Замечательные точки и линии

32

Замечательные линия и точки

Гипербола была известна еще древнегреческий математиком. Она определяется как множество точек, разность расстояния расстояния которых до двух заданных точек $F_1$ и $F_2$ построена. Эти точки называются фокусами гиперболы.

Менее известна другая кривая — конхоида. Она определяется так: на плоскости фиксируются прямая $l$ и точка $O$ и задается число $a$. Через точку $O$ проводятся всевозможные прямые, на каждой из которых от точки пересечения с прямой $l$ в обе стороны откладываются отрезки длины $a$. Вторые концы этих отрезков и образуют конхоиду.

Представьте себе два круглых острова в океане и лодку, пльвушную вдоль морской границы, т. е. нахождение во всей момент на одинаковом расстоянии от берегов этих островов. Если размеры островов одинаковы, то путь лодки будет прямолинейен, а если нет, то лодка будет пльтЬ по гиперболе.

Древнегреческий математик Никомед (3 век до н. з.) решал задачу трискции уелла с помощью конхоиды. Проведем через точку $A$ прямую $l$, параллельную прямой $OD$, окружность с центром в точке $A$ и радиусом $a = AO$. Конхоида, построенная по прямой $l$, точке $O$ и числу $a$, будет пересекаться с окружностью в точке $C$. Угол COD равен 1/3 угла $AOD$.

33

Гипербола — одно из конечских сечений: ее можно получить, пересекая конечскую поверхность плоскостью, не проходящей через ее вершину и пересекающей обе ее половины. Другими конечными сечениями являются парабола и эллипс.

Гиперболой является график обратной пропорциональной зависимости: $y = k/x$. При удалении точек графика к бесконечности они прижимаются к одной из осей координат $x$ или $y$. Эти прижемые звязываются ее асимптотами. Асимптоты есть у любой гиперболы.

Если поместить в один из фокусов гиперболического зеркала источник света, то, отразившись в зеркале, свет будет проедать двить так, как будто он исходит из второго фокуса гиперболы. Это оптическое свойство гиперболы. Его использовал Гарин в романе А. Н. Толстого «Гиперболюй инженера Гарина».

Головоломки

1. Квадрат разбит на пять прямой угольников так, как изображено на рисунке. Известно, что площади прямой угольников, примыкающих к границе к границе каедрата, равны. Покажите, что центральный прямой угольник — это каедрат.

2. Какую намет именно длину может иметь кривая, делющая площадь прямойно-треугольника со стороны а на две равные части?