Задачи М961—М965; Ф973—Ф977

Квант 1986, №1 с. 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43 Тег QFBH

Задчи

M961—M965; Ф973—Ф977

M961. На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD — точка F, причем AE:EB=1:2, CF=FD. Будут ли головой и розовый треугольник (рис. 1) подобны?

A. П. Савин, Н. А. Паравян

M962. Докажите, что ни для какого многочлена P(x) с целыми коэффициентами не могут найти такие различные целые числа x₁, x₂, …, xₙ (n ≥ 3), для которых выполнялись бы равенства P(x₁)=x₂, P(x₂)=x₃, …, P(xₙ-1)=xₙ, P(xₙ)=x₁.

Думитру Раду (Румыния)

M963. При пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке.

T. Газарян (уч. 10 класса)

M964. Докажите, что в последовательности (aₙ) различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию aₙ<100n, найдется число, в десятичной записи которого a) встречается цифра 1;
б) встречается 1986 единиц подряд.

A. А. Столин

M965. Дано шесть чисел a₁, a₂, …, a₆. Чтобы подсчитать «в люб» сумму их попарных произведений a₁a₂+a₁a₃+…+a₅a₆, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Докажите, как можно найти сразу сумму этих чисел, сумму их произведений по два, по три, по четыре и по пять, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

H. В. Васильев

Ф973. Тело начинает двигаться прямолинейно из точки A и через время T попадает в точку B a) с максимальной возможной скоростью, 6) с минимальной возможной скоростью; расстояние |AB| равно l. Найти скорости тела в этих двух случаях, если скорость в точке A v₀=0 и ускорение тела — a₀ < a < a₀.

Д. А. Акопян

Ф974. Определите период малых колебаний системы, изображенной на рисунке 2; масса груза m, упругость推销ны k, AOB=α. Стержень и блок считать гладкими,推销ну невесомой. Пружина закреплена в точке A. Изменится ли период колебаний, если в точке O также закрепить груз m?

Л. Г. Маркович

Ф975. Между пластинами плоского конденсатора площадью $S$ , расстояние между которых $d$ , движется со скоростью $\vec{v}$ плоскопаралельная протяженная проводящая пластина толщиной $d/2$ . Вдоль пластины перепendlулярно $\vec{v}$ действует постоянное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$ . Определените напряжение на конденсаторе емкостью $C$ , соединенным с пластинами так, как показано на рисунке 3.

Е. А. Ромищевский

Ф976. Моль идеального одноатомного газа переводится из начального состояния в конечное, как показано на рисунке 4. Определените подвеждение газу тепло, если разность начальной и конечной температуры равна $\Delta t = 100^\circ\text{C}$ .

С. М. Коршунов

Ф977. На стене, плоскость которой отклонена от вертикали на $4,87^\circ$ (рис. 5), укреплено зеркало. С какого максимального расстояния человека рост которого 170 см, может увидеть в зеркале хотя бы часть своего изобравжения?

Е. П. Кузнецов

Problems

M961—M965; P973—P977

M961. Points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ of the square $ABCD$ respectively so that $AE:EB=1:2$ , $CF=FD$ . Will the blue and pink triangles on Fig. 1 be similar?

A. P. Savin, N. A. Paravyan

M962. Prove that there is no polynomial $P(x)$ with integer coefficients for which one can find distinct integers $x_1, x_2, ..., x_n$ ( $n \ge 3$ ) satisfying the relation

$P(x_1) = x_2, \quad P(x_2) = x_3, \quad ..., \quad P(x_{n-1}) = x_n, \quad P(x_n) = x_1.$

Dumitru Radu (Rumania)

M963. The opposite sides of a hexagon are parallel. Prove that the lines joining their midpoints intersect at one common point.

T. Gazarian (10th form pupil)

M964. Prove that it is possible to find, in any sequence $\{a_n\}$ of distinct natural numbers satisfying the condition $a_n < 100 n$ , a number whose decimal expansion contains a) the digit 1; b) 1986 digits 1 in a row.

A. A. Stolin

M965. Six numbers $a_1, a_2, ..., a_6$ are given. In order to compute the sum of their pairwise products $a_1a_2 + a_1a_3 + ... + a_5a_6$ in the direct way, 15 multiplications and 14 additions are required. Show

M942. Числа 1, 2, …, 2n−1, 2n разбиты на две группы по n чисел в каждой. Пусть $a_1 < a_2 < ... < a_n$ — числа первой группы в порядке возрастания, $b_1 > b_2 > ... > b_n$ — числа второй группы в порядке убывания. Докажите, что $|a_1 - b_1| + |a_2 + b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2$ .

Заметим, что из двух чисел $a_k$ и $b_k$ одно всегда не превосходит $n$ , а другое — больше $n$ . Действительно, если, например, $a_k \leq n$ и $b_k \leq n$ , то и все числа $a_1, a_2, ..., a_k$ и $b_k, b_{k+1}, ..., b_n$ не превосходят $n$ . Всего мы получаем $k + (n - k + 1) = n + 1$ различных натуральных чисел, не превосходящих $n$ , что невозможно. Аналогично доказывается, что оба числа $a_k$ и $b_k$ не могут быть больше $n$ .

Таким образом, каждое из слагаемых $|a_k - b_k|$ в нашей сумме равно разности числа, больше $n$ , и числа, не превосходящего $n$ . Раскрывая модель и переставив слагаемые, получим

$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) - (1 + 2 + ... + n) = n^2.$

В. В. Произвольв

M943. Последовательность $a_1, a_2, ...$ задается правилами: $a_{2n} = a_n$ при $n \geqslant 1$ и $a_{4n+3} = 0$ при $n \geqslant 0$ . Докажите, что эта последовательность не имеет периода.

Доказательство проведем от противного. Пусть последовательность имеет период $T = 2^p \cdot q$ , где $q$ нечетно. Если $q = 4m + 3$ , то при $k \geqslant p + 2$

$a_{2k} = a_{2k+T} = a_{2p(2^k - p + q)} = a_{2p-1(2^k - p + q)} = ...$

$... = a_{2k-p+4m+3} = a_{4(2^k - p - 2 + m)+3} = 0.$

но в то же время

$a_{2k} = a_{2k-1} = ... = a_1 = 1.$

Противоречие.

Если же $q = 4m + 1$ , то в проведенном рассуждении число $T$ надо заменить на число $3T = 2^p (4 \cdot 3m + 3)$ , которое также должно быть период нашей последовательности.

С последовательностью $(a_n)$ связана заменательная бесконечная ломанная $A_0 A_1 A_2$ … с равными звеньями, каждое из которых (начиная с $A_1 A_2$ ) составляет угол $90^\circ$ с предыдущим, причем в вершине $A_n (n \geqslant 1)$ ломанная поворачивает налево, если $a_n = 1$ , и направо, если $a_n = 0$ . Эта ломанная называется «главной ломанной дракона» (см. статью Н. В. Васильева и В. Л. Гутенхаера «Кривые дракона» в «Кванте» № 2 за 1970 г.).

Ю. В. Нестеренко

M944. Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 1. Во всех 19 узла образовающей фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбита имеет по крайней мере 7 таких, в вершинах которых треугольник чисел записаны в порядке возрастания против числовой стрелки.

От каждой из сторон треугольников проведем стрелку, направленную влево от стороны, если двигается по ней от вершины с меньшим числом к вершине с большим числом (рис. 2). Если числа, записанные в вершинах неокоторого треугольника, возвращают при обход вершин против часовой стрелки, то внутри этого треугольника находитсяровно две стрелки; если по часовой — торовно одна (рис. 3). Пусть треугольник первого типа — $n$ , второго — $m(n + m = 24)$ . Посокльку общее число $N$ строит внутри шестиугольника равно $2n + m$ , нам достаточно доказать, что $N \geqslant 31$ (тогда $n = N - (n + m) \geqslant 31 - 24 = 7$ ).

Стрелки, ответающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведomo лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутри. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы все большее число.) Итак, $N \geq 30 + 1 = 31$ .

А. А. Берзиньш

M945. Дана строго возрастищая неограниченная последовательность положительных чисел $a_1, a_2, \dots$ . Доказите, что для всех достаточно больших $k$ справедливо неравенство

a) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1$ ;
b) $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - 1985$ .

a), 6) Положим

$s_k = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}}.$

и докажем, что при любом достаточно большом $k$ $s_k < k - 1/2$ .

Поскольку последовательность $a_1, a_2, \dots$ неограниченно возрастиет, найдется такое $K$ , что $a_1/a_K < 1/2$ , тогда при всех $k \geq K$

$k - s_k = \left(1 - \frac{a_1}{a_2}\right) + \left(1 - \frac{a_2}{a_3}\right) + \dots + \left(1 - \frac{-a_k}{a_{k+1}}\right)$

$> \frac{a_2 - a_1}{a_{k+1}} + \frac{a_3 - a_2}{a_{k+1}} + \dots + \frac{a_{k+1} - a_k}{a_{k+1}} = 1 - \frac{a_1}{a_{k+1}} > 1 - \frac{a_1}{a_K} > \frac{1}{2}$

Приемя это утверждение к последовательности $a_{m+1}, a_{m+2}, \dots$ , получим, что при всех достаточно больших $k$ , $k > m$ ,

$s_k - s_m = \frac{a_{m+1}}{a_{m+2}} + \dots + \frac{a_k}{a_{k+1}} < k - m - \frac{1}{2}.$

Выберем теперь такое $k_1$ , что $s_{k_1} < k_1 - 1/2$ , затем $k_2 > k_1$ так, что $s_{k_2} - s_{k_1} < k_2 - k_1 - 1/2$ , затем $k_3 > k_2$ так, что $s_{k_3} - s_{k_2} < k_3 - k_2 - 1/2$ , и т. д. Тогда при любом $k \geq k_n$

$s_k = \left(s_k - s_{k_n}\right) + \left(s_{k_n} - s_{k_{n-1}}\right) + \dots + \left(s_{k_2} - s_{k_1}\right) < (k - k_n) + \left(k_n - k_{n-1} - \frac{1}{2}\right) + \dots + \left(k_2 - k_1 - \frac{1}{2}\right) + k_1 - \frac{1}{2} = k - n/2.$

Отсюда вытекают оба утверждения задачи: a) — при $n = 2, 6$ ) — при $n = 2 \cdot 1985$ .

Л. Д. Курляндчик

**Ф953. Для точной подстройки частоты вращения диска электропроводателя (33 $\frac{1}{3}$ оборота в минуту) на его боковую поверхность наносят метки, которые освещают неоновый лампочкой с частотой 100 всыщек в секунду. Каким должно бы число меток, чтобы при номинальной скорости они казались нео逮ными? После отключения движения начало троицить диск, и метки «побезут». За

первые 4 с mismo точки наблюдения «пробегают» 10 меток. Через какое время диск остановится? Через какой промежуток времени метки «побегут» в другую сторону?

После отключения диска начинает равномерно тормозиться (при сухом трении силы при торможении не изменяются по величины). За 4 секунд при номинальной скорости должны пройти 400 меток, а диск «отстал» на 10 — значит, за это время скорость диска упала на $2 \cdot \frac{10}{400} = \frac{1}{20}$ от номинальной величины. Следовательно, диск остановится через $4 \cdot 20 = 80$ секунд, а через 40 секунд «побегут» в первый раз в другую сторону.

А. Р. Зильберман

Ф954. Декоративная квадратная штора размером $1,5 \times 1,5$ м высит на карнизе вдоль вертикальной стены. Нижний край шторы поднимают вверень с верхим, так что штора оказывается сложенной ввое, и отпускают. Найдите заисмешать силы, действующей на карниз, от времени. Штора тонкая, ладкая и имеет массу 3 кг.

♦
Рассмотрим положение шторы спустя время $t$ после начала ее падения. Так как штора мягкая, то левая ее часть свободно падает, а правая неподвижна (см. рисунок). При этом в момент времени $t$ левая часть движения со скоростью $gt$ . Так как штора мягкая и тонкая, пренебрежем размером области перегиба и ее импульсом. Спустя небольшой интервал времени $\Delta t$ затормозится еще часть шторы массой

$\Delta m = \frac{m}{d^2} gt \frac{d \cdot \Delta t}{2}$

(d — сторона шторы), которая до торможения имела импульс

$\Delta p = \Delta m \cdot gt = \frac{m}{d} (gt)^2 \frac{\Delta t}{2}.$

Приименим к этому кукушшторы закон изменения импульса, чтобы определить силу $T(t)$ , действующего на него со стороны висящей части шторы (по третьему закону Ньютона точно такая же по величине силы будет действовать вниз на висящую часть шторы). Итак,

$T(t) - \Delta m \cdot g = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m}{2d}(gt)^2,$

откуда

$T(t) \big|_{\Delta t \to 0} = \frac{m}{2d}(gt)^2.$

Поскольку права часть шторы неподвижна, сумма сил, действующих на нее, в любой момент времени равна нулю. Следовательно, в момент времени $t$ получим

$T(t) + \frac{m}{2} g + \frac{m}{2d^2} d \frac{gt^2}{2} g - N(t) = 0,$

где $N(t)$ — сила, действующая со стороны карниза на штору в момент времени $t$ .

Таким образом,

$N(t) = \frac{m}{2d}(gt)^2 + \frac{m}{2} g + \frac{m(gt)^2}{4d} =$

$= \frac{mg}{2} \left| 1 + \frac{3}{2} \frac{gt^2}{d} \right| = 15 \left[ 1 + 10t^2 \right] H$

( $t \leq \sqrt{\frac{2d}{g}} \approx \sqrt{0,3} \text{ c.}$ ).

С. С. Кротов

Гн из тонкой сверхпроводящей проводки подвешалась на упругой нити в магнитном поле, направленном вертикально вверх вдоль оси катушки (см. рисунок). Нить подвеска в исходном состоянии не закручина, сила тока в катушке равна нулю. Индукция В магнитного поля медленно увеличалась от нулевого значения до значения $B_0=0,1$ Тл, при котором сверхпроводимость скаком исчезала и проволока переходила в нормальное состояние. Катушка при этом закручилась. Определите максимальный угол закручивания катушки, считая, что упругий момент нити пропорционален углу закручивания (в радианах); коэффициент пропорциональности $G=10^{-7}$ Н·м. Число витков катушки $n=100$ , радиус витков $R=1$ см, масса катушки $M=10$ г. Отношение заряда электрона к его массе равно $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ Кл/кг.

Ф957. Распространение коротких радиоволн в верхних слоях атмосферы Земли (unoносфере) можно описывать закономами геометрической оптики, если принять, что показатель преломления $n$ для радиоволн меньше единицы и изменяется с высотой $H$ от поверхности Земли так, как показано на рисунке 1 (для неокторой части v). На сутинике, летящем на высоте $h=200$ км, установлен радиопередатчик, излучающий радиоволлы частоты $v$ равномерно по всем направлениям. Пренебрегая подлосением радиоволн в unoносфере, оцените долю излучаемой передатчиком мощности, которая уносится радиоволнами за пределы земной атмосферы. При оценках поверхности Земли считать плоской, а отражающийся от unoносферы.

Рассмотрим сначала луч, испущенный со спутника вверх под углом $a$ к вертикали. Обозначим

$\Phi = LI \text{ — собственный магнитный поток, } \Phi_{\text{BH}} \text{ — поток, созданный внешним полем. Отсюда}$

$I = \frac{|\Phi_{\text{BH}}|}{L} = \frac{SnB_0}{L} = \frac{\pi R^2 nB_0}{L}.$

Пусть этот ток создан движением $N$ электровов по виткам катушки. Тогда

$I = \frac{N}{2\pi Rn} ev,$

где $e$ — заряд электрона, $v$ — скорость упорядоченного движения электровов.

Суммарный импульс всех электровов

$p = Nmv = 2\pi RnI \frac{m}{e}.$

Этот импульс при исчезновении тока передается катушки. Обратим внимание на то, что в данном случае задача о передаче врашательного импульса сводится к задаче о передаче линейного импульса. В приведенной формуле под $p$ нужно помнить арифметическую сумму импульсов всех электровов, равную (после исчезновения тока) арифметическую сумму импульсов всех элементов катушки. Катушка прибретает после исчезновения тока кинетического энергии

$E_{\kappa} = p^2/2M.$

Угол закручивания нити найдет из закона сохранения энергии:

$\frac{p^2}{2M} = \frac{G\varphi^2_{\max}}{2},$

откуда

$\varphi_{\max} = \frac{p}{\sqrt{MG}} = \frac{2\pi^2 R^3 n^2 B_0}{L \frac{e}{m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{MG}} \approx 1,2 \cdot 10^{-4} \text{ рад.}$

С. М. Козел

Среду, в которой показатель преломления зависит только от высоты, можно разбить на тонкие плоские слоны, в пределах каждого из которых показатель преломления можно считать постоянным. Расмотрим ход луча в двух соседних слоях с показателями преломления $n_i$ и $n_{i+1}$ . Пусть в одном слое угол падения луча на границу раздела слоеев $a_i$ , а в другом — $a_{i+1}$ (рис. 2). По закону преломления

$\frac{n_{i+1}}{n_i} = \frac{\sin a_i}{\sin a_{i+1}},$

откуда

$n_{i+1} \sin a_{i+1} = n_i \sin a_i.$

Таким образом, произведение показателя преломления на синус угла падения при переходе от слоя к слюю не меняется и остается постоянным для всех слов, через которые идут луч.

На рисунке 3 сплошными линиями показан ход лучей, уходящих за пределы атмосферы, а пунктиры — отражающийся от unoносферы.

Рассмотрим сначала луч, испущенный со спутника вверх под углом $a$ к вертикали. Обозначим

Пожалуйста, перевая задача 1984 года М841 — в ней требовалось доказать, что произведение длины отрезков, на которые запотенуда прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной в него окружности, равно площади этого треугольника, — оказалась не только одной из самых простых, но и получила наиболее число различных решений. Кроме опубликованного в «Кванте» № 4 за 1984 г., приведем еще одно, приспланное Л. А. Штейнгаем (руководителем математического куржа Тбилисского дворца пиноверов), — по принципиу древних «смотри!» (рис. 1); площадь треугольника ABD равна площади прямоугольника OEDF, поскольку треугольники одинакового цвета равны, то есть AT·TB=OE·OF=S△ABD=S△ABC.

В связи с поставлением в решении задачи М810 (Квант, 1983, № 9, с. 46) вопросом об оценке площади наибольшего прямоугольника, вписанного в произвольную выпуклу фигуриллоцади S, Е. М. Гольберг (Ленинград) заметил, что сравнительно нетрудно помещить в такую фигуру два прямоугольника, сумма площадей которых не меньше S/2 (рис. 2); для этого достаточно описать вокруг данной фигуры прямоугольник KLMN, стороны KL и MN которого касаются ее в наиболее удаленных друг от друга точках A и B фигуры (отрезок AB называется «диаметром» фигуры), и проведении параллельные AB отрезки L1M1 и K1N1 так, что AL1=L1L, AK1=K1A (доказите, что площадь каждого из розовых прямоугольников не меньше половины соответствующей части фигуры, разделенной диаметром AB). А. В. Хоудлев (Москва) доказал, что в любую выпуклу фигуриллоцади S можно вписать прямоугольник плоцади не меньше S/2, но его доказательство не в поле элемарно и слишком длино, чтобы привести его здесь,— мы предлагаем любитель геометрических неравенств поискать простое доказательство этой теоремы и возможных ее вариантов или обобщений, предъедем тем публиковать заметку на эту тему.

В связи с задачей М839 (Квант, 1983, № 12, с. 35) десятиклассик (телеръ уже студент) Л. Вертгейм из Новосибирска прислал нам ряд интересных результатов о последовательности a, определяемой условиями: a1=1, a2=2, a_k — наименьшее из натуральных чисел, не образующих тройку членов арithmeticской прогрессии с предыдущими и большие a_k-1 (при k>2): 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, 28, 29, … В частности: a2m+1=2a2m=3m+1; a2k=a2k-1+1; если n нечетно, то чтобы найти a_n, достаточно записать n в двойной системе, а прочитать — в троичной (например, 1110=10112, a11=10113=31); любое натуральное число можно получить как сумму двух (не обязательно различных) чисел a_n.

Правда, все это не решает более трудный вопрос: каково наименьшее (для данного n) число b_n такое, что из отрезка натурального ряда от 1 до b_n можно выбрать n чисел, не содержащих тройки членов arithmeticской прогрессии,— получается лишь оценка сверху: b_n≤a_n≤c·n^{log2}3.

Пожалуйста, наибольшее из n наименьших чисел в строках таблицы, m — наибольшее из n наименьшего чисел в ее столбцах, будем считать, что k≤m. В каждой строке найдется число, не превысая ключ, и число, большее k (инначе наибольшее бы строка, в котором все числа не больше k, самого k в ней быть не может, а тогда было бы m>k). Возьмем в i-й строке пару соседних чисел a_i и b_i такую, что a_i≤k<b_i. Средние их мы найдем нужную, поскольку хотя одно из чисел b_1, b_2, …, b_n не меньше n+k.

Н. В. Васильев