Московский институт электронного машиностроения

53

3. В цепи, изображенной на рисунке 2, тепловая мощность, выделяемая во внешней цепи, одинаковая при замкнутом и разомкнутом ключе $K$. Определите внутреннее сопротивление батареи $r$, если $R_1=12$ Ом, $R_2=4$ Ом.

4. В фокальную плоскость тонкой собирающей линии помещено плоское зеркало (рис. 3). Предмет $A$ расположен между фокусом и линзой. Оптическая система создает действительное изображение предмета. Как изменится уvelениcence, с которой изображается предмет, если расстояние между линии и предметом уменьшить вдвое?

Вариант 2

1. Вблизи дороги образовалась ледная горка с выездом на проездую часть. Поверхность горки составляет угол $\alpha$ с горизонтальной плоскостью. Проезжающий mismo дорогой машине удалость до половины высоты посыпать горку сизу песком. Коэффициент треня скольжения полозев санок о лед с песком $\mu=0,5$. Пренебрегая тренем санок о лед без песка, найдите максимальное значение угла $\alpha$, при котором санки не смогут достичь основания горки, сжевав с ее вершины без начальной скорости.

2. Моль идеального одноатомного газа с начальной температурой $T_1=600$ К адвабатически уvelенивается свой объем в 3 раза. Какую работу совершает при этом газ, если в тепловом процессе, при котором давление линейно изменяется с температурой (рис. 4), газу при расшириении из того же начального в то же конечное состояние было подведено количество теплоты $Q=1,9$ кДж? ($R=8,3$ Дж/(моль·К.))

3. В плоский конденсатор, подключенный к источнику с постоянной ЭДС $\delta$ и внутренним сопротивлением $r$, помещена плоская пластина, имеющая заряд $q$ (рис. 5). Что будет показать идеальный волтметр, подключенный к клеммам источника, если двигать пластину с постоянной скоростью $v$? Расстояние между обкладками конденсатора $d$.

4. Широкий пучок параллельных лучей падает перpendикулярно на экран. На пути света параллельно экрану установили отрицательную (рассеивающую) линзу. Расстояние между линзой и экраном второе больше фокусного расстояния линзы. Площадь области на экран, где после установки линзы возросла освещенность, оказалась равной $S=15\pi$ см$^2$. Определите диаметр линзы.

Вариант 3

1. $\alpha$-частица, пропеляя mismo первооначально покопшегося ядра химического элемента с массовым числом, равным 12, потеряла 20 % свой скорости. На какой угол $\beta$ отклонилась $\alpha$-частица (рис. 6)?

2. В тепловом процессе объем идеального газа изменяется с давлением по закону $V=\beta p$, где $\beta$ — неоторая постоянная. Во сколько раз изменяется давление газа при уменьшении температуры от $T_1=450$ К до $T_2=200$ К?

3. Два удаленных проводящих шара радиусом $R$ соединены участком цепи, содержащим конденсатор емкостью $C$, катушку с индуктивностью $L$ и ключ $K$ (рис. 7). В начальной момент времени конденсатор заряжен до напряжения $U_0$, заряды на шарах отсутствуют. Определите максимальное величины силы тока в цепи после замкывания ключа $K$. Активным сопротивлением катушки пребрежь.

Московский институт электронного машиностроения

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \mathrm{tg} x}.$$

2. Вычислите сумму корней уравнения
   $$x^2 - 2(a^2 - 4a)x - (8a^3 - 26a^2 + 9) = 0$$

и найдите значения $a$, при которых она принимает наименьшее значение.

3. Дан куб $ABCDA'B'C'D'$. Верно ли, что плоскости $ABC'$ и $CDA'$ перpendикулярны? Дайте обоснование ответу.

4. Найдите расстояние между точкой $A$ (5; 2) и точкой $B$ с абсциссой 1, лежащей на параболе $y=x^2+2x$. Является ли точка $B$ близкой к $A$ точкой параболе?

5. Какие из следующих функций
   $$3+\cos^2x; 2\cos 2x-3\sin x; \sin \frac{x}{2}; \sin 2x$$ могут быть представлены в виде многочлена от $x$ (то есть в виде $a_0\sin^n x+a_1\sin^{n-1}x+...+a_n$, где $a_0, a_1, ..., a_n$ — действительные числа)?

Вариант 2

1. Решите неравенство

55

Вариант 2
(физическая факультет)

1. Найдите объем правильной четырехугольной парамиды, у которой ребро равно $l$ и составляет угол $\alpha$ с плоскостью основания.
2. Решите уравнение
   $$\cos x + \frac{1}{\cos x} = 2.$$
3. Решите неравенство
   $$|x^2 - 4x| < 5.$$
4. Решите уравнение
   $$\log_2(9 - 2x) = 1.$$
5. Найдите наиболее и наиболее значение функции $y = x^3 - 3x^2 + 5$ на отрезке [0; 3].

Вариант 3
(гдерафический факультет)

1. Теллюход пропыллял 9 км по озеру и 20 км по течение реки за 1 ч. Найдите скорость теллюхода при движении по озеру, если скорость течение реки равна 3 км/ч.
2. Основанием призыва служит правильный треугольник, вписанный в круг радиуса 2 м, боковые грани ее — квадраты. Определите объем этой призыва.
3. Решите уравнение
   $$\sin x - \sqrt{3 \cos x} = 0.$$
4. Решите неравенство
   $$\frac{x}{3^2} > 9.$$
5. Найдите промежутки возрастания функции $y = 4 + x - 3x^3$.

Вариант 4
(индивидуально-педагогический факультет)

1. Найдите объем правильной четырехугольной парамиды, у которой площадь основания равна $S$, а ребро составляет угол $\alpha$ с плоскостью основания.
2. Решите уравнение
   $$\tg(2x + 4) = 1.$$
3. Решите уравнение
   $$x - 3 = (5 + x) \cdot 4.$$
4. Решите неравенство
   $$x^2 - 14x - 15 > 0.$$

Избранные школьные задачи

(Начало см. на с. 28)

9. a) Найдите уравнения прямых, касающихся одновременного двух парабол
   $$y = x^2 + x - 2$$ и $$y = -x^2 + 7x - 11.$$

6. Сколько общих касательных имеются параболы
   $$y = a_1x^2 + b_1x + c_1$$ и $$y = a_2x^2 + b_2x + c_2$$?

10. В пространстве данной $n \geqslant 4$ точек, причем известно, что для каждой четырех из них найдется плоскость, в котором эти четыре точки лежат. Верно ли, что и все $n$ точек лежат в одной плоскости?

Десять класс

11. Нарисуйте график функции $y = e^{\ln|x|}$.
12. Решите уравнение 3 sin $x - 4 \cos x = \cos 5x - 7$.
13. Из таблиц известно, что lg $\pi = 0,4972$. Сколько знаками записывается число $[\pi^{100}]$?
14. Дан двумя угловыми уголами $\varphi$, $0 < \varphi < \pi/2$. На одной его грани лежит прямая, составляющая угол $\alpha$, $0 < \alpha < \pi/2$, с ребром двумя угловыми угла. Вычислите угол, которое эта прямая составляет с другой грани двумя угловыми угла.
15. Может ли в сечении параллелепипеда плоскостью получаться пятуюугольник? А может ли пятуюугольник, получащийся в сечении параллелепипеда плоскостью, быть правильным?

Публикацию подготовил Н. Х. Розов