Пифагор

8

нель, который строит начали копать с обеих сторон горы, причем расчета были настолько точными, что оба хода аккуратно сошлись в глубине. Отцом Пифогора называют Мнесарха, известного камнезда. По словам английного биографа, будучи юношей,яждушим знаний, Пифогор покинул родной остров, чтобы объехать мир, и побивал почти во всех эллинских и во многих чужеземных странах. Пифогор служал заменить греческих учены и восторгался чудесами Востока. Расссказывали, что он был в сокровенных святилищах Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов, спускался в танистенную пещеру Крита, с которой был связан миф о современии богов.

Вернувшись на Самос, Пифогор нашел свою родину под тираней Поликрата. Увидев, как говорит английный биограф, что тирания сликом сcilна, чтобы «свободный человек мог с достоинством переносить произвол и дееспотизм», он решил удалиться в Южную Италию, где тогда находились замененные эллинские колонии. Он поселился в италийском городе Кротоне, для граждан которого он составил законы. Расссказывали, что обходя чужеземные города, Пифогор исцелял больших, дикие звереи позволяли ему гладить их, реки приветствовали его человеческими голосами, что его одновременного могли видеть в двух различных местах. Этот служам способствовал как необыкновенная личность философа, так и его религиозно-мистическое учение.

Пифогорейский союз. Вскоре вокруг Пифогора возник многочисленный крупок преданных ему учеников, «ибо он настолько превозелел слабой всех остальных, что вся молодежь хотел бы его учениками». Вскоре из них был организован пифогорейский союз или братство, которое было одновременно научным обществом, религиозным союзом и политическим клубом. Доступ в него был открыт не для всех. Испытемый должен был прояты длительный искус; говорили даже, что ему предписывалось хранить молчание в течение пяты лет. Хотя через столетие после смерти Пифогора союз уже распался, почти все великие математики древности назвали себя пифогорейцами.

Matematическая доказательство. Мы говорили уже, что Пифогор был создателем математики как науки. Но разве до него люди не умели считать, складывать и умножать дроби, вычислять простейшие площади и объемы? Конечно, умели. Они умели даже решать квадратные уравнения! И все-tаки математики как науки тогда еще не было. Математические знания, которые передавались почти без изменения из поколения в поколение на противжения тысячелетей, не были организованы в системе — они положили скорее на собранные рецептов, в правильности которых можно было убедиться при решении конкретных задач.

Пифогор понял, что основой математики является доказательство. Где нет его — нет и математики. Что же такое доказательство и для чего оно нужно?

Допустим, мы хотим установить, что сумма углов треугольника равна 180°. Как это сделать? Поступит так: аккуратно нарисуем треугольник (тушью в тетради или мелом на доске) и изменим его углы с помощью транспортира. Сложив их, мы получим число, близкое к 180°. Что же мы выязывали? Только то, что наиссованный нами треугольник имеет сумму углов, равную, скажем, 180°01′. Мы можем продолжить наши изменения, рассматривая другие нарисуемые треугольники, и будем всякий раз получить результат, близкий к тому, который мы хотим установить. Результаты будут приближенными, во-первых, потому, что линейка, которой мы пользовались, не будет абсолютино прямой (в чем можно убедиться, посмотрев на нее в лупу). Во-вторых, и углы, измененные транспортиром, будут найдены не вплоне точки. Но даже если бы нам удалось достать идеально точную линейку и транспортир, мы бы все-tаки не установленны наше предложение, потому что треугольников бесконечного много и мы никогда не сможем для всех них найти сумму углов.

Пифогор, видимо, первый пришел к мысли, что математика рассматривает абстрактные объекты (то есть идеально прямые линии без ширины, точки, не имеющие размеров, и т. д.) и что свойства их следует установить не с помощью изменений, а с помощью рассудения. Например, для доказательства теоремы о сумме углов треугольника нарисуем, как это делал Пифогор, произвольный треугольник (его можно рисовать от рук, не пользоваться линейкой) и проведем через его вершину B прямую LM, параллельную основанию AC (рис. 1). Тогда $\angle LBA = \angle BAC = \alpha$, а $\angle MBC = \angle BCA = \gamma$ (как накрест лежшие углы). Но сумма $\angle LBA + \angle ABC + \angle MBC$ составляет развернутый угол, то есть равна 180°. Значит, сумма углов любого треугольника будет равной 180°.

9

Рис. 1.

Однако при доказательстве мы опирались на свойства параллельных прямых, которые тоже нуждаются в доказательстве. Их доказательство будет опираться на какие-то другие свойства и так далее. Итак, известная рассмотренная бесконечного числа треугольников, мы «попали в лапы» другой бесконечности — пришли к необходимости проведения бесконечного много доказательства. Предложение A мы свели к предложению B, которое сведется к предложению C, то есть $A \Leftarrow B \Leftarrow C \Leftarrow \dots$.

Как же быть? Ясно, что на каком-то месте надо остановиться, какие-то предложения надо принять без доказательства. Но ведь так мы можем получить бесконечного много «неодоказуемых» предложений, иными словами, снова «попасть в лапы» бесконечности! И вот следующая генциальная мысль Пифогора (или его современников) состоит в том, что в геометриноможно выбрать конечное число недоказуемых предложений (названных впоследствие аксиомами), из которых уже можно будет вывести все остальные.

Итак, математика, по Пифогору, изучает свойства абстрактных объектов; средствам установления истинных является доказательство, которое проводится, исходя из конечного числа отображенных предложений, принятых без доказательства.

Не надо думать, что эти идеи были восприняты сразу. На Пифогора и его последовательей обрушился поток наадок, насмешек; некоторые учены называли его неумным многоознайкой и шарлатном, говорили, что никак не видел линей без ширины или кругов, касающийся прямой только в одной точке. Однако Пифогор и его ученики продолжали развивать наук на новом прочном фундаменте.

«Математа». Так пифогорецы называли свою систему знаний. «Математа» состоит из четырех частей: арифметики, геометрии, астрономии и учении о гармонии (теории музыки). Первые две из них были чисто теоретическими — мы и теперь относим их математике, другие две были приложением арифметики и геометрии к изучению небесных тел и законов созвучий — мы бы отнесли их к математической физике.

Мы мало знаем об арифметике пифогорецев. Достоверно известно, что в ней изучались целые числа и их отношения, то есть рациональные числа. Платон в своих диалогах называет арифметику «учением о четырех и нечетных числах». Мы можем восстановить это учение по книге IX «Начал» Евклида, в конце которой (предложение 21-34) оно воспроизводится. Пифогор разделил все целые числа на четырьмя (делящесся на 2) и нечетные (не делящесся на 2) и доказал функменту теорему: произведение двух чисел четного тогда и только тогда, когда по крайней мере один из компонентей четырех. Это была первая теорема теории делимости, последившая модель для формулировки и доказательства более общей теоремы: произведение двух чисел чисел делится на простое число р тогда и только тогда, когда на него делится по крайней мере один из компонентей. Из этой последней теоремы следует закон однозначности разложения целого числа на простые множители. Аналогично из теоремы Пифогора следует, что каждое целое число однозначно представимо в виде $N=2^kN_1$, где $N_1$ — нечетное, а $k$ — целое неотрицательное числа. Учение о четырех и нечетных позвольло пифогорецам доказать ряд чрезвычайно важных теорем, к которым мы еще вернемся.

В геометрии Пифогора привлекали правильные фигуры и тела. Так, он знал, что плоскость можно «замостить» правильными треугольниками, квадратами и шестиугольниками. Он умел строить правильный пятугольник — как выпуклый, так и звездчатый. Пятиконечная звезда сцитлась символьом здоровья, а вскоре вообще стала опознавательным знаком для пифогорецев, разбросанных по всему древнему миру. Венчала геометрию теорема Пифогора, которая имеет функментальное значение и в самом математике, и в ее приложениях. Как доказывал ее Пифогор? Нам это, увы, неизвестно.

Пифогор развил также учение о подобии, причем первоначально он, по-видимому, считал, что все отрезки созмерными, а значит, их отношение можно выразить рациональным числом, то есть в основе его теории подобия лежала арифметика разнональных чисел.

10

Открытие несоизмеримости. Обратимся теперь к величайшейому открытию Пифагора, которое доставило ему немерknушую славу и ознакомило триумф математики. Мы говорим об открытии несоизмеримых отрезков, или, иначе — irrationalности.

Но что это такое? Пусть нам дан квадрат со стороны 1. Тогда, по теореме Пифагора, квадрат его диагонали равен
$$c^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$$
Чему же равна сама диагональ $c$? Попробуем узнать это, извлекая корень из 2.

Если вы применете за эту работу, то получите сначала $c_1 = 1$, затем $c_2 = 1,4$, затем $c_3 = 1,41$ и т. д. Наконец, вы должны до 10-й цифры, и это занятие вам надоест. Вы скажете: «Хватит! Этот рядикогда не кончится». Но мы возразим вам: «Продолжайте! А вдруг он закончится на 11-й или 20-й цифре?». Увы, мы снова «попали в лапы» бесконечности!

Но и здесь находится выход Пифагор. Он рассудил так: пусть $c$ можно выразить рациональной дробью $p/q$. Предполагаем, что $p$ и $q$ не могут быть оба четными (инначе мы бы сократили дробь на 2). Возвода равенство $\sqrt{2} = p/q$ в квадрат, получим $2p^2/q^2$ или
$$p^2 = 2q^2$$
(1)

значит, $p^2$ делится на 2. Отсюда Пифагор на основании основной теоремы о четных и нечетных заклонает, что и число $p$ четно. Значит, $q$ нечетно (инначе мы сократили бы дробь $p/q$ на 2). Итак, $p = 2p_1$. Подставляя в равенство (1), получим $q^2 = 2p_1^2$, то есть $q^2$ делится на 2, тогда по предыдущему и $q = 2q_1$, значит, $q$ четно. Мы пришли к противоречию, так как число $q$ должно быть одновременно и четным, и нечетным, что невозможно.

Открытие несоизмеримых величины глубоко поразило всех эллинов. Это было теоретическое предложение, которое, как казалось, противоречило все изменительной практике! Ведь на практике все величины соизмеримы: мы терим их с точностью до сантиметра, миллиметра, микрона, но всегда получаем в результате рациональные числа. Открытие несоизмеримости можно сравнить с открытием Коперника, которое также противоречит нашимповседневным наблюдаемым восходов и заходов Солнца, или с открытием геометрии Лобачевского. По преданию, пифогорейцы держали это открытие в тайне, желая, по-видимому, найти ему достойное место в своей «математа», а пифогорец Гипас, который разгласил тайну, был за это покаран богатами: он утомил, потерпев кораблекрушение. Знаменитый пифософ древности Платон (конец V — начало IV в. до н. э.) писал, что поздно узнал о несоизмеримости и что до этого он был подобен неразумному животному. Другой великий философ, ученик Платона,ρισстель, рассуждая о том, как возникла наука, писал: «все начинают с удивления (…), удивляются ли, например, загадочных самодвижущимся игрушкам, или солнцеворотам, или несоизмеримости диагонали, либо всем, кто еще не устотрел причину, кажется удивительным, если что-то нельзя измерить самой малой мерой» (Метафизика, книга 1, гл. 2).

Ученики и последователи Пифагора вскоре обнаружили, что кроме $\sqrt{2}$ имеется еще целый ряд ирациональных чисел: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, ..., \sqrt{15}$, или, как они говорили, что стороны квадратов с площадью 3, 5, 6, …, 15 несоизмеримы со стороны единичного квадрата. В диалоге Платона «Театет» расссказывает, что пифогорец Федор из Кириены проел афинским юношам лекцию, где провел соответствующее доказательство для $\sqrt{17}$.

Вудем действовать методом Пифагора: пусть нам надо доказать ирациональное $\sqrt{d}$, где $d$ — целое некавадратное число. Если $d$ четно, то доказательство проводится последно так же, как и для $\sqrt{2}$. Пусть $d$ нечетно, и предположим, что $\sqrt{d} = p/q$; тогда
$$p^2 = dq^2.$$
(2)

Можно показать, что в этом случае $p$ и $q$ будут нечетными, то есть будут иметь вид $2n+1$, тогда квадраты их будут вида $4(n^2+n)+1$ или $\frac{n(n+1)}{2} + 1$, где $\frac{n(n+1)}{2}$ — целое. Подставляя эти значения в формулу (2) и группируя члены, получим
$$8\left(\frac{n(n+1)}{2} - d\frac{m(m+1)}{2}\right) = d-1.$$
Левая часть равенства делится на 8, значит, и права должны иметь вид $8k$, то есть должны быть $d=8k+1$. Если число $d$ не имеет такого вида, как, например, 5, 7, 11, 13, 15, то приём к противоречению, которое и опровергает сделанное предположение. Если же $d$ имеет вид $8k+1$, то этот метод доказательства отказывается служить. Так будет числа 9, но оно — полный квадрат, и для 17. Вот почему, веройтоно, Федор и остановился на этом числе.

Средди служатей Федора был молодой талантливый математик Театет.

12

ца, Луны и планет, но до Пифагора
никто не пытался построить модель
Солнечной системы. Пифагорейцы
первые построили математическую
модель мира, они считали, что выразить закономерности природы можно с помощью числа, что «все есть число». Всю Вселенную, как писал Аристотель, он «признал гармонией и числом».

Гармония. Идея о возможности построения числовой модели мира былаположена Пифагором в основу его теории музыки. Пифагор обнаружил, что качественные отличия в звучании струн обусловливаются чисто количественных различиями, а именно длиной струн. Одновременное звучание двух срун будет приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкам интервалам в октаву, квантуу. Оценная открытие Пифагора, крупнейший немецкий физик Зоммерфельд писал, что день, когда оно было сделано, можно назвать днем рождения математической физики. И действительно, гармонический колеблющесистемы сыграли огромную роль в физике. В 20-х годах нашей века аналогия между колеблющесисткой, изданной тоньей определенной частицы, и атомом, испускающим излучения определенной частицы, которые также определились отношениями целых чисел, последняя ключом для создания квантовой механики. Это остоятельство было отмечено А. Эйнштейном:

«Таким образом, — писал он, — мы открыли неокторое подобное между колебанным струны и атомом, испускающим из элементов частицы: из тяжелых, составляющих ядро, и легких — электронов. Такая система частиц ведет себя подобно маленьком акустическому инструменту, в котором производятся стоящие волны» (А. Эйнштейн, Л. Инфельд. Эвольочная физика. М.: Наука, 1963, с. 224).

Астрономия. Пифагор полагал, что Земля имеет форму шара и что она находится в центре Вселенной. Вокруг нее располагаются восемь концентрических сфера — это сферы Луны, Солнца, пяты планет и неподвижных звезд. Внешняя сфера — сфера неподвижных звезд — делает за сутки полный оборот вокруг Мировой оси, увеличая в своей движении все семь остальных сфера. Оdnako Луна, Солнце движение, которое происходит в направлении, обратном суточномуращению сфера. Воспледствии пифагорейцы пришли к выводу, что и Земля не остается неподвижной, а врашается вместе с другими планетами вокруг Центрального огня. Эта мысль более чем на 2000 лет предосчитила идею Коперника о том, что Земля не занимает центрального положения в Солнечной системе.

Замечательно, что Пифагор сразу попытался создать астрономистическиевоззрения с теории музыки. Он считал, что каждая планета, движясь по своей орбите, изделия определяющей звук, причем тонá таковы, что при движении всех семи планет звучит «музыка сфера». Пифагор называл даже Солнечный системе семиструнной лирой. Он уверял, что может слышать эту дивную музыку, которое оставьте люди услышат только после смерти.

Мы уже говорили, что идеи Пифагора неожиданного получили новую жизнь в нашем веке, но уже в применении к миру атомов. Зоммерфельд, о котором мы уже упоминали, писал:

«To, что нам сегодня удается понять на языке спектров, — это истинная музыка атомных сфера, созвучие целочисленных отношений, всевозрастание порядок и гармония при всем их многообразии.

…Все целочисленные закономерности спектральных линий и атомистки в конце концов вытекают из квантовой теории. Она представляет собой тот полный тиннства инструмент, на котором природа использует спектральную музыку иритом которого она управляет строением атома и атомных ядер» (А. Зоммерфельд. Путти познания в физике. М., Наука, 1973, с. 255).

Говорят, что наука отличается от искусства тем, что в во время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стреют. К счастью, это не так, и творчество Пифагора — лучший тому пример. Он был не только величайшим, но и частливейшим генем, так как его идеи и теории не сошли со сцены, продолжая до них пор волновать умы. Ни одна из его научных идеей неумерла. С каждым новым этапом науки они меняли свой облик, чтобы вновь будут и волновать ум и сердце ученых.