Задачи вступительных экзаменов в различные вузы в 1986 году

50

объемом $V_1=100$ л находится $m_2=1,4$ кг азота под давлением $p_1=1,5 \cdot 10^6$ Па, во втором баллоне объемом $V_2=250$ л находится $m_2=1,2$ кг аргона под давлением $p_2=5 \cdot 10^5$ Па. Какие давления и температуры устанавливаются в баллонах, если открыть Ventilb? Теплоемкость моля азота при постоянном объеме равна $C_1=(5/2)R$, температуре моля аргона — $C_2=(3/2)R$. Молярные массы азота и аргона равны соответствию $M_1=28$ г/mоль и $M_2=40$ г/mоль.

Первоначальные температуры азота и аргона найдем из уравнения Менделева — Клапейрона:

$$T_1 = \frac{p_1 V_1}{v_1 R} = 360 \text{ K}, \quad T_2 = \frac{p_2 V_2}{v_2 R} = 500 \text{ K},$$

где $v_1 = m_1 / M_1 = 50$ моль и $v_2 = m_2 / M_2 = 30$ моль — количество молей азота и аргона.

Температура смеси $T$, установившаяся после открытия Ventilb, определяется из первого закона термодинамики — внутренняя энергия системы при смешивания газов остается неизменной (теплообмен с окружащими телами отсутствует, система рабочая)

Упражнения

1. В сосуде объемом $V=1$ л находится $m=0,28$ г азота при температуре $T=1800$ К. При этой температуре часть молекул $\alpha=30\%$ диссцинировала на атомы. Определите давление в сосуде.

2. В стальном баллоне объемом $V=60$ л содержится смесь водорода и кислорода обшей массой $m=60$ г. Давление в баллоне при температуре $T=300$ К равна $p=3,28 \cdot 10^5$ Па. Какая масса воды образуется из этой смеси, если водород и кислород вступят в реакцию?

3. Одинаковый массив водорода и гелия помещили в сосуде объемом $V_1$, который отделен от откачанного сосуда объема $V_2$ получили цепочку перегородкой, через которого могут диффундировать только молекулы водорода. После окончания процесса диффузии давление в первом сосуде уменьшилось в 2 раза. Определите отношение $V_2/V_1$, если во время процесса температура поддерживается постоянной.

Задачи вступительных экзаменов в различных.by в 1986 году

Предлагаем подборку задач вступительных экзаменов по математике и физике в некоторых университетах — Белоруссий (1), Горьковский (2), Омский (3), Саратовский (4), Уральский (5) и институты — Киевский педагогический (6), Московский архитектурный (7), Московский областной педагогический (8), Новосибирский институт инженеров железнодорожного транспорта (9), Римский политехнический (10), Томский политехнический (11), Московский авчационный технический (12).

Математика
Алгебра

1(1). Из города $A$ в город $B$, нахождение на расстоянии 105 км от $A$, с постоянной скоростью $v$ км/ч выходит авторус. Через 30 минут слева из $A$ со скоростью 40 км/ч выезда авторомы, догнав в пути автоток.

бус, поворачивает обратно и движется с прежней скоростью. Определите все значения $v$, при которых авторомы возврашаются в $A$ позже, чем авторус приходит в $B$.

2(1). Два скрепера разной мощности, работа вместе, могут выполнить работу за 6 часов. Если бы первый пропработал 4 часа, а затем второй — 6 часов, то они выполнили бы 80 % всей работы. За сколько часов каждый скрепер, работа отдельно, может выполнить всю работу?

3(1). При подведении итогов совершения вычислений, что процент числа членов бригады, перевыполненных план, заключен в пределах от 92,5 % до 93,5 %. Определите минимальное возможное число членов бригады.

4(4). Два величины выхали одновременно из одного пункта в одном направлении. Первый из них едет со скоростью 15 км/ч, второй — 12 км/ч. Спустя полчаса из того же пункта в том же направлении выхал третий велиспедент, который через некоторое время догнал второго, а еще через 1 ч 30 мин догнал и первого. Найди скорость третього велиспедента.

5(4). Три тракторные бригады вместе вспахивают поле за 4 дня. Это же поле первая и вторя бригады вместе вспахивают за 6 дней, а первая и третья вместе — за 8 дней. Во сколько раз больше площадь, вспахиваемой за день второй бригади, по сравнению с площадью, вспахиваемой за день третьей бригади?

6(4). 40 кг растора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во втором сосуде добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше,

51

Чем в первом. Найдите вес раствора, находящегося в первом сосуде.

7(6). Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным и получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

8(6). К раствору, который содержит 40 г соли, добавили 200 г воды, после чего его концентрация уменьшилась на 10 %. Сколько воды содержал раствор и какая была его концентрация?

9(9). Сумма первых трех членов возрастиющей геометрической прогрессии равна 26, их произведение — 216. Найдите первый член и значенатель прогрессии.

10(12). Найдите четые числа, составляющие геометрическую прогрессию, в которой сумма краинных членов равна 112, а сумма средних членов равна 48.

11. Вычислите:

a) (10) $\frac{1}{16} \sqrt{192} - 2,5 \sqrt{\frac{4}{75}} - \frac{1}{234} \sqrt{98^2 - 71^2}$;

b) (10) $\frac{\sqrt[8]{3^{11}} \cdot \sqrt[8]{3^{21}}}{\sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 - \sqrt{19}}}$;

c) (10) $\frac{(2 - \sqrt{3})(\cos 750^\circ + \cos 420^\circ)}{\sin 330^\circ + \cos (-390^\circ)}$;

d) (10) $tg(\alpha + 2\beta)$, если $tg\alpha = \frac{1}{7}$, $tg\beta = \frac{1}{3}$, $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, $0^\circ < \beta < 90^\circ$;

e) (11) $\sin(2\alpha - \pi)$, если $tg\alpha = 3$;

f) (8) $\sin 2\alpha$, если $\sin\alpha + \cos\alpha = a$;

g) (11) $tg\sqrt{6} \cdot \log_3 36$.

12. Выполните действия:

a) (11) $(1 + \frac{a}{x} + \frac{a^2}{x^2}) \cdot (1 - \frac{a}{x}) \cdot \frac{x^3}{a^3 - x^3}$;

b) (11) $(\frac{a + 3b}{(a - b)^2} + \frac{a - 3b}{a^2 - b^2}) : \frac{a^2 + 3b^2}{(a - b)^2}$ и вычислите при $a = 0,3$; $b = 1,7$;

c) (11) $\frac{2\sin\alpha + \sin 2\alpha}{2\sin\alpha - \sin 2\alpha}$ и вычислите, если $ctg\frac{a}{2} = 2$;

d) (11) $\sin(\alpha - \frac{3\pi}{2})\cos(2\pi - \alpha) + \sin(2\pi - \alpha)\times \sin(\pi + \alpha)$;

e) (10) $\sqrt{10}\left(\sin\frac{\alpha}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\right)$,

если $tg\alpha = \frac{3}{4}$, $\pi < \alpha < \frac{3}{2}$ $\pi$.

13(6). Доказайте точность $\sin^3 x(1 + ctg x) + \cos^3 x(1 + tg x) = \sin x + \cos x$.

14(6). При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $x^2 + x - a(1 + a) = 0$ имеются знаки?

15(10). При каком целом значении $b$ один из корней уравнения $4x^2 - (3b + 2)x + (b^2 - 1) = 0$ второе менше другого?

16(8). При каком значении $q$ сумма кубов корней уравнения $x^2 - x - q = 0$ равна 19?

17(3). Корни $x_1, x_2$ уравнения $x^2 + ax + 12 = 0$ обладают свойствам $x_1 - x_2 = 1$. Найдите $a$.

18. Решите уравнения:

a) (1) $|2x - 3| = 3 - 2x$;

b) (1) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} = 0,5$;

c) (1) $(x - 3)(x + 1) + 3(x - 3)\sqrt{\frac{x + 1}{x - 3}} = (a - 1)(a + 2)$;

d) (10) $\sqrt{2 - x} + \frac{4}{\sqrt{2 - x} + 3} = 2$;

e) (3) $\left(\frac{4}{9}\right)^x \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x - 1} = \lg 4/\lg 8$;

jk) (11) $4^x - 10 \cdot 2^{x - 1} = 24$;

з) (1) $\frac{3}{2^{3 - x}} = 4^{x - 4} - 7$;

и) (1) $\log_3 \frac{x + 1}{3} = \log_3 \frac{x}{2 - x}$;

k) (10) $1 - \frac{1}{2}\lg(2x - 1) = \frac{1}{2}\lg(x - 9)$;

л) (3) $\log_2 2 \cdot \log_2 2x = \log_4 x^2$;

м) (7) $\log_2 x + \log_3 x = 1$;

н) (6) $3\log_2 x + x\log_3 = 162$;

o) (2) $1 + \log_6 \frac{x + 3}{x + 7} = \frac{1}{4}\log_6(x - 1)^2$;

п) (3) $\left(\frac{1}{9}\right)\log_3 \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2}\log_3(x^2 - 1) = \sqrt{2(x - 1)}$;

p) (10) $\log_5(3x - 11) + \log_5(x - 27) = 3 + \log_58$;

c) (6) $4\log_2 \lg x = \lg x - \lg^2 x + 1$.

19 (10). Найдите больший корень уравнения $\lg(x + 6) - 2 = \frac{1}{2}\lg(2x - 3) - \lg 25$.

20. Решите тригонометрические уравнения:

a) (7) $\cos 2x + \cos^2 x = 0$;

b) (7) $\sin 2x + \cos x - \sin x - 1 = 0$;

b) (1) $\cos^2 x - \sin^2 3x = 0$;

r) (3) $1 - \cos x = \sin x \sin \frac{x}{2}$;

d) (8) $\sin 3x - 4 \sin x \cdot \cos 2x = 0$;

e) (3) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$;

jk) (4) $\sin^2 x + \cos^2 2x = \sin^2 3x + \cos^2 4x$;

з) (2) $ctg x - tg x = \frac{2\sqrt{3}\cos 2x}{1 + \cos 2x}$;

и) (2) $(\sin x + \cos x)^2 = 2\sin\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \times \sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

k) (3) $2\sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 + \cos 2x}{1 + \sin x}$;

л) (4) $(\sin 2x + \sin 4x) \lg x = 0$;

м) (2) $5 \sin x \cdot tg x - \sin x - 5 \lg x + 1 = 0$;

н) (8) $3^{1 + \sin x} + 2 \cdot 3^{2 + \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} = 21$.

21. Решите системы уравнений:

a) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 - 3xy + y^2 = 3, \\ x^2 + 2xy - 2y^2 = 6; \end{array} \right.$

b) (6) $\left\{ \begin{array}{l} 3^y \cdot 9^x = 81, \\ \lg(x + y)^2 - \lg x = 2 \lg 3; \end{array} \right.$

b) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 2 \lg \sqrt{x} + 2^y + 1 = 0, \\ \lg x^3 + 4^y - 1 = 0; \end{array} \right.$

r) (2) $\left\{ \begin{array}{l} 9^{x - y} + 2 \cdot 3^{x - y} = \log_2 8, \\ (1 - y) \lg 3 = \lg(4 - 3^x); \end{array} \right.$

52

22. Решите неравенства:

а) (3) $\frac{4-3x}{3-2x} < 1$;
б) (3) $|x|+|2x+1|-x>1$;
в) (8) $x^2-|5x+8|>0$;
г) (8) $\sqrt{5-x^2}>x-1$;
д) (12) $\sqrt{2x+4}<4$;
е) (1) $\frac{\sqrt{12+x-x^2}}{2x+7} \geq \frac{\sqrt{12+x-x^2}}{x+5}$;
ж) (2) $3\sqrt{6+x-x^2}+2>4x$;
з) (1) $\sqrt{2x^2-6x+1}-x+2>0$;
и) (1) $\log_2(x-1)+\log_2x \geq 1$;
к) (2) $\frac{1}{3^x-1} > \frac{1}{1-9^{x-1}}$;
л) (4) $\sqrt{\log_2\frac{3-2x}{1-x}} < 1$;
м) (4) $\log_2x-2\log_2x+1 \geq 0$;
н) (1) $\frac{1}{\log\left(\frac{x+1}{x-2}\right)^2} < \lg 2$;
о) (4) $\log_{3x+5}(3x^2+8x+9) > 2$.
23(2). Найди объект определения функции
$$y = \lg \left(\frac{x^2+6}{8+2x-x^2}-1\right).$$
24(6). При каких значениях параметра $a$ система
$$-3 < \frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1} < 2$$
удовлетворяется для всех действительных значений $x$?
25(1). При каких $a$ уравнение
$$\cos^2 ax + \cos x = 2(\cos ax + \cos x - 1)$$
имеет единственное решение?

Аналіз
1(11). Найди число точек пересечения графиков функции
$$y = \frac{x^2-1}{x-1} \text{ и } y = 2^x.$$
2(10). Найди значения функции $y = x^3-3x^2-9x+15$ в точке минимума.
3(11). Найди угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = \mathrm{tg} x$ в точке с абсциссой $x_0 = \frac{\pi}{4}$.
4(6). Пусть $x_1$ и $x_2$ — точки экстремумов функции
$$f(x) = 2x^3 + 3(a-2)x^2 - 6(a+1)x + 2.$$
При каких $a$ выражение $x_1^2 + x_2^2$ имеет минимшее значение?
5(1). Пусть $x_1$ и $x_2$ — соответствующее минимуму и точка максимума функции $y = -2x^3 + 3(1-2a)x^2 + 12ax - 1$. При какой значении $a$ выполняется $x_1^2 = x_2^2$?

6(8). Найди экстремальные точки функции $y = 5|x|-x^2-4$.
7(12). Найди точки экстремума функции $y = -3\sin(6x+1)+9x$.
8(1). Проектируется орисательный канал с поперечным сечением в виде равноведренной трапеции с определенной площадью и высотой. Каким должен быть острый угол трапеции, чтобы для облицовки боковых стенок и дна пошло наименьшее количество материалов?
9(4). Из кругга вырезан сектор с центральным углом $a$. Из оставшейся части кругга свернуть воронка. При каком значении $a$ вместеность воронки будет наиболее?
10(11). Найди больший корень уравнения
$$f'(x) = 2, \text{ если } f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 - 3x.$$
11(4). Вправильно чет孵уговольной признаме длина диагонали равна $\sqrt{3}$; угол, образованный этой диагональной с основанием признамы, равен $a$. Найди объем признамы и выясните, при каком значении $a$ объем признамы будет наиболее.
Геометрия
1(1). В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом $r$. Найди площадь треугольника.
2(11). Катеты прямогоного треугольника 12 и 5. Найди радиус окружности, вписанной в треугольник.
3(3). Найди площадь квадрата, вписанной вправильный трапеции двух сторон $a$ и $b$, вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол $C$. Найди длину сторон ромба.
5(6). Перimetр прямогоного треугольника равен 84, а длина его гипотенузы равна 37. Вычислите площадь этого треугольника.
6(12). В треугольнике заданы две стороны $a=5$ см, $b=4$ см и угол между ними $a=30^\circ$. Найди радиус вписанной в треугольник окружности.
7(1). В треугольнике $ABC$ с перimetром 2$p$ длина стороны $AC$ равна $a$ и величины остроугла $ABC$ равна $a$. Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $O$ касается стороны $BC$ в точке $K$. Найди площадь треугольника $BOK$.
8(11). Около кругла описана равновесная трапеция, перimetр которого равен 80, а острый угол $-30^\circ$. Найди площадь трапеции.
9(7). Большим основанием равноведренной трапеции является диаметр описанной вокруг нее окружности с радиусом $R$. Найди отношение площади кругга к площади трапеции, если ее меньше основание равно $a$, а угол при большем основании $a$.
10(4). В треугольник построенного перimetра 2$p$ вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найди наиболее длину отрезка касательной, концы которого принадлежат сторонам треугольника.
11(3). Определите угол ромба, зная его площадь $Q$ и площадь вписанного в него кругга $S$.
12(1). Дана окружность с диаметром $KL$. Вторая окружность с центром в точке $K$ пересекает перую окружность в точках $M$ и $N$, а диаметр $KL$ — в точке $A$. На дуг $AN$, не содержащей точки $M$, взята точка $B$, отличная от точки $A$ и $N$. Луч $LB$ пересекает перую окруж

53

ность в точке C. Известно, что CN=c, CM=d. Найдите BC.

13(2). В равноведренном треугольнике ABC (AB=BC) bicсектицы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA и площади треугольника BOF равно $\frac{3}{8}$. Докажите, что AC:AB=1:2.

14(8). Отношение площади диагонального сечения правильной четырехугольной примыды к площади ее основания равно $\sqrt{3}$. Найдите угол наклона бокового ребра примыды к плоскости ее основания.

15(6). Грани параллелепида — равные ромбы со стороны a и острым углом 60°. Найдите объем параллелепида.

16(6). Основание наклона попадает параллелепида — квадрат, сторона которого равна 1. Однако из боковых ребер равно 2 и образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60°. Найдите объем параллелепида.

17(6). В основании примыды лежит прямогольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Каждый боковая грань образует с плоскостью основания угол β. Определите объем примыды.

18(10). В основании прямогольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Каждый боковая грань образует с плоскостью основания угол β. Определите объем примыды.

19(2). Боковые грани примыды, в основании которого равноведренная трапеция с высотой h, одинаково накладены к плоскости основания. Из вершины примыды опущены перpendикularы на боковые стороны трапеции и основания их соединены. В полученном треугольном сечении угол при вершине равен α, а площадь сечения равна S. Найдите объем примыды.

20(3). Площадь боковой поверхности конуса равна S, а полной поверхности — P. Определите угол между высотой и образующей.

21(2). В цилиндр вписана прямогольная примыда так, что одно из ее боковых ребер есть образующая цилиндра. Найдите объем примыды по радиусу R основания цилиндра и двумянному углу α при боковом ребре примыды.

Физика

Механика

1(10). Расстояние между точками A и B — l=3 km. Из этих точек настретчу друг друга вызжают два велосипеда. Скорости их равномерно движения v₁=18 km/ч и v₂=9 km/ч. Через какое время (в секундах) они встретиются?

2(4). Автомобиль проехал половину пути со скоростью v₁=60 km/ч. Оставшуюся часть пути он половину времени ехал со скоростью v₂=15 km/ч, а последний участок — со скоростью v₃=45 km/ч. Найдите среднюю скорость автотобиля на всем пути.

3(9). Тело начало движется равноускорению и в течение пятой секунды от начала движения прошло путь l=45 м. С каким ускорением оно движалось?

4(11). Тело, покоящееся на высоте H=45 м над поверхностью Земли, начало свободно падать. Какой путь оно проijdет за последнюю секунду своего движения? Результат представьте в единицах СИ. Принять g=10 m/c².

5(5). Тело падает с некоторой высоты H и последнюю часть пути h=200 м проходит за время τ=4 с. Сколько времени падало тело? Как велика высота H? Сопротивление воздуха не учитывает.

6(2). Вверх по горке, профиль которого показан на рисунке 1, толкнуты лидинку, сообщивей скорость v₀=10 m/c. На какую максимальную высоту поднимется лидинка? Тренем пренебречь.

7(4). В лифтте, опускающемся сускорением a=0,1 m/c², падает тело с высоты h=1 м над полом без начальной скорости. Через какой промежуток времени после начала падания тело коснется пола лифтта?

8(9). Радиус рабочого колеса гидротурбины в 8 раз больше, а частота вращения в 40 раз меньше, чем у паровой turбины. Чему равно отношение центростриментальныхускорении концов лопаток паровой turбины и концов лопатей гидротурбины?

9(9). Автомобиль массой m=5 т трогается с места сускорением a=0,6 m/c². Найдите силу тгиги, если сила тгиги Fₙ=2 кН. Ответы выразите в килоньотах (кН).

10(9). При какомускорении разорвется трос, прочитать которой на разрыв T=15 кН, при вертикальном подъеме груза массой m=500 кг?

11(3). По горизонтальной дороге тнутся с груzem обшей массой m=80 кг за вервку, составляющего угол α=30° с горизонтом. Сила тгиги F=250 Н. Определите коэффициент треня, еслиускорение, с которой движется снига, a=0,15 m/c².

12(10). Две грини массой m₁=7 кг и m₂=11 кг высот на концах нити, которая перекинула через блок. Грини вначале находится одной высоте. Через какое время после начала движения более легкая грия окажется на h=20 см выше тяжелой? Массой блока и нити, а также тренем в блоке пренебречь; нить нерастяжима; g=10 m/c².

13(3). Самолет делает мертвую петлю. Найдите вес летчика в верхней и нижней точках петли, если радиус петли R=200 м, масса летчика m=80 кг, скорость самолета v=360 km/ч.

14(3). Шар массой m=0,5 кг, падая с высоты h₁=10 м, попадает в снег и пробивает в нем яму глубиной h₂=80 см. Считая движение в воздухе и в снегу равноперененным

54

и силу сопротивления в водуже $F_{c1}=0,8$ Н, найдите силу сопротивления в снегу.

15(11). Человек находится на краю круглой горизонтальной платформы радиусом $R=3$ м. Какое наименьшее число оборотов в минуту должны делать платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте треня $\mu=0,2$? Результат okруглите до десятих долей. Принять $g=10$ м/c².

16(10). Полный цилиндр плавает в керосине. Чтобы цилиндр плаваел с той же осадкой (глубиной погружения) в воде, в него требуется поместить груз массой $m=100$ кг. Определите массу цилиндра. Плотность керосина $\rho_{к}=800$ кг/m³, воды $\rho_{в}=1000$ кг/m³.

17(2). Верхний конец лестницы упирается в гладкую вертикальную стену, а нижний нахождение на шероховатом полу (рис. 2). При каком накладе лестница будет нахождение в равновесии? Коэффициент треня $\mu=0,5$, центр тяжесте лестницы нахождения в ее середине.

18(9). На чашках рычажных весов стоит два одинаковых сосуда, до краев заполненные водой. В сосуда, стоящем на левой чашке, плавает куск дерева. В каком положении будет нахождение чашки весов? Выберете ответ: 1) левая чашка опущена; 2) правая чашка опущена; 3) весы в равновесии.

19(10). Какую работу совершит сила $F=20$ Н, поднять по наклонной плоскости груз массой $m=2$ кг на высоту $h=2,5$ м сускренем $a=5$ м/c²? Сила действует параллельно наклонной плоскости. Тренем пренебрець.

20(5). Резиновый мяч массой $m$ и радиусом $R$ погружают в воду на глубину $h$ и отпускают. На какую высоту, считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Сопротивление воды и воздуха при движении не учитывает. Плотность воды $\rho$.

21(11). Пуля массой $m=8$ г, летящая со скоростью $v_{1}=400$ м/c, пробивает бревно толщиной $d=20$ см и вылетает из него со скоростью $v_{2}=100$ м/c. Определите среднюю силу сопротивления движению пуля в бревне. Результат представьте в килоньютонах (кН).

22(2). Пуля, летящая со скоростью $v_{0}$, пробивает несколько одинаковых досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В какой по счету доске застрянет пуля, если скорость после прохождения первой доски равна $v_{1}$ и $v_{0}=1,2v_{1}$?

23(2). Ядро, летяще со скоростью $v=20$ м/c, разорвалось на две части с массами $m_{1}=10$ кг и $m_{2}=5$ кг. Скорость меняющей части равна $v_{2}=90$ м/c и направлена так же, как скорость ядра до разрыва. Определите скорость первой части ядра.

24(1). Альфа-частица после столковения с неподвижным ядром геляя движется в направлении, образующем угол $\beta=30^\circ$ с первоначальным направлением. Определите угол, под которым разлегаются части после столковения, и относение их кинетических энергий.

25(12). Направленная горизонтальная стуру воды из брандспойта бает в вертикальной стену. Расход воды $Q=60$ л/min. Площадь поперечного сечения стуру $S=1,5$ см². Определите силу давления стуру на стенку, считая удар о стенку абсолотно неупругим. Плотность воды $\rho=10^{3}$ кг/m³.

Молекулярная физика. Тепловые явления

1(10). На сколько градусов надо нагреть газ, поддерживая постоянным его объем, чтобы давление увеличилось в два раза по сравнению с давлением при температуре $t=0^\circ C$ ($0^\circ C=273$ К, $\alpha=(1/273)$ К⁻¹)?

2(5). Газ, масса которого $m=1,2\cdot 10^{-3}$ кг, занимает объем $V_{1}=4\cdot 10^{-3}$ м³ при температуре $T_{1}=280$ К. При изменении температуры газа при постоянном давлении его плотность стала $\rho_{2}=0,6$ кг/m³. Определите конечную температуру газа.

3(11). Два сосуда соединены тонкой трубкой с краном. В одном сосуде находимся $V_{1}=1,5$ л азота при давлении $p_{1}=4,0$ Па, в другом — $V_{2}=3,0$ л кислорода при давлении $p_{2}=2,5$ Па. Какое давление устанавливается в сосудах, если открыть кран? Температура газов постоянна. Результат представьте в единицах СИ.

4(3). Вычислите работу, которая совершит газ при изображении нагревании от $t_{1}=20^\circ C$ до $t_{2}=100^\circ C$, если он нахождения в сосуде с подвижным поршнем. Наальный объем газа $V_{1}=5$ дм³, давление нормаль атмосферное.

5(3). Один молк кислорода нагревается при постоянном давлении от температуры $t_{0}=0^\circ C$. Какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы объем удивился? Удельная температура кислорода при этих условиях $c=915,6$ Дж/(кг·К).

6(2). Один молк идеального газа имеет температуру $T$, затем был охлажден изохорически так, что давление упало в $n$ раз. Далее газ расширялся при постоянном давлении так, что его температура оказалась снова равной $T$. Какую работу совершил газ?

7(9). Какое количество теплоты нуждно затрагить, чтобы получить $m=5$ кг воды при температуре $t_{0}=0^\circ C$ из льда, взятого при $t=-20^\circ C$? Удельная температуре льда $c=2,1$ кДж/(кг·К), удельная температуре льда $\lambda=330$ кДж/кг. Ответы绽ите в медадюлях (МДж).

8(5). Чтобы изменить температуру воды, имеющей массу $m=0,05$ кг, в нее погрузили термометр, который показал $t_{1}=80^\circ C$. Определите начальное температуру воды, если термометр перед погружением в воду показывает температуру помещения $t_{2}=20^\circ C$. Температуре термометра $C=3$ Дж/K, удельная температуре воды $c=4200$ Дж/(моль·К), удельная температуре парообразования $r=2,2\cdot 10^{6}$ Дж/кг.

9(9). В процессе охлаждения вещество переходит из газообразного состояния в жидкое, а затем — в твердое. Какой участок графика зависимости температуры $T$ веществ от времени $t$ (рис. 3) соответствует переходу пара в жидкость? Выберите ответ: 1) А — В; 2) В — В; 3) В — Г; 4) Г — Д; 5) Д — Е.

10(12). Сосуд с водой нагревают на электроннике от $t=20^\circ C$ до кипения за $t=20$ мин. Сколько нужен времени, чтобы при тех же условиях работы плинтки 20% воды обращалось в пар? Удельная температуре воды $c=4200$ Дж/(моль·К), удельная температуре парообразования $r=2,2\cdot 10^{6}$ Дж/кг.

11(12). Смешали $V_{1}=2$ м³ воздуха с относительной влажностью $\varphi_{1}=30\%$ и $V_{2}=1$ м³ с относительной влажностью $\varphi_{2}=20\%$. Обе порции были взяты при одинаковых температурах. Смешали занимает объем $V=3$ м³. Определите ее относительной влажность.

Основы электродинамики

1(11). В двух лежаших на одной верхней вершинах квадрата со стороны академы по модулю и знаку точченные заряды $q=2\cdot 10^{-8}$ Кл. Заряды на

55

ходятся в вакууме. Определите напряженность электрического поля в одной из других вершин квадрата. Результат представьте в волтах на сантиметр (1 В/cm = 100 B/m) и окружите до целого числа. Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$.

2(9). Радиус водяной капли $r = 1$ мм. Найти модуль потенциала капли, если ее заряд образован избыточными электронами в количестве $n = 10^8$. Принять $4\pi\varepsilon_0 = 10^{-10} \text{ Ф/m}$.

3(9). Проводники, заряженные одинаковыми зарядами, имеют потенциалы $\varphi_1 = 40$ В и $\varphi_2 = 60$ В. Каким будет потенциал этих проводников, если их соединить проводкой?

4(9). Два проводящих шара радиусами $R_1 = 8$ см и $R_2 = 20$ см находится на большом расстоянии друг от друга и имеет заряды $q_1 = +14 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2 = -7 \cdot 10^{-9}$ Кл. Каким станет заряд второго шара, если шары соединить проводником? Ответы выразите в наноколонах (нКл).

5(4). Два одинаковых металлических шарика, имеющие положительные заряды $q_1 = 5 \cdot 10^{-9}$ Кл и $q_2 = 2 \cdot 10^{-9}$ Кл, расположены на расстоянии $l = 30$ см друг от друга, значительное большие их диаметра. Изменится ли сила взаимодействия между шариками после того, как они будут на коротке времени соединены проводником? Электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/m}$.

6(10). Электрическое поле переместило частиц с зарядом $q = 0,2$ Кл из точки $A$ с потенциалом $\varphi_A = 600$ В в точку $B$, потенциал которого неизвестен. При этом кинетическая энергия частицы изменяется на $\Delta W = 100$ Дж. Определите потенциал точки $B$.

7(10). Маленький шарик массой $m = 0,2$ г, имеющий заряд $q = 10^{-6}$ Кл, скольzt с высоты $h = 3$ м по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha = 36,5^\circ$. В верхние прямого угла, образованного высотой $h$ и горизонтом, находится неподвижный точный заряд $Q = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл. Определите скорость шарика у основания наклонной плоскости, если начальная скорость шарика равна нулю. Треннем претензь.

8(2). Найти заряд конденсатора в схеме, приведенной на рисунке 4.

9(10). Какое сопротивление $R_x$ надо включить между точками $A$ и $B$ (рис. 5), чтобы сопротивление всей цепи было равно $R = 10$ Ом, если $R_1 = 3$ Ом, $R_2 = 10$ Ом, $R_3 = 10$ Ом, $R_4 = 3$ Ом?

10(1). Напряжение между точками $B$ и $A$ (рис. 6) равно $U_1 = 120$ В. Определите отношение сопротивления $R_1/R_2$, если $R_3/R_4 = 2$, а разность потенциалов между точками $C$ и $D$ равна $U_2 = 20$ В.

11(5). Через акмумулятор с внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом и электродвижущей силой $\varepsilon = 12$ В течет ток силой $I = 1$ А. Чему будет равна разность потенциалов на клеммах акмумулятора, если сопротивление внешней цепи увеличить на $\Delta R = 8$ Ом?

12(9). Батарея аккумуляторов с внутренним сопротивлением $r = 0,2$ Ом питает десять параллельно соединенных ламп сопротивлением $R = 250$ Ом каждая. Определите ЭДС батареи, если ток в каждой лампе $I = 0,5$ А.

13(2). Некоторые цепи с сопротивлением $R$ питания от батареи, составленной из $N$ одинаковых элементов. При каком значении внутреннего сопротивления элемента силы ток в цепи будет одинаковой при соединении этих элементов в батарею последовательно и параллельно?

14(3). Источник тока замыкается проводкой: один раз с сопротивлением $R_1 = 4$ Ом, а другой $R_2 = 9$ Ом. В обихаче случая копченого теплоты, выделяющегося в проводоках за одно и то же время, оказывается одинаковым. Каково внутреннее сопротивление источника?

15(11). Подъемный краан равномерно поднимает груз массой $m = 8,8$ т на высоту $h = 10$ м в течение $t = 49$ с. Определите силу тока, потребляемую крааном, если напряжение $U = 220$ В, а КПД крана $\eta = 80\%$. Результат представьте в единицах СИ. Принять ускорение свободного подача $g = 10 \text{ m/c}^2$.

16(11). В одномном магнитном поле с индуктивей $B = 2 \cdot 10^{-5}$ Тл кусок провода длиной $l = 2$ м и сопротивлением $R = 1$ Ом складают вдвое и концы соединяются. Затем провод растягивает в квадрат так, что плоскость квадрата перепределкила линейным индикцими магнитного поля. Какой заряд протекает при этом через сечение проводника? Результат представьте в микрокулонах (1 мкКл = 10^{-6} Кл).

17(10). Под влиянием однородного магнитного поля в нем движется сускорением $a = 2 \text{ m/c}^2$ прямолинейный проводник поперечный сечением $S = 1 \text{ mm}^2$. Направление проводника перепределкила линейным индикцими, и по проводнику течет ток $I = 1$ А. Плотность материала проводника $\varphi = 2,5 \cdot 10^3 \text{ кг/m}^3$. Определите индуктивную магнитную поля.

18(12). Примогуольная рамка из проводника с сопротивлением $R = 1$ Ом, движясь поступать с постоянной скоростью $v = 4 \text{ m/c}$, пересекает полусоеднородного магнитного поля с индуктивей $B = 0,5$ Тл. Вектор $\vec{B}$ перепределкила плоскости рамки. Стороны рамки $l_1 = 10$ см, $l_2 = 5$ см, ширина полосы $l_3 > l_2$, рамка движется вдоль стороны $l_2$. Определите количество теплоты, которое выделяется в рамке к моменту, когда она пересечет полосу.

Колебания и волны

1(3). Два магнитка одновременно начинают колебаться. За один и тот же промежуток времени первая делается $n_1 = 20$, а второй $n_2 = 10$ колебаний. Определите относение длины магнитков.

2(1). Математический магнит длиной $l = 1$ м отклонили на угол $\alpha_0 (\alpha_0 \ll 1)$ и отпустили с нулевой начальной скоростью. Через

56

какое минимальное время угол отклонения магнитка станет равным $a_0/2$? Ускорение силы тяжесты считать равным $g = 10$ м/c².

3(11). Лифт движется по вертикали вверхuale с укорением $a_1 = 6$ м/c² в течение времени $t_1 = 5$ с, затем с укорением $a_2 = -6$ м/c² в течение времени $t_2 = 10$ с. В лифте находится математический магниток длиной $l = 0,25$ м. Сколько колбанный совершит магнитка за время движения лифта? Прияты $g = 10$ м/c². Результат округлите до целого числа.

4(4). Заряженный шарик прыгает в поле плоского конденсатора на тонкой изолирующей подложке. Обкладки конденсатора расположены горизонтально. Масса шарика $m = 10^{-3}$ кг, его заряд $q = 10^{-5}$ Кл. Максимальная скорость шарика $v = 0,8$ м/c, высота подьема $h = 5$ см. Определите разность потенциалов между навышшей и нанизшей точками траектории шарика.

5(5). Колебательный контур настроен на частоту $v = 1,5 \cdot 10^7$ Гц. Как надо изменить емкость конденсатора для перестройки контур на длину волны $\lambda = 40$ м? Скорость света $c = 3 \cdot 10^8$ м/c.

6(10). Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L = 10^{-3}$ Ги и конденсатора емкости $C = 10^{-5}$ Ф. Конденсатор заряжен до максимального напряжения $U_m = 100$ В. Определите максимальное силу тока в контуре при свободных колбанях в нем.

7(11). Скорость звука в воде $v = 1450$ м/c. На каком расстоянии находится близкие точки, совершшие колбания в противоположных фазах, если частота колбаний $v = 725$ Гц? Результат представьте в единицах СИ.

8(12). Емкость конденсатора переменной емкости в контуре радиоприемника изменяется в пределах от $C$ до $9C$. Определите диапазон длиной волны контура радиоприемника, если емкость конденсатора соответствует длина волны, равная 3 м.

Оптика

1(2). Луч света падает на границу раздела двух сред под углом $\gamma = 30^\circ$ к границе. Показатель предложения первой среды $n_1 = 2,4$. Определите показатель предложения второй среды, если известно, что отраженный и предложенный лучи передикularный друг другу.

2(11). Акваалгист, нахождение под водой, видит Солнце под углом $\gamma = 52^\circ$ к горизонту. Определите угол передия лучей солнечного света на поверхности воды. Результат представьте в границу передикularный среды $n = 1,33$.

3(11). Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклянную пластину под углом $a = 60^\circ$ и, предположясь, переходит в стекло. Ширина пучка в воздухе $a = 10$ см. Определите ширина пучка в стекле. Результат представьте в сантиметрах (см) и округлите до десятих долей. Показатель предложения стекла $n = 1,51$.

4(10). Предмет нахождения на расстоянии $d = 0,25$ м от двойковыпуклой линии. Изображение получается действительным, обратным, увеличенным. Высота нахождения в Γ = 4 раза больше высоты предмета. Определите формуное расстояние линии.

5(3). На каком расстоянии от выпukлой линии с формуным расстоянием $F = 60$ см следует поместить предмет, чтобы получить действие.

56