Белые карлики — кристаллические звёзды

9

В этой статье мы постараемся расскажать о том, что нельзя увидеть ни в микросоп, ни в телекоп, но что можно понять с помощью довольно простых и привчных представлений. Речь пойдёт в основном о белых карликах и … конденсаторах. Что такое конденсатор, знают, конечно, все читатели «Кванта». Про белые карлики читатели тоже, верятно, слышали. Так называются очень плотные звезды с массой примерно такой же, как у нашего Солнца, но с радиусом в несколько сотен или даже в тысячу раз меньше солнечного. Разглядеть, как устроены внутренности белого карлика, мы, конечно, не можем. Но, порасускдав о плоском конденсаторе, мы сможем, воспользовавшись физическими аналогиями, получить представление о том, как устроены эти данные и мало похожие на Солнце звезды.

Немного простых вычислений

Масса типичного белого карлика $M \sim 2 \cdot 10^{30}$ кг, его радиус $R \sim 10^{-2} R_\odot$ ($R_\odot = 7 \cdot 10^8$ м — радиус Солнца). Среднюю плотность вещества, из которого состоит карлик, мы получим, разделив массу звезды на ее объем: $Q$ оказывается $\sim 10^9$ кг/м$^3$.

Если бы мы пожелали «построить» белый карлик из отдельных атомов, мы должны были бы собрать их в большое облако вблизи той «точки» в пространстве, куда хотим «поместить» звезду, и сказать это облако до плотностей примерно в $10^6$ раз больших, чем средняя плотность нашей планеты. В космическом пространстве облака из молекул или атомов скимиются под действием сил gravitation.

Реальные белые карлики, как это вытекает из теории строения и эволюции звезд, содержат мало «тяжелых» элементов или даже совсем их не содержат. Для оценок можно считать, что белый карлик «построен» из одинаковых атомов, имеющих примерно по десятиу электронов на атом. Массу $m$ атома при этом можно приять примерно в 20 раз большей массы нуклона, т. е. считать $m \sim 10^{-26}$ кг. Разница масс нуклона (протона и нейтрона), а также масс электрон при грубом расчете можно, конечно, пренебречь. Это вполне разумные допущения, и они фактически не повлияет на те выводы, к которым мы придем.

Число $n$ atomных ядер в единице объема получится, если разделить $\Omega$ на $m$. Для нашей белого карлика $n$ оказывается $\sim 10^{35}$ м$^{-3}$. Значит, средний объем пространства, приходящая на одно ядро, $\sim 10^{-35}$ м$^3$, и среднее расстояние между ядрами $\sim 10^{-12}$ м. Размеры же общих атомов порядка $10^{-10}$ м. Так что мы приходим к выводу, что средние расстояния между ядрами внутри белого карлика в сотно раз меньше размеров тех атомов, из которых мы «начинали строить» звезду. Понятно, что при столбьбих плотностях атом как система «электроны+ядро» не существует.

В процессе сканирования все электроны в недрах белого карлика уже «отдраны» от своих ядер и образуют электронную жидкость. А как ведут себя ядра (которые можно назвать в таком случае «голодранцами»)? Для них существуют две возможность: они либо «плавают» в «электронном море», напоминая взвешьих частиц в жидкости, либо образуют кристаллический решетку, в которой и «наlintа» электронная жидкость,— тогда система ядер и электронов подбна по структуре общим металлам.

Какая же из указанных возможностей реализации на самом деле? Белые карлики — жидкие? или кристаллические?

Наша цель — разобрать в этом вопросе. И поможет нам, как это ни удивительно на первый взгляд, плоский конденсатор.

Плосий конденсатор и плазменная частота

Совокупность электронов и ядер внутри белого карлика образует плазменную систему, которая похожа на плазму в недрах Солнца или на плазму, образующуюся при общном газовом разряде. Общим для этих систем является сосуществование положительных и отрицательных частцц, взаимодействие между которых обусловлено кулоновским силами. (О том, чем существенно отличается плазма в белых карликах от классической кулоновской системы заряда-

10

дов с противоположными знаками, мы поговорим позже.) В целом плазменные системы электронейтральны. А что произдет, если в какой-то небольший области пространства электронейтральность нарушится?

Рассмотрим элемент объема, занятого плазмой, между двумя плоскими площадками. Сначала обсуждим простой случай, когда положительные и отрицательные заряды в плазме одинаковы по абсолотной величины. Пусть площадь каждой площадки $S$, а расстояние между ними $d$. Заряды частц будем считать равными $\pm e$, а их концентрацию равной $n_e$. Предположим, что мы смогли разделить заряды в этом объемчике и помещить все положительные заряды на одну площадку, а все отрицательные — на другую. По существу мы создали заряженный плоский конденсатор. Очевидно, что абсолотная величины заряда пластин этого конденсатора $Q=n_eeSd$, и направленность поля в нем $E=Q/\varepsilon_0S=n_eed/\varepsilon_0$.

В результате относительной смесице части с противоположными зарядами равно $d$. Появившееся при смесиении электрическое поле можно оценить, пользовясь приведенной выше формулой для конденсатора. Сила, действующая на одну частицу, равна $eE=n_ee^2d/\varepsilon_0$; разделив эту силу на массу частицы $m$, получим ее ускорение: $n_ee^2d/\varepsilon_0m$. Обратите внимание: сила и ускорение частицы пропорциональны ее смесению, а направлены они так, чтобы восстановить равновесие. Но это означает, что частица будет совершать гармоничное колбания, и мы можем сразу сказать, какова должа быть часть этих колбаний:

$$\omega_0^2 = \frac{n_ee^2}{\varepsilon_0m}.$$ (*)

Колбания с частотой $\omega_0$ называют электростатическими, ленгмюрвскими или просто плазменными.

Вероятно, читатель уже договорая, какой следующий шаг мы собираемся сделать в наших рассудениях. Конечно, мы должны попытаться понять, нельзя ли обобщить эти рассуждания о плазменных колбаниях на электронно-ядерную плазму в белых карликах. Ответ на этот вопрос позволяет также обобщение действительного возможно. В электронно-ядерной плазме тоже должны быть колбания, обусловленные взаимными смесиями зарядов. Но этот случай отличается от рассмотренного выше простейшего тем, что заряд ядра не равен заряду электрона. Разные у них и массы. И очень важно, что концентрация части в плазме белого карлик в сотни тысяч раз больше, чем, скажем, в солнечной плазме. При таких концентрациях плазму нужно описывать квантовыми законами (тогда как солнечный плазму можно считать классическим газом заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона). Оказывается к тому же, что вопрос о плазменных колбаниях в белых карликах тесно связан с вопросом о возможности существования в них кристаллических структур. Обсуждение этих вопросов мы теперь и займемся.

Лдерные кристаллы и устойчивость кристаллечекой решетки

Одно из самых общих и привучных для нас фазовых превращений — это кристаллизация. Никого не удивляет, что зимой реки и озера покрывают льдом. Замерзают порой даже моря. Но разве не удивительно, что кристаллизация может произойти в плазменном море, образуемом электронами иatomными ядрами внутри белых карликов?

В ранних теории белых карликов считалось, что вещество при плотности, типичных для внутренних об-

11

ластей этих звезд, представляют собой жидкую смесь ядер и электронов. Ядра в таком «расторе», как и частицы в обычных жидкостьх, могут быть добавлено значительные расстояния, движение их при этом могло бы быть совершено хаотически. Идеи о построении и устойчивости решеток из atomных ядер, погруженных в электронное море, появились немного более даватки лет назад.

Давайте и мы предложим, что атомные ядра с зарядами Ze действительно образуют кристаллесую решетку, т. е. «привязаны» к определенным местам в пространстве. Окружающие их электроны «волны», конечно, «гулять» по всему этому кристаллу, но в среднем около каждого ядра находится Z электронов. Разрушение решетки было бы, очевидно, возникло, если бы ядра могли сильно смщаться из своих положений равновесия. Мальые же колбания ядер к разрушению решетки не приводят.

В обычных твердых телах колбания кристаллесной решетки имеют в основном температурное проискождение. Для ядерного же кристалла очень важную роль играет кулоновское взаимодействие. Колбания плазменного типа будут проискдить при любых температурах, в том числе и при очень низких. Наша цель сейчас — оценить частоту и энергия этих колбаний и сравнить последнюю с потенциальной энергией ядра в кристаллесной решетке и с величины kT, характеризующей температурные колбания. Если потенциальная энергия оказывается намного большие kT и характерной энергии плазменных колбаний, то мы можем сказать, что ядро «привязано» к «своему» узлу в кристаллесной решетке.

Удобно разделить всю нашу систему «ядра+электроны» на условные ячейки, имеющие сферическую форму и такие, что в каждой из них находится одно ядро с зарядом Ze и Z электронов. Если в единице объема содержится nₐ ядер, то радиус r ячейки можно определить из условия $\frac{4}{3} \pi r^3 n_\alpha = 1$; отсюда $r \sim n_\alpha^{-1/3}$. В целом каждой такая ячейка электронетральна. Так как число электронов Z >> 1, можно для оценок считать, что электроны, образующие облака с отрицательным зарядом, равномерно «размазаны» по ячейке. Колбания ядра в этом отрицательном зарядном облке проискдят с плазменной частотой

$$\Omega_0^2 \sim \frac{n_\alpha(Ze)^2}{\varepsilon_0 m_\alpha} \sim \frac{Z^2 e^2}{\varepsilon_0 m_\alpha r^3}.$$

Это по существу та же формула (*). Но только сейчас речь идет о колбаниях ядер с зарядом Ze и массой mₙ.

Мы уже упомянуты, что из-за большой концентрации частиц плазма в белом карлике описывается квантовыми законами. Естественно, что и колбания в такой плазме должны быть чисто, что полная энергия колбаний кристаллесной решетки, построенной из atomных ядер, складывается из отдельных порций — квантов энергии. Знача частоту колбаний, легко оценить и энергию такой порции. Для этого надо частоту $\Omega_0$ умножить на постоянную Планка $\hbar \left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$.

Величина $\hbar \Omega_0$ и есть характерная энергия плазменных колбаний, относящаяся к одной колблющей частице, в нашем случае — к одному ядру. Здесь уменьшено еще сказать, что для типичных условий внутри белых карликов энергия kT тепловых колбаний (опять же в расчете на одну частоту) много меньше, чем $\hbar \Omega_0$. Это позволяет нам «забыть» о температуре, говоря о колбаниях кристаллесной решетки белого карлика. (Желание могут убедиться в справедливости неравенства kT << $\hbar \Omega_0$, подставив в формулу для $\Omega_0$ численные значения параметров, характерные для белых карликов, и приняв для

12

Оценки температуры $T$ внутри белого карлика $\sim 10^6$ К.

Итак, нам остается сравнить $U_0$ и $\hbar \Omega_0$. Потенциальная энергия ядра, «сидящего» в узле кристаллической решетки, $U_0 \sim \frac{Z^2 e^2}{\varepsilon_0 r}$. Иногда говорят, что эта общая «кулоновская» формула определяет «глубину потенциальной ямы», в котором «попало» колблющеся ядро. Можно сказать еще, что $U_0$ определяет энергию связи ядра в системе окружающих его других частиц.

Запшем теперь отношение $\hbar \Omega_0 / U_0$, используя приведенные выше формулы для $\Omega_0$ и $U_0$:

$$\frac{\hbar \Omega_0}{U_0} \sim \left( \frac{\hbar^2 \varepsilon_0}{Z^2 e^2 r_m} \right)^{1/2} = \left( \frac{r_0}{r} \right)^{1/2}.$$

Здесь $r_0 = \frac{\hbar^2 \varepsilon_0}{Z^2 e^2 m_\pi}$ — параметр, характеризующий ядро с заданным $Z$ и $m_\pi$. Типичное значение $r_0 / r$ для белых карликов — порядка $10^{-5}$. (Это число вы можете получить сами, считая плотность вещества в звезде $\sim 10^9$ кг/м$^3$, а $Z \sim 10$.)

Тем самым мы убеждаемся, что $(r_0 / r)^{1/2} \ll 1$, а это-то и означает, что энергия колбанный ядер внутри белого карлика меньше потенциальной энергии. Другими словами, кристаллическая решетка, если она образовалась, сама по себе развалится не должна!

Кристаллизация в белом карлике

Do six пор мы обсуждали ситуацию, когда обусловленные температурой эффектив можно было не учитывать. В этом случае выполняется неравенство $\hbar \Omega_0 \gg kT$. Однако теория эволюции звезд предсказывает, что когда белый карлик был молодым, в его недрах шли ядерные реакции и он был довольно-tаки горячим. После того как ядрыные реакции кончились, температура в звезде могла быть еще около $10^7$ К. Естественно, что при достаточно высоких температурах карлик мог и не быть кристаллиским. В его ранней истории возможно существование такого периода, когда $kT$ было больше $\hbar \Omega_0$. В этом случае основную роль играли не плазменные, а температурные колбания.

И для этого периода именно $kT$ нужно сравнить с $U_0$, чтобы решить вопрос о том, существовала ли тогда кристаллическая решетка.

No, как бы то ни было, большеча часть жизни карлика проходит в условиях, когда $kT < \hbar \Omega_0 \ll U_0$. Поэтому по мере его оставления должна произойти кристаллизация. В кристаллизации звездные внутренние области все время остаются горячее наружных, поэтому кристаллическая структура — «корка» — возникает сначала именно снаружи, а уже потом «прорастает» в глубь карлика.

При кристаллизации выделяется энергия, которая в конечном случае звездой излучается. Расчеты показывают, что эта энергия не столь уж и мала. Естественно сравнить ее с полной gravитационной энергейзды (так называется энергия, которая потребовала бы, чтобы разушить gravитуриous шар и «растышить» все составляющие его частицы на достаточно большие расстояния друг от друга). Сравнение позволяет утверждать, что энергия, выделяющаяся при кристаллизации, может достигать долей процента или даже несколько процентов от полной gravитационной энергии белого карлика. Другим источником энергии, излучаемой карликом, является его тепловой энергии. При условии близости температуры внутренних кристаллических ядерной решетки (последняя по оценкам может быть порядка $10^7$ К) запасы тепловой энергии могут оказаться сравнимыми с энергейем кристаллизации. В принципе можно считать, что белый карлик после прекращения в нем ядерных реакций в состоянии излучения энергии порядка процента от его gravитационной энергии.

Гравитационная энергия звезды по

13

порядку величины равна $GM^2/R$; подставляя $M \sim 2 \cdot 10^{30}$ кг, $R = 7 \cdot 10^6$ м, получим приблинительное $4 \cdot 10^{43}$ Дж. Средняя светимость горячих и ярких белых карликов порядка $10^{-2} L_\odot$, где $L_\odot \approx 4 \cdot 10^{26}$ Вт — светимость нашего Солнца (светимость — это полная энергия, излучаемая за единицу времени). Зная это, легко подчитать, что запасов энергии — тепловой и выделяющейся при кристаллизации — белому карлику должно хватить на излучение по крайней мере в течение $10^9$ лет. Приведенные цифры являются конечного же, лишь типичными значениями, для конкретных звезд они могут отличаться. Часто говорят, что конечными стадиями эволюции звезд могут быть белые карлики, нейтронные звезды или черные дыры. Оказывается, однako, что даже после «бурной молодости» звезды «не хотят умирать». Исчерпав запасы ядерной энергии, они сохраняют все же другие источники и запасы энергии, позволяющие им долго излучать и после того, как они должны до своей «старости».

Можно теперь сформулировать и основной выбор нашего рассказа о белых карликах. Не очень горячие звезды этого типа должны кристаллистическими; они кристаллистическими; как только их температурапоняется примерно до $10^6$ К.

Наблюдать белые карлики очень непростою, особенно если это холодные звезды (в астрономии их называют «красные» белые карлики). Слабый блеск и сложность их спектров требуют очень совершенных телексовов. В то же время сейчас известно несколько тысяч белых карликов, разбросанных в сфере радиусом 100 парсек ($1$ парсек $\approx 3 \cdot 10^{16}$ м) вокруг Солнечной системы. Всего же белые карлики составляют от 5 до 10 % всех звезд.

Состояние вещества белых карликов, несуществующей и недостижимое в земных условиях, нам очень важно знать и для физики нейтронных звезд — ведь их нарушные слои состоит из вещества примерно с теми же параметрами, что и внутри белых карликов.

Приложение

О связи главных параметров белых карликов

Основными характеристиками любой звезды являются конечно, ее масса, радиус, химическая состав, температура и светимость. Разумеется, не все эти звелинны являются неависимыми. Легко понять, например, что светимость должна быть связана с температурой — чем горячей звезда, тем более она излучает. Мы приведем здесь пример другой связи — между массой белого карлика $M$, его радиусом $R$ и относением $Z/A$. Параметры $Z$ и $A$ — это номер в Перiodической системе элементов и массовое число (т. е. число нуклонов) ядер тех atomов, из которых «построена» звезда. Для простоты будем считать, что белый карлик «построен» из одинаковых атомов (интересующую нас качественную картину это предположение не испорит).

Сылы гравитации, скимающее вещество звезды, создают внутреннее gravитационное давление. Что «противостоит» этому давлению, что обеспечивает равновесие звезды? В случае звезда, подобных нашему Солнцу, гравитационному сжатюю противостот газовое давление (давление плазмы). В белых карликах гравитационное давление уравновешивается давлением электронной жидкости внутри звезды. Из условия равновесия $p_G = p_e$ можно получить формулу, связывающего интересующие нас параметры $M, R, Z$ и $A$. Но сначала надо найти $p_G$ и $p_e$. Мы сделаем это, воспользовавшись соображениями размерности.

Естественно предположить, что формула для гравитационного давления в центре звезды должна быть $p_G$ с массой звезды $M$, ее радиусом $R$ и гравитационной постоянной $G$. Выпишем размерности этих величины:

$$[p_G] = \kappa r^1 M^{-1} c^{-2},$$
$$[M] = \kappa r, [R] = m, [G] = \kappa r^{-1} M^3 c^{-2}.$$

Будем искать интересующую нас зависимость $p_G(G, M, R)$ в виде $p_G \sim G^x M^y R^z$. Запишем условия равновесия газовой размерностей левой и правой части написанного соотношения:

$$\kappa r^1 M^{-1} c^{-2} = \kappa r^{-1} M^3 c^{-2} = \kappa r^{-1} + y M^3 x + z c^{-2}.$$

Такое равенство может быть выполнено, только если

$$1 = -x + y, -1 = 3x + z, -2 = -2x.$$

Решая эту систему уравнений, получим: $x = 1, y = 2, z = -4$. Следовательно, исключаем формула такова:

$$p_G \sim G \frac{M^2}{R^4}.$$

Теперь перейдем к определению $p_G$. Здесь полезно нести результаты