? The temperature of the water source is $t_1=10^\circ\text{C}$, the aquarium water temperature is $27^\circ\text{C}$, its water mixes very rapidly.

A. R. Zilberman

P962. Point sources, located on the principal optical axis of a lens, constitute a uniformly lighted string (passing through the lens’ focus). Find the rule $E(x)$ expressing the luminosity at points of the optical axis on the opposite side of the lens, when the distance $x$ from the lens is large ($x \gg F$, where $F$ is the lens’ focal distance).

M. A. Vorontsov, V. E. Kunitsin

Решения задач

M926 — М930; Ф938 — Ф942

Условие задачи удобно представить геометрическим. Отметим на координатной плоскости $Oxy$ точки $A(x; y)$ и $B(u; v)$. Угол $AOB$ прямоий, так как $OA \cdot OB = xu + yv = 0$. Кроме того, $OA^2 = x^2 + y^2 = 1$ и $OB^2 = 1$, поэтому точка $B$ получается из точки $A$ поворотом вокруг $O$ на $\pm 90^\circ$ (см. рисунок) и $x = \cos \alpha$, $y = \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между вектором $OA$ и осью $Ox$, а значит, $u = \cos (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \sin \alpha = \mp y$, $v = \sin (\alpha \pm 90^\circ) = \pm \cos \alpha = \pm x$. Следовательно,

$$x^2 + u^2 = x^2 + y^2 = 1,$$
$$y^2 + v^2 = y^2 + x^2 = 1,$$
$$xy + uv = xy - xy = 0.$$

Приведем еще одно, чисто алгебраическое, решение. В то же действие

$$(x^2 + y^2 - 1)^2 + (u^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xu + yv)^2 = x^4 + y^4 + u^4 + v^4 + 2 - 2(x^2 + y^2 + u^2 + v^2) + 2(x^2y^2 + u^2v^2 + x^2u^2 + y^2v^2) + 4xuyv = (x^2 + u^2 - 1)^2 + (y^2 + v^2 - 1)^2 + 2(xy + uv)^2$$

левая часть, по условию, равна нулю; следовательно, равна нулю и правая часть, то есть справедливый три доказываемых равенства.

Попробуйте обобщить нашу задачу на трехмерный случай — доказать, что если три вектора длины 1 в пространстве с координатами $(x_1; x_2; x_3)$, $(y_1; y_2; y_3)$, $(z_1; z_2; z_3)$ попарно перpendicularны, то векторы $(x_1; y_1; z_1)$, $(x_2; y_2; z_2)$ и $(x_3; y_3; z_3)$ тоже имеют длину 1 и попарно перpendicularны.

С. В. Дужин

a) Докажем, что через конечное число операций «типа a» — замены пересекающих отрезков $AC$ и $BD$ на непересекающих $AB$ и $CD$ — мы придем к конфигурации, в котором уже не будет пересекающих отрезков.

Рассмотрим сумму $s$ длины отрезков конфигурации. При каждой операции типа $a$ она уменьшается:

$$AB + CD < AC + BD$$

(для трехгольников $APB$ и $CPD$, где $P$ — точка пересечения $AC$ и $BD$ — рис. 1, выполнен неравенства $AB < AP + PB$ и $CD < CP + PD$; сложив их, получим (*)).

С другой стороны, величины $s$ может принимать лишь конечное число значений, по-

35

скольку существует лишь конечное число различных конфигураций из отрезков с вершинами в данных точках. Поэтому конечное число шагов мы приедем к конфигурации, с которой уже нельзя проделать операцию, уменьшающего s.

Это решение дает очень глубую верхнюю оценку для максимального количества $T_n$ операций, которое может быть проделано с конфигурацией на $n$ точках — можно сказать лишь, что оно меньше числа всех конфигураций, то есть $2^{n(n-1)^2}$ ($n(n-1)/2$ — это число различных отрезков с концами в данных $n$ точках).

Приведем идею другого решения, дающего значительное лучшеую оценку. Расмотрим произвольное разбиение $f$ данных точек на два неупустых множества, каждое из которых лежит целиком по одному сторону от некоторой прямой $l$. Таким прямых для данного разбиения, конечное, бесконечно много, но одну из них всегда можно получить, повернуть по часовой стрелке прямую, соединяющую две качёные точки $A$ и $B$ на очень маленький угол вокруг середины отрезка $AB$ (рис. 2); эту прямую обозначим $l_f$. Число прямых $l_f$, а значит и число расстояний «выпуклы» разбиений не превыходит числа пар точек $n(n-1)/2$.

Назовем балансом конфигурации суммарное число $b$ пересечений ее отрезков со всеми прямыми $l_f$; ясно, что $0 \leq b \leq (n(n-1)/2)^2$. При операции типа $a$ число пересечений любой прямой $l_f$ с отрезками конфигурации не увеличивается, а по крайней мере для одной прямой оно уменьшается на 2. Следовательно, $T_n \leq n^2(n-1)^2/8$. Интересно было бы получить еще более точную оценку для $T_n$.

6. Приведем пример, показывающий, что для операции «типа $\delta$» — замены пересекающих отрезков $AC$ и $BD$ на имеющие общий конец $AB$ и $BC$ — процесс может «зациклиться» и тем самым продолжается неограниченно. Расположим 18 точек в вершинах правильно 18-угольника и обозначим через $D(k,l)$ конфигурацию из 36 отрезков, в которой каждая из 18 точек соединена с $k$-й и $l$-й от нее по счету.

Чтобы пройти за 54 операции путь $D(4,8) \rightarrow D(5,9) \rightarrow D(6,7) \rightarrow D(4,8)$ (рис. 3), достаточно каждого из операций, изображенных на рисунке 4, проделать по 18 раз (поворачивая картину каждой раз на $20^\circ$).

По-видимому, существуют и примеры с существенно меньшим числом точек $n$ и длиной цикла $T$, чем $n=18$ и $T=54$.

Н. Б. Васильев, В. Е. Колосов

36

М928. В кинотетре $N+1$ место. Вначале $N$ человек, имеющие билеты с указанием места (в их числе и Игорь) сели на произвольные $N$ мест, неелядя на своих билеты. Пришедший последним $(N+1)$-й зритель хочеет занять свое место; если оно занято — с одной стороны там, тот поступает так же и так далее, пока нужное сознанием место не оказывается свободным. Какова вероятность того, что Игорю придется пересесть? (Другими словами, какую долю сред всех возможных размешений зрителей составляют невьюдные для Игоря?)

Ответ: 1/2. Докажем, что выгодных для Игоря размешений столько же, сколько невьюдных, установлен взаимноозначное соответствие между теми и другими.

Пусть при некоторых исходном размешении $P$ $N$ зрителей на $N+1$ местах Игорь пересеел на свободное место. тогда получится новое размешение $P'$. Таким образом, все возможные размешения разбиаются на пары $(P, P')$ и достаточно показать, что в каждой паре одно размешение — выгодное для Игоря (его не стоит), а другой — невьюдное.

Если $P$ — выгодное размешение, то последний зритель, участующий в пересадках (то есть имеющий билет на свободное место), при размешении $P'$ стоит Игоря. Значит, $P'$ — невьюдное размешение. Если же $P$ — невьюдное размешение, то зритело, который стоит Игоря, при размешении $P'$ стоит будет некого, поэтому на нем пересадки закончатся, то есть $P'$ — выгодное для Игоря размешение.

И. В. Алексеев-Астафев

М929. Нагуральные числа $a, b, c, d$, е удовлетворяют условию $a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4$. Докажите, что по крайней мере $a$ три из них четны, $b$ три делятся на 5, $b$ два делятся на 10.

Малая теорема Ферма
Для любого целого числа $n$ и простого числа $p$ число $n^p - n$ делится на $p$.

ОТВЕТ: 1/2. Докажем, что выгодных для Игоря размешений столько же, сколько невьюдных, установлен взаимноозначное соответствие между теми и другими.

Пусть при некоторых исходном размешении $P$ $N$ зрителей на $N+1$ местах Игорь пересеел на свободное место. тогда получится новое размешение $P'$. Таким образом, все возможные размешения разбиаются на пары $(P, P')$ и достаточно показать, что в каждой паре одно размешение — выгодное для Игоря (его не стоит), а другой — невьюдное.

Если $P$ — выгодное размешение, то последний зритель, участующий в пересадках (то есть имеющий билет на свободное место), при размешении $P'$ стоит будет некого, поэтому на нем пересадки закончатся, то есть $P'$ — выгодное для Игоря размешение.

И. В. Алексеев-Астафев

a) Заметим, что число $n^4$ при четном $n$ делится на 16, а при нечетном $n$ дает при делении на 16 остаток 1. (Действительно, при $n=2k+1$
$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)=$
$=8k(k+1)(2k^2+2k+1)$,
а $k(k+1)$ всегда делится на 2.)
Следовательно, остаток от деления $a^4+b^4+c^4+d^4+e^4$ на 16 равен количеству нечетных чисел среди $a, b, c, d$. А поскольку он должен совпадать с аналогичным остатком для $e^4$, мы получаем, что условие задачи может выполнять, только если все цейел четыны, или если число $e$ ировно одно из остальных чисел нечетны. Тем самым доказано и утверждение a).

6. Для остатка от деления числа $n^4$ на 5 справедливо утверждение, аналогичное доказанному в пункте a): этот остаток равен 0 или 1 в зависимости от того, делится $n$ на 5 или нет. (Действительно, если $n=5k±1$, то $n^2-1=5k(5k±2)$ делится на 5; если $n=5k±2$, то $n^2+1=5k(5k±4)+5$ делится на 5. Поэтому $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1)$ всегда делится на 5, если $n$ не кратно 5. Это утверждение есть частный случай называемой малой теоремы Ферма, формулировка которой приводится на полях.)

Теперь точно так же, как в решении пункта a), доказывает, что либо все числа $a, b, c, d, e$ делятся на 5, либо число $e$ ировно одно из остальных чисел не делятся на 5, откуда следует 6).
в) Рассмотрим три случая.

1. Число $e$ четно. Из решения задачи a) следует, что все остальные числа тоже четны, а из решения задачи 6) — что по крайней мере три из них делятся на 5, а значит, и на 10.

2. Число $e$ делится на 5. Этот случай рассматривается так же, как предыдущий: все

38

ля $f_0 = e_1 - e_0$ и $f_1 = e_2 - e_0$ из множества $F$, разность $f_1 - f_0 = e_2 - e_1$ которых тоже должна принадлежать множеству $F$, что противоречит нашему предположению.

Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Рассуждая так же, как в приведенном решении, нетрудно показать, что утверждение задачи выполняется для любого разбиения первых $N$ чисел $1, 2, ..., N$ на $k$ множества при

$$N = N_k = k! \left( 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{k!} \right)$$

($n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$). Значения $N_k$ для $k = 1, ..., 6$ вычислены на полях. Очевидно, что и для любого $N \geqslant N_k$ утверждение задачи будет верно для $k$ множества; в нашем случае $1985 > 1957 = N_6$. Отметим, что сумма в скобках в правой части (3) при $k \to \infty$ очень быстро скодится к основанию натуральных логарифмов — числу $e = 2,718$… Может проверить, что $N_k = [k! e]$, однако эта красивая формула, к сожалению, не дает наименьшее подходящего значения $N$ для данного $k$; например, для $k = 3$ наименьшее значение равно 14, а не 16. Здесь возможно интересная, но, видимо, трудная задача оценки этого наименьшего значения сизу. Верно ли, например, что оно всегда больше $ck!$, где $c$ — некоторая постоянная? Лучшей известной пока оценкой остается $(3^k - 1)/2$ А. Ходлева (см. решение задачи М540, «Квант» № 12, 1979, с. 23).

А. Д. Валцев, В. Н. Дубровский

Ф938. Пилот космического корабля, движущшегося со скоростью $v = 1$ km/c, затем при по курсу астрофуд диаметром $d = 7$ km, когда до его поверхности оставалось расстояние $l = 8,5$ km. Космонавт сразу же включил аварийные двигатели, которые за пребежимое малое время сообщают кораблю дополнительную скорость $\Delta v = 300$ м/c, направление которого задается космонавтом. Можно ли корабль избежать столковения?

♦

Чтобы избежать столковения, космонавт должен также изменить скорость корабля, чтобы угол между первоначальным направлением «на астерид» и новым курсом был больше угла $\alpha_0$, определяемого условиями (рис. 1)

$$\sin \alpha_0 = \frac{d/2}{l + d/2} = \frac{d}{2l + d} \approx 0,292.$$

Максимальное отклонение от первогоначального курса при сообщении кораблю дополнительной скорости $\Delta v$ обеспечивается в том случае, когда вектор $\vec{\Delta v}$ оказывается перpendикулярным вектору $\vec{v}_1 = \vec{v} + \vec{\Delta v}$ (рис. 2), то есть когда

Рис. 1.

Рис. 2.

$$\sin \alpha = \frac{\Delta v}{v} = 0,3.$$

Значит, при включении аварийных двигатели космонавт может изменить курс корабля на угол $\alpha > \alpha_0$, и столковения с астеридом не произойдет.

А. В. Андрианов

Ф939. Дно соуда наклонено под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту. В дне имеется полусферическая выпуклость радиусом $R$

♦

Рассмотрим тело, имеющее форму половины шара радиуса $R$. Предположим, что оно находится Q и ориентировано в про-

39

(рисунок 1). Высота столька жидкости над выпуклостью равна Н. Какая вертикальная сила действует со стороны жидкости на выпуклый участок дна? Плотность жидкости равна q.

Рис. 1.

Рис. 2.

странские точки так же, как и выпуклость в дне данного сосуда.

Согласно закону Архимеда, на это тело действует выпталкивающая сила $\vec{F}$, направленная вертикально вверх и равная по modulo

$$F = \varrho g V = \varrho g \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

С другой стороны, силиу $\vec{F}$ можно представить как равнодействующую двух сил давления со стороны жидкости: силии $\vec{F}_1$, действующей на «основание» половины шара, и силии $\vec{F}_2$, действующей на его боковую поверхность (на рисунке 2 показаны два возможных сличая):

$$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2.$$

Нас интересует проекция силии $\vec{F}_2$ на вертикальную ось (обозначим ее через X и направим вверх):

$$F_{2x} = F - F_{1x} \quad (\text{для одного сличая})$$

или

$$F_{2x} = F_{1x} - F \quad (\text{для другого сличая}).$$

Для нахождения модуля и проекции силии $\vec{F}_1$ заметим, что давление линейно возрастает с глубиной и поэтому можно воспользоваться его средним значением:

$$F_1 = p_{cp} S = \varrho g (H + R) \pi R^2,$$
$$F_{1x} = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha.$$

Тогда для исключения получим

$$F_{2x} = F - F_{1x} = \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3 - \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha$$

или

$$F_{2x} = F_{1x} - F = \varrho g (H + R) \pi R^2 \cos \alpha - \frac{2}{3} \varrho g \pi R^3.$$

При угле $\alpha = 45^\circ$ первый сличай оказывается невозможным: $2/3 < \cos \alpha = \sqrt{2}/2$, поэтому $F_{2x} < 0$, чего в данной ситуации быть не может. Таким образом, остается второй сличай:

$$F_{2x} = \varrho g \pi R^2 \left( (H + R) \cos \alpha - \frac{2}{3} R \right).$$

Л. Г. Маркович

Ф940. Почему прикладке кирпичных печей для скренления кирпичей используется глиной растор, а не, например, цементный (хотя он более твердый)?

В печи возможны большие и неравномерные по времени и по объему перепада температуры. Если кирпичи и растор сделаны из разных материалов (то есть из материалов с разными коэффициентами теплового расширения), то при изменении температуры (охлаждение, нагрева) они будут по-разному менять в объеме (расширяться, скиматться). Это приведет к возникновению больших внутренних напряжений в местах контактов кирпич — растор; в результате печь растрескается.

В. А. Ильин

Ф941. В магнитном поле постоянного прямолинейного тока находим квадратная рамка ABCD (см.

40

рисунок). Рамку переводят в новое положение, показанное на рисунке пунктиром. Это можно сделать двумя способами: равномерным поворотом вокруг стороны CD или равномерным параллельным переносом вдоль AD. При каком способе выделится больше теплла, если время перевода рамки в новое положение в общих случаях одинаковое?

Ф942. Плокая световая волна падает нормально на экран Э. Как изменится освещенность экрана в точке M (см. рисунок), если на пути волны помещить полубесоничную непрозрачную пластину П, параллельную экрану?

Волновая поверхность плоской волны — плоскость, перpendикулярная направление распространения волны. На пластину П свет падает нормально, поэтому плоскость, в которой помещают пластину, является одной из волновых поверхностей, и ее можно рассматривать как совокупность одинаковых вторичных источников, колблющихся в фазе. Результатрушое колбание в точке M на экране представляется собой суперпозицию колбаний, приходящих от этих источников.

При внесении пластины закроется половина вторичных источников. Поэтому амплитуда результирующего колбания в точке M уменьшится в 2 раза. Освещенность экрана в точке M пропорциональная квадрату этой амплитуды. Следовательно, при внесении пластины освещность уменьшится в 4 раза.

Д. А. Купцов

Это было так, точно изnod носила земля и ниде не было видно твердой почвы, на которой можно было бы стройти. Мне всегда казалось удобом, что этой колблющейся и полной противорецей основы оказалось достаточно, чтобы позвольть Бору — человеку с генциальной интушцией и тонким чутем — найти главнейшие законы спектральных линей и электронных оболочек atomов, включая их значение для химии. Это качество мне удалось и теперь. Это называшая музыкальность в области мысли.

А. Эйнштейн

Во всей мировой науки в нашей дини не было человека с таким влиянием на естественное, как Бор. Из всех теоретических троя Бора была самой значительной.

П. Капица

Я приехал в СССР, чтобы встретиться со старыми друзьями и найти новых, потому что содержатель учены разных стран помогает не только развитию науки, но и делу мира.

Н. Бор

Я до сих пор изучлась, когда смотрю на ядерный реактор.

Н. Бор

Если я что-нибудь неhmожко умело, то разве что думать… Н. Бор

Квантовая теория волше не bleibt меня к своим проблемам. Ныне первоотененная проблема — найти путь к предотвращению ядерной волны!

Н. Бор